Correction du devoir de préparation sur équations et ordre Exercice n°1 ( 4,5 points ) :
On considère l’équation 3x + 2 = 6x – 4.
a) 3 est-il solution de cette équation ? Justifier.
Première étape : on évalue le membre de gauche lorsque x = 3 :
3x + 2 = 3 × 3 + 2 = 9 + 2 = 11
Deuxième étape : on évalue le membre de droite lorsque x = 3 :
6x – 4 = 6 × 3 – 4 = 18 – 4 = 14
Comme 11 est différent de 14, on peut conclure que 3 n’est pas solution de l’équation 3x + 2 = 6x – 4.
b) 2 est-il solution de cette équation ? Justifier.
Première étape : on évalue le membre de gauche lorsque x = 2 :
3x + 2 = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8
Deuxième étape : on évalue le membre de droite lorsque x = 2 :
6x – 4 = 6 × 2 – 4 = 12 – 4 = 8
Comme 8 est égal à 8, on peut conclure que 2 est solution de l’équation 3x + 2 = 6x – 4.
c) 0 est-il solution de cette équation ? Justifier.
Première étape : on évalue le membre de gauche lorsque x = 0 :
3x + 2 = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2
Deuxième étape : on évalue le membre de droite lorsque x = 0 :
6x – 4 = 6 × 0 – 4 = 0 – 4 = -4
Comme 2 est différent de -4, on peut conclure que 0 n’est pas solution de l’équation 3x + 2 = 6x – 4.
Exercice n°2 ( 3 points ) :
Résoudre l’équation 5x + 4 = 9x – 36
On applique la méthode vue en cours :
5x + 4 – 9x = 9x – 36 – 9x -4x + 4 = -36
-4x + 4 – 4 = -36 – 4 -4x = -40
−4
−4 =−40
−4 x = 10
La solution de l’équation 5x + 4 = 9x – 36 est x = 10.
Exercice n°3 ( 4 points ) :
J’ai acheté 5 kilos de tomates et un kilo de pommes pour 17,6 €.
Sachant qu’un kilo de tomates coûte trois fois plus cher qu’un kilo de pommes, déterminer le prix d’un kilo de pommes et le prix d’un kilo de tomates.
1) Choix de l’inconnue :
Soit x le prix d’un kilo de pommes.
Comme les pommes coûtent trois fois moins chers que les tomates, on en déduit que les tomates coûtent trois fois plus chers que les pommes, c’est- à-dire on en déduit que le prix d’un kilo de tomates est 3x.
2) Mise en équation du problème :
5 kilos de tomates coûtent alors 5 × 3x soit 15x.
1 kilo de pommes coûte x.
L’ensemble coûte 17,6 € : l’équation à résoudre est 15x + x = 17,6.
3) Résolution de l’équation :
15x + x = 17,6 16x = 17,6 16
16 =17,6 16 x = 1,1
4) Réponse :
Le prix d’un kilo de pommes est 1,1 €.
Le prix d’un kilo de tomates est 3 × 1,1 = 3,3 €.
Exercice n°4 ( 4 points ) :
Lors d’un spectacle de fin d’année, la recette est de 1 300 €. Dans le public, on a compté 100 adultes et 50 enfants. Le tarif enfant coûte 4 € de moins que celui d’un adulte.
Quels étaient les tarifs d’entrée ? 1) Choix de l’inconnue :
Soit x le prix du tarif adulte.
Comme le tarif enfant coûte 4 € de moins, on en déduit que le tarif enfant est x – 4.
2) Mise en équation du problème : 100 adultes payent 100x.
50 enfants payent 50(x – 4).
Comme la recette est 1 300 €, l’équation à résoudre est 100x + 50(x – 4) = 1 300.
3) Résolution de l’équation :
100x + 50(x – 4) = 1 300 100x + 50x – 200 = 1 300 150x – 200 = 1 300
150x – 200 + 200 = 1 300 + 200 150x = 1 500
150
150 = 1 500 150 x = 10
4) Réponse :
Le tarif adulte est 10 €.
Le tarif enfant est 10 – 4 = 6 €.
Exercice n°5 ( 2 points ) :
Indiquer si ces inégalités sont vraies ou fausses, en justifiant : a) 3 ≤ 5
3 ≤ 5 correspond à 3 < 5 ou 3 = 5. Comme 3 < 5 est une inégalité vraie, on en déduit que 3 ≤ 5 est vraie.
b) 6 ≥ 7
6 ≥ 7 correspond à 6 > 7 ou 6 = 7. Comme 6 > 7 est une inégalité fausse et comme 6 = 7 est une égalité fausse, on en déduit que 6 ≥ 7 est fausse.
c) 4 ≤ 4
4 ≤ 4 correspond à 4 < 4 ou 4 = 4. Comme 4 = 4 est une égalité vraie, on en déduit que 4 ≤ 4 est vraie.
d) 10 ≥ 8
10 ≥ 8 correspond à 10 > 8 ou 10 = 8. Comme 10 > 8 est une inégalité vraie, on en déduit que 10 ≥ 8 est vraie.
Exercice n°6 ( 2,5 points ) :
Sachant que x < 5, donner l’inégalité vérifiée par : a) 2x
x < 5 => 2x < 2 × 5 car une inégalité ne change pas si on multiplie les deux membres par un même nombre positif :
Ainsi :
x < 5 => 2x < 10
b) -3x
x < 5 => -3x > -3 × 5 car une inégalité change si on multiplie les deux membres par un même nombre négatif :
Ainsi :
x < 5 => -3x > -15
c) x + 9
x < 5 => x + 9 < 5 + 9 car une inégalité ne change pas si on ajoute un même nombre à ses deux membres :
Ainsi :
x < 5 => x + 9 < 14
d) x – 3
x < 5 => x – 3 < 5 – 3 car une inégalité ne change pas si on soustrait un même nombre à ses deux membres :
Ainsi :
x < 5 => x – 3 < 2
e) x ÷ 5
x < 5 => x ÷ 5 < 5 ÷ 5 car une inégalité ne change pas si on divise les deux membres par un même nombre positif :
Ainsi :
x < 5 => x ÷ 5 < 1
