Exercice 1: Considérons le système de Lotka-Volterra généralisé

Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie M2, Spécialité Mathématiques de la Modélisation 2ème semestre 2013–2014

Examen

3 heures

—————————————————

Exercice 1: Considérons le système de Lotka-Volterra généralisé

˙

x

(t) = x

(t)



r

+

n

X

j=1

a

x

(t) + α

u

(t)



 , i = 1, . . . , n,

où les r

, a

et les α

sont des réels. On suppose que les contrôles portent seulement sur les n − 1 premières équations, i.e., α

= 0, et on suppose que tous les réels α

, i = 1, . . . , n − 1 sont non nuls. Les contrôles sont des fonctions mesurables à valeurs réelles quelconques (pas de contrainte), et on note u = (u

, . . . , u

)

.

Dans tout l’exercice, on suppose qu’il existe un point d’équilibre ¯ x = (¯ x

, . . . , x ¯

)

∈ ]0, +∞[

, vérifiant r+A¯ x = 0, où r = (r

, . . . , r

)

et A est la matrice carrée de taille n de coefficients a

.

1. Etude du système sans contrôle. Dans cette question, on suppose que u = 0.

(a) Montrer que le quadrant ]0, +∞[

est invariant (autrement dit si une condition initiale est composée de réels strictement positifs alors il en est de même pour la solution en tout temps).

(b) Soit β > 0 quelconque. Etudier la fonction x 7→ x − β − β ln

sur ]0, +∞[ et représenter son graphe.

(c) Soient c

, . . . , c

des réels strictement positifs, et soit C la matrice diagonale dont les coefficients sont les c

. On définit la fonction

V (x) =

n

X

i=1

c

x

− x ¯

− x ¯

ln x

¯ x

. Montrer que

d

dt V (x(t)) =

n

X

i=1

c

(x

(t) − x ¯

)(r

+ (Ax(t))

),

où (Ax)

est la i

coordonnée du vecteur Ax.

(d) En déduire que

d

dt V (x(t)) = 1 2

x(t) − x, ¯ (A

C + CA)(x(t) − x) ¯ .

(e) On suppose qu’il existe une matrice C diagonale telle que A

C + CA soit (symétrique) définie négative.

Démontrer que V est une fonction de Lyapunov stricte dans ]0, +∞[

et en déduire que x ¯ est globalement asymptotiquement stable dans cet ensemble.

1

2. Stabilisation. Dans cette question, on suppose que A est antisymétrique, et on prend C = I

.

(a) Montrer que si u = 0 alors V (x(t)) est constante. Montrer que V est une fonction de Lyapunov dans ]0, +∞[

, que x ¯ est globalement stable dans ]0, +∞[

, et représenter (grossièrement) le portrait de phase du système lorsque n = 2.

(b) On veut construire un feedback stabilisant asymptotiquement, globalement dans ]0, +∞[

, le point d’équilibre

¯ x.

Montrer que

d

dt V (x(t)) =

n−1

X

i=1

α

(x

(t) − x ¯

)u

(t),

et proposer un contrôle feedback très simple tel que

V (x(t)) 6 0.

(c) On suppose que l’un au moins des coefficients a

, i = 1, . . . , n − 1, est non nul, et que A est inversible.

Démontrer que ce contrôle feedback stabilise globalement (dans ]0, +∞[

) le système vers l’équilibre x. ¯

3. Contrôlabilité. Dans cette question, on suppose que l’un au moins des coefficients a

, j = 1, . . . , n, est non nul.

(a) Montrer que le système est localement contrôlable au voisinage du point d’équilibre x, en temps quelconque. ¯ (b) On suppose qu’il existe une matrice C diagonale telle que A

C + CA soit (symétrique) définie négative.

Montrer que, quel que soit le point initial x

, il existe un temps T > 0 et un contrôle u ∈ L

(0, T ; IR

) tels que la solution associée à u et partant de x

arrive au temps T au point d’équilibre x. ¯

(c) On suppose n = 2, et A antisymétrique inversible. Montrer que le système est globalement contrôlable dans ]0, +∞[

, au sens suivant: quels que soient les points x

et x

dans ]0, +∞[

, il existe T > 0 et u ∈ L

(0, T ; IR) tels que la solution associée à u relie x

à x

en temps T . Représenter graphiquement la stratégie utilisée.

4. Contrôle optimal. Soit T > 0 un temps final fixé. Soit M > 0. On considère le problème de contrôle optimal de minimiser kx(T) − xk ¯

sous les contraintes 0 6 u

(t) 6 M , i = 1, . . . , n − 1, pour t ∈ [0, T ] (le point initial étant fixé).

(a) Appliquer le principe du maximum de Pontryagin à ce problème de contrôle optimal:

i. Ecrire le Hamiltonien du problème.

ii. Ecrire les équations extrémales.

iii. Ecrire les conditions de transversalité.

iv. Ecrire la condition de maximisation.

(b) Démontrer que p

6= 0.

(c) Démontrer que, si l’un au moins des coefficients a

, j = 1, . . . , n, est non nul, alors les contrôles optimaux sont bang-bang.

