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28 mai 2015

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Examen 3 (solutions) 201-726 Outils math´ ematiques 2

28 mai 2015

Professeur : Dimitri Zuchowski

Question 1. (42%)

a) Z

x

2

+ 3x

4

dx = x

3

3 + 3x

4

4 + C b)

Z

5 cos x + sin x

2 dx = 5 sin x − cos x 2 + C c)

Z

x

23

− 4x

−45

dx = 3x

53

5 − 20x

15

+ C

d) Z

sec

2

(4x) dx = tan(4x)

4 + C

e)

Z 5

2x − 1 dx = 5 ln |2x − 1|

2 + C

f) Z

3xe

x2+1

dx = 3e

x2+1

2 + C Question 2. (28%)

a)

30

X

k=1

k = 30 · 31 2 = 465

b)

20

X

k=4

k = 20 · 21

2 − 3 · 4 2 = 204

c)

10

X

k=1

3k + 2 = 3

10 · 11 2

+ 2(10) = 185

d)

100

X

k=10

5k − 10 = 5

100 · 101

2 − 9 · 10 2

− 10(100 − 10 + 1) = 24115

Question 3. (20%)

a) Z

2

1

x

3

− 3x dx = x

4

4 − 3x

2

2

2 1

= 2

4

4 − 3 · 2

2

2

− 1

4 − 3 2

= −2 + 5 4 = − 3

4 b)

Z

64 16

1

x ln 2 dx = ln x ln 2

64 16

= log

2

x

64

16

= 6 − 4 = 2 Question 4. (10%)

dP

dt = 2P ⇐⇒ dP

P = 2dt ⇐⇒

Z dP P = 2

Z

dt ⇐⇒ ln P = 2t + C ⇐⇒ P = e

2t+C

= e

2t

e

C

3 = e

0

e

C

= e

C

et donc P = 3e

2t

1

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