Mai 2015

PanaMaths

Mai 2015

Soit ( ) a

et ( ) a

deux suites à termes strictement positifs, et vérifiant :

lim

0

n_→+∞

a = > a et lim

0

n_→+∞

b = > b

Soit p et q deux réels strictement positifs tels que p q + = 1 .

Déterminer :

^lim

( ^pa

^{+ qb}

)

^.

Analyse

On s’affranchit des « problèmes » liés à l’exposant grâce au logarithme népérien. Des développements limités simples au voisinage de l’infini permettent des manipulations aisées des expressions alors obtenues.

Résolution

Comme lim ⁿ_n

n a a

→+∞ = et comme la fonction logarithme népérien est continue en a, il vient :

( )

lim ln _nⁿ ln

n a a

→+∞ = , c’est-à-dire : ^{lim ln}

( )

n n a a

→+∞ = .

On a donc, au voisinage de +∞ : n^ln

( )

( )

( )

a a

n n

= + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠.

On a enfin : n ^{exp ln}

( ( )

)

a a

a a

n n n n

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞

= = ⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠.

De façon analogue, on obtient : ln 1

1 o

n

b b

n n

= + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠.

Alors :

( )

( )

( )

ln 1 ln 1

1 o 1 o

1 1

ln ln o

1 1

1 ln ln o

ln 1

1 o

n n

p q

a b

pa qb p q

n n n n

p q p a q b

n n

p a q b

n n

a b

n n

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

+ = ⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠+ ⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

= + + + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

= + + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

= + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

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Il vient :

( ) ( )

( )

( ) ^{( )}

ln 1

ln ln 1 o

ln 1

o

ln o 1

p q

n n

p q

p q

n pa qb n a b

n n

n a b

n n

a b

⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎟

+ = ⎜⎝ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝ + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

= +

On a donc : _n^lim_→+∞^nln

(

)

(

)

(

)

( ) ( ( ) )

lim _{n n} ⁿ exp ln ^{p q p q}

n pa qb a b a b

→+∞ + = =

Résultat final

( )

lim _{n n} ^{n p q}

n pa qb a b

→+∞ + =