Mai 2015

PanaMaths

[1 - 3]

Mai 2015

1. Soit a, b et c trois réels quelconques.

Développer ( ) ^{a b +}

²

^et ( ^{a b c + +} )

²

^.

2. Soit a a

₁

, ,

₁

… , a

_n

n réels quelconques.

Conjecturer la forme développée générale de ( a

1

+ + + a

2

... a

_n

)

²

. Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Analyse

Un résultat classique qu’il est bon de connaître et qui se retient… plutôt facilement !

Résolution

Question 1.

On a immédiatement :

(

^{a b+}

)

^2=a2+b2+2ab.

Puis, par exemple :

( ) ( ( ) )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c

a b c a b c

a b ab c ac bc

a b c ab ac bc

+ + = + +

= + + + +

= + + + + +

= + + + + +

( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

a b a b ab

a b c a b c ab ac bc

+ = + +

+ + = + + + + +

Question 2.

Dans les deux cas précédents, on remarque que l’on obtient la somme des carrés des termes de la somme apparaissant initialement entre parenthèses et celle de tous les doubles produits possibles.

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[2 - 3]

Mai 2015

On peut ainsi conjecturer que pour tout n-uplet

(

a a1, 2, ...,a_n

)

de réels et tout entier naturel n supérieur ou égal à deux, on a :

(

1 2

)

² 1² 2^{2 2} 1 2 1 2 3 1

2

1 1

... ... 2 ... 2 2 ... 2

2

n n n n n

n

i i j

i i j n

a a a a a a a a a a a a a a

a a a

−

= ≤ < ≤

+ + + = + + + + + + + + +

=

∑

+

∑

Montrons ce résultat par récurrence.

Posons :

P

n : « pour tout n-uplet

(

a a1, 2, ...,a_n

)

de réels

(

a1+a2+ +... a_n

)

²=a1²+a2²+ +... a_n²+2a a1 2+ +... 2a a1 _n+2a a2 3+ +... 2a_n−1a_n »

Initialisation

D’après la première question,

P

₂ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé supérieur ou égal à 2.

On suppose que

P

_n est vraie.

On a donc, pour tout n-uplet

(

a a1, 2, ...,a_n

)

de réels :

(

a1+a2+ +... a_n

)

²=a1²+a2²+ +... a_n²+2a a1 2+ +... 2a a1 _n+2a a2 3+ +... 2a_n−1a_n On veut montrer que

P

_n+1 est vraie, soit :

pour tout n-uplet

(

a a1, 2, ...,a a_n, _n+1

)

de réels

(

1 2 1

)

² 1² 2^{2 2 2}1

1 2 1 1 1 2 3 1

... ...

2 ... 2 2 2 ... 2

n n n n

n n n n

a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

+ +

+ +

+ + + + = + + + +

+ + + + + + +

Soit alors a a₁, ₂, ...,a a_n, _n+1 n+1 réels. On a :

( ) ( ( ) )

( ) ( )

2 2

1 2 1 1 2 1

2 2

1 2 1 1 2 1

... ...

... 2 ...

n n n n

n n n n

a a a a a a a a

a a a a a a a a

+ +

+ +

+ + + + = + + + +

= + + + + + + + +

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[3 - 3]

Mai 2015

Soit, en utilisant l’hypothèse de récurrence :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2 3 1

2

1 1 2 1

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 2 3 1

1 1 2

... ... 2 ...

... 2 ... 2 2 ... 2

2 ...

... 2 ... 2 2 ... 2

2 2

n n n n n n

n n n n

n n n

n n n n n

n n

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a

+ + +

−

+ +

+ −

+

+ + + + = + + + + + + + +

= + + + + + + + + +

+ + + + +

= + + + + + + + + + +

+ + _{1 1}

2 2 2 2

1 2 1

1 2 1 1 1 2 3 1

2 ...

2 ... 2 2 2 ... 2

n n

n n

n n n n

a a

a a a a

a a a a a a a a a a

+ +

+

+ +

+

= + + + +

+ + + + + + +

On en déduit immédiatement que

P

_n+1 est vraie.

Conclusion

La propriété est initialisée pour n=2 et héréditaire. On en déduit qu’elle est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2.

Pour tout n-uplet

(

a a1, 2, ...,a_n

)

de réels

(

a1+a2+ +... a_n

)

²=a1²+a2²+ +... a_n²+2a a1 2+ +... 2a a1 _n+2a a2 3+ +... 2a_n−1a_n

Remarque : la propriété est en fait vraie pour tout n-uplet de nombres complexes.