PRODUIT SCALAIRE

PRODUIT SCALAIRE

I) INTRODUCTION PHYSIQUE

Un enfant tire une luge sur un sol horizontal par l'intermédiaire d'une corde formant un angle  avec le sol et en exerçant une force F (exprimée en Newton) entre A et B.

La force semble plus efficace si la direction de F se rapproche de celle de (AB), donc quand l’angle entre F et AB se rapproche de 0, donc quand cos(a) augmente.

Pour exprimer cette efficacité les physiciens ont inventé le travail d’une force W = AB

∥

∥

En mathématiques, ce nombre s’appelle le produit scalaire des vecteurs F et AB . II) PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS

Définition

- Soient deux vecteurs non nuls u et v , on appelle produit scalaire de u par v le réel u⋅v = ∥u∥ ∥v∥ cos ( u; v)

- Si u=0 ou v=0 alors ^u⋅v = 0

Rq : Si u et v sont colinéaires et de même sens alors u⋅v = ∥u∥ ∥v∥

Si u et v sont colinéaires et de sens contraires alors u⋅v = - ∥u∥ ∥v∥

Propriété :

u ⊥ ^v ⇔ u⋅v = 0

Démo : u⋅v =0 ⇔u=0 ou v=0 ou ∥u∥ ∥v∥ cos ( u; v) =0 ⇔u=0 ou v=0 ou cos ( u; v) =0 Dans les trois cas u ⊥ v .

Autre écriture du produit scalaire

Soit AB≠0 et AC deux vecteurs et H le projeté orthogonal de C sur (AB) alors :

AB⋅AC = AB⋅AH = AB.AH si AB⋅AH ont le même sens.

= - AB.AH si AB⋅AH ont un sens contraire.

Démo :

Si (AB ;AC ) ∈ [0; 

2 ] AB⋅AC = AB.AC.cos(a) = AB.AH = AB⋅AH Si (AB ;AC ) ∈ [ 

2 ;  ] cos( - a ) = - cos(a)

AB⋅AC = AB.AC. cos(a ) = - AB.AC.cos( - a) = - AB.AH = AB⋅AH Propriété :

Soit AB≠0 et C’ et D’ les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) alors AB⋅CD=AB⋅C ' D'

Démo : Soit E tel que AE=CD et E' le projeté orthogonal de E sur (AB) alors

AB⋅CD=AB⋅AE=AB⋅AE'=AB⋅C' D'

III) PROPRIÉTÉS DU PRODUIT SCALAIRE

Propriété

Pour tous les vecteurs u , v et w et les réels a et b on a :

u⋅v=v⋅u

u⋅vw=u⋅vu⋅w a u. b v = (ab) u⋅v Démo :

IV) CARRÉ SCALAIRE D’UN VECTEUR

Définition :

On appelle carré scalaire de u le réel u⋅u noté u² Conséquences _u² = ∥u∥² et ^_AB² = AB²

uv² = u² + 2 u⋅v + v²

u−v² = u² - 2 u⋅v + v²

uv⋅u –v = u² - v²

u⋅v = 1

2 ( uv² - u² - v²) = 1

2 ( ∥uv∥² - ∥u∥² - ∥v∥² )

IV) EXPRESSION DU PRODUIT SCALAIRE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ

Le plan est muni d’un repère orthonormé O; i,j . on donne et u(x;y) et v(x';y')

u⋅v = (x i + y j ) .( x' i + y' j ) = ...= xx’ + yy’

Propriété :

u⋅v = xx’ + yy’ u ⊥ v ⇔ xx’ + yy’ = 0

∥u∥ =

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