;B Produit scalaire C< Table des Matières

;B Produit scalaire C<

Table des Matières

I. Définition et expressions 1

II. Orthogonalité 3

III.Propriétés du produit scalaire 4

IV. Application du produit scalaire 5

IV. A.Formule d’Al-Kashi . . . 5

IV. B.Formule de la médiane. . . 5

IV. C.Équation d’un cercle . . . 6

IV. D.Équation d’une droite perpendiculaire à une autre . . . 7

;B Produit scalaire C<

I. Définition et expressions

TActivité 1

1. Travail d’une force en physique :

Le travail d’une force−→AC durant le déplacement suivant−→ABest un nombreW :

• positif lorsque la force favorise le déplacement deAversB

• négatif lorsque la force s’oppose au déplacement deAversB

• nul lorsque la force ne contribue pas au déplacement deAversB

À partir de ce qui précède, associé le signe du nombreW du travail de la force exercée sur un wagonnet :

2. En mathématique :

Étudions le comportement du nombreλ=AB²+AC²–BC²lorsqueCvarie dans le plan.

(a) SiABCest un triangle rectangle enAque vautλ? (b) On distingue trois situations :

SoitHle pied de la hauteur issue deC dans la triangleABC.

Justifier les égalités suivantes :BC²=HC²+H B²etAC²=H A²+HC². (c) En déduire queλ=AB²+H A²–H B².

i. Situation 1 : en écrivantH B=AB–AH, montrer que :λ=2AB×AH.

ii. Situations 2 : par une démarche analogue à l’étude de la situation 1, montrer que :λ=2AB×AH iii. situation 3 : par une démarche analogue à l’étude de la situation 1, montrer que :λ=–2AB×AH

Soient les pointsA,BetC du plan tels que−→u =−→ABet→−v =−→AC, le pointHest le projeté orthogonal deC sur la droite (AB).

−

→u.→−v =AB.AH (1)

On a les deux configurations suivantes :

b

A

b

B

bC

b

H

−

→u

−

→v

b

A

b

B

bC

b

H

−

→u

−

→v

−

→u.−→v =AB.AH=AB×AH −→u.−→v =AB.AH= −AB×AH JDéfinition

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´ .

Avec les notations de la définition, on a d’autres expressions du produit scalaire→−u.−→v :

−

→u.−→v = k−→uk.k−→vk.cos¡→−u;−→v¢

(2) Avec→−u et−→v deux vecteurs de coordonnées respectives

µ x y

¶ et

µ x^′ y^′

¶ .

−

→u.−→v =xx^′+y y^′ (3) JThéorème

TDémonstration 1

Avec les deux configurations de la définition, on choisit un repère orthonormé du plan : Soit le repère³

A;−→AI;−→A J´

tel que (AI) est dirigée par→−u =−→AB,A J=AIet³−→AI;−→A J´

= π 2 : Exemples de configurations :O(0 ; 0) ;I(1 ; 0) ;J(0 ; 1)

I

b

J bb

A

b

B

bC

b

H

−

→u

−

→v

I

b

J

bb

A

b

B

bC

b

H

−

→u

−

→v

−

→u.→−v =AB.AH=AB×AH −→u.→−v =AB.AH= −AB×AH Montrons les équivalences suivantes :

1. (1)⇐⇒(2) évident en exprimantAH. 2. (2)⇐⇒(3) :

Si−→u =−→0 ou−→v =→−0 la démonstration est évidente.

On a→−u µ k−→uk

0

¶ et−→v

µ k−→vk.cos¡−→u;−→v¢ k−→vk.sin¡→−u;−→v¢

¶ . Conclure.

TExercice 1

−

→u = µ 2

5

¶−→v = µ −4

3

¶ .

Déterminer le produit scalaire→−u.−→v. JRemarques

Soit³

O;→−i ,→−j´

un repère orthonormé du plan.

On ap

x²+y²= k−→uk.

• −→u.−→u =x²+y²= k−→uk²

• −→u =→−0 ou→−v =−→0 implique−→u.→−v =0. (La réciproque est fausse) TExercice 2

Soit³

O;→−i ,→−j´

un repère orthonormé du plan.

−

→u et−→v sont deux vecteurs du plan tels que→−u.→−v =0.

Montrer que−→u ou−→v n’est pas nécessairement nul.

TExercice 3 Dans un repère³

O;−→ i ,−→

j

´soit les pointsA(−1 ; