PRODUIT SCALAIRE

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PRODUIT SCALAIRE

I) INTRODUCTION PHYSIQUE

Un enfant tire une luge sur un sol horizontal par l'intermédiaire d'une corde formant un angle  avec le sol et en exerçant une force F (exprimée en Newton) entre A et B.

La force semble plus efficace si la direction de F se rapproche de celle de (AB), donc quand l’angle entre F et AB se rapproche de 0, donc quand cos(a) augmente.

Pour exprimer cette efficacité les physiciens ont inventé le travail d’une force W = AB

∥

^F

∥

cos() exprimé en joules.

En mathématiques, ce nombre s’appelle le produit scalaire des vecteurs F et AB . II) PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS

Définition

- Soient deux vecteurs non nuls u et v , on appelle produit scalaire de u par v le réel u⋅v = ∥u∥ ∥v∥ cos ( u; v)

- Si u=0 ou v=0 alors ^u⋅v = 0

Rq : Si u et v sont colinéaires et de même sens alors u⋅v = ∥u∥ ∥v∥

Si u et v sont colinéaires et de sens contraires alors u⋅v = - ∥u∥ ∥v∥ EX1 de la feuille

Propriété :

u ⊥ ^^v ⇔ u⋅v = 0

Démo : u⋅v =0 ⇔u=0 ou v=0 ou ∥u∥ ∥v∥ cos ( u; v) =0 ⇔u=0 ou v=0 ou cos ( u; v) =0 Dans les trois cas u ⊥ v .

Autre écriture du produit scalaire

Soit AB≠0 et AC deux vecteurs et H le projeté orthogonal de C sur (AB) alors :

AB⋅AC = AB⋅AH = AB.AH si AB⋅AH ont le même sens.

= - AB.AH si AB⋅AH ont un sens contraire.

Démo :

Si (AB ;AC ) ∈ [0; 

2 ] AB⋅AC = AB.AC.cos(a) = AB.AH = AB⋅AH Si (AB ;AC ) ∈ [ 

2 ;  ] cos( - a ) = - cos(a)

AB⋅AC = AB.AC. cos(a ) = - AB.AC.cos( - a) = - AB.AH = AB⋅AH Propriété :

Soit AB≠0 et C’ et D’ les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) alors AB⋅CD=AB⋅C ' D'

Démo : Soit E tel que AE=CD et E' le projeté orthogonal de E sur (AB) alors

AB⋅CD=AB⋅AE=AB⋅AE'=AB⋅C' D' Exercice : EX 2 de la feuille

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III) PROPRIÉTÉS DU PRODUIT SCALAIRE

Propriété

Pour tous les vecteurs u , v et w et les réels a et b on a :

u⋅v=v⋅u

u⋅vw=u⋅vu⋅w a u. b v = (ab) u⋅v Démo :

Exercices : 40 p 218 ( + en déduire BCD à 0,1 prés en degré) EX 3 feuille

IV) CARRÉ SCALAIRE D’UN VECTEUR

Définition :

On appelle carré scalaire de u le réel u⋅u noté u² Conséquences u² = ∥u∥² et AB² = AB²

uv² = u² + 2 u⋅v + v²

u−v² = u² - 2 u⋅v + v²

uv⋅u –v = u² - v²

u⋅v = 1

2 ( uv² - u² - v²) = 1

2 ( ∥uv∥² - ∥u∥² - ∥v∥² ) Exercices : 80 p 226 - 46 p 243 ex 4 feuille

IV) EXPRESSION DU PRODUIT SCALAIRE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ

Le plan est muni d’un repère orthonormé O; i,j . on donne et u (x;y) et v (x';y')

u⋅v = (x i + y j ) .( x' i + y' j ) = ...= xx’ + yy’

Propriété :

u⋅v = xx’ + yy’ ^^u ⊥ ^^v ⇔ xx’ + yy’ = 0

∥u∥ =



^x²^^y² AB =



^^xB– x_A²y_B– y_A²

Exercices : 47 p 219 -24 p 217 – 26 p 217

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V) EQUATION DE DROITE ET DE CERCLE exercice : Ex 5 feuille

Propriété :

Dans un repère O; i,j quelconque toute droite admet une équation de la forme ux + vy + w = 0 où u et v sont deux réels dont l’un au moins n’est pas nul. Elle s'appelle une équation cartésienne Réciproque :

L’ensemble des points M (x;y) du plan vérifiant ux + vy + w = 0 où u et v sont deux réels dont l’un au moins n’est pas nul est une droite de vecteur directeur d ( - v ; u )

et de vecteur normal n(u;v)

Propriété :

Dans un repère O; i,j orthonormé, l’ensemble des points M (x;y) du plan vérifiant l'équation

x – a²y – b²=r² est un cercle de centre I(a;b) et de rayon r.

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EXERCICES EXERCICE 1 :

1) ABC est un triangle équilatéral de côtés 3 et H le milieu de [BC], calculer AB⋅AC et AB⋅AH 2) ABC est un triangle rectangle isocèle en A , calculer AB⋅AC et BC⋅BA

EXERCICE 2 : l'unité est représentée par 1 carreau 1) Calculer les produits scalaires :

AB⋅AC ; CB⋅CD ; AD⋅AE ; AB⋅CD

AB⋅BC ; BC⋅BD ; BD⋅BE ; AE⋅BC

2) En déduire une mesure à 0,1 prés en degré de BCD .

EXERCICE 3 :

Soit un carré ABCD de côté a et de centre O, on donne I tel que BI=1 3BC . 1) Calculer, en fonction de a, les produits scalaires :

AB⋅AD ; AB⋅CD ; AB⋅AC ; AI⋅AC ; OB⋅OD ; AI⋅OD

2) On donne J milieu de [BC] et K milieu de [AB], montrer que (DK) ⊥ (AJ).

EXERCICE 4 : H est l'orthocentre du triangle ABC, montrer que AB²– AC²=HB²– HC² EXERCICE 5: le plan est muni d'un repère orthonormé

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(2;-5) et de vecteur directeur d (-3;4) 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(-5;4) et B(1;-2)

3) Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à D : 2x-3y+7=0 passant par I(2;3) 4) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(5;-3) et de vecteur normal n (2;-5) 5) Déterminer une équation cartésienne de la droite orthogonale à D : 5x-3y+2=0 passant par I(-2;7) 6) Déterminer une équation du cercle de centre I ( 2 ; -3) et de rayon 2

7) déterminer une équation du cercle de diamètre [AB] avec A(2;3) et B(4;-5) 8) Déterminer la nature de l'ensemble des points M(x;y) vérifiant :

a) x²y²– 4 x6 y – 12=0 b) _x²__y²– 2 x−4 y – 5=0 c) x²y²2 x10 y28=0

A B E

D

C