—————————————————

2

Exercice 2: [Théorème de A. Haraux, 1989]

Soient H et U deux espaces de Hilbert, A : D(A) → H un opérateur auto-adjoint strictement positif, et B ∈ L(U, H) un opérateur auto-adjoint positif. On note k · k la norme de H , et h·, ·i le produit scalaire dans H. Le but de l’exercice est de démontrer l’équivalence de:

(i) Il existe T > 0 et C > 0 tels que toute solution de φ(t) + ¨ Aφ(t) = 0 vérifie kA

φ(0)k

+ k φ(0)k ˙

6 C

Z

kB

φ(t)k ˙

dt.

(ii) Il existe C

> 0 et δ > 0 tels que toute solution de y(t) + ¨ Ay(t) + B y(t) = 0 ˙ vérifie E

(t) 6 C

E

(0)e

où

E

(t) = 1 2

kA

y(t)k

+ k y(t)k ˙

.

Autrement dit, ce théorème établit qu’une équation du second ordre avec damping est exponentiellement stable si et seulement si l’équation conservative associée est observable.

1. Préliminaire. L’objectif de cette question est de démontrer que les deux équations ci-dessus admettent des solutions dans l’espace naturel X = D(A

) × H.

(N.B.: les questions ci-dessous ne sont qu’une suggestion. On peut procéder autrement. On pourra passer cette question préliminaire dans un premier temps.)

On définit l’opérateur A : D(A) → X par A =

0 id

−A −B

, D(A) = D(A) × D(A

).

(a) Montrer que A est fermé.

(b) Calculer l’adjoint A

de A, et montrer que A et A

sont dissipatifs.

(c) En déduire que, pour toute donnée initiale dans D(A), les deux équations ci-dessus admettent une unique solution (et préciser sa régularité).

(d) En déduire que, pour toute donnée initiale dans X, les deux équations ci-dessus admettent une unique solution (et préciser sa régularité).

2. Démonstration de (i) ⇒ (ii).

Soit y une solution de y ¨ + Ay +B y ˙ = 0. Soit φ la solution de φ ¨ +Aφ = 0 avec les conditions initiales φ(0) = y(0), φ(0) = ˙ ˙ y(0). On pose θ = y − φ.

(a) Montrer que θ ¨ + Aθ + B y ˙ = 0, θ(0) = 0, θ(0) = 0. ˙

(b) En prenant le produit scalaire avec θ, établir que ˙ E ˙

= −hB y, ˙ θi. ˙ (c) Etablir que

1 2

Z

kA

θ(t)k

+ k θ(t)k ˙

dt 6 T

kB

k

Z

0

kB

y(t)k ˙

dt + 1 4

Z

k θ(t)k ˙

dt.

Indication: on utilisera l’inégalité de Young ab 6

a

+

b

avec α bien choisi.

3

(d) En déduire que

Z

k θ(t)k ˙

dt 6 4T

kB

k

Z

0

kB

y(t)k ˙

dt.

(e) En utilisant le fait que φ = y − θ, en déduire que Z

0

kB

φ(t)k ˙

dt 6 (2 + 8T

kB

k

) Z

0

kB

y(t)k ˙

dt.

(f) Montrer que

E

(0) 6 C(1 + 4T

kB

k

) Z

0

kB

y(t)k ˙

dt.

(g) Montrer que E

(t) = −kB

y(t)k ˙

, puis que R

0

kB

y(t)k ˙

dt = E

(0) − E

(T ).

En déduire que E

(T ) 6 C

E

(0) avec C

< 1.

(h) En faisant le raisonnement sur chaque intervalle [kT, (k + 1)T], démontrer finalement que E

(t) est expo- nentiellement décroissante.

3. Démonstration de (ii) ⇒ (i).

(a) Montrer qu’il existe T > 0 (assez grand) et C

> 0 tels que Z

0

kB

y(t)k ˙

dt > C

E

(0), pour toute solution de y ¨ + Ay + B y ˙ = 0.

(b) Soit φ une solution de φ ¨ + Aφ = 0. Soit y la solution de y ¨ + Ay + B y ˙ = 0 avec les conditions initiales y(0) = φ(0), y(0) = ˙ ˙ φ(0). On pose θ = φ − y. Montrer que θ ¨ + Aθ + B θ ˙ = B φ, ˙ θ(0) = 0, θ(0) = 0. ˙

(c) Montrer que E ˙

6 hB φ, ˙ θi. ˙ (d) Etablir que

1 2

Z

kA

θ(t)k

+ k θ(t)k ˙

dt 6 T

kB

k

Z

0

kB

φ(t)k ˙

dt + 1 4

Z

k θ(t)k ˙

dt.

(e) En déduire que

Z

k θ(t)k ˙

dt 6 4T

kB

k

Z

0

kB

φ(t)k ˙

dt.

(f) En utilisant le fait que y = φ − θ, en déduire que Z

0

kB

y(t)k ˙

dt 6 (2 + 8T

kB

k

) Z

0

kB

φ(t)k ˙

dt.

(g) Conclure.

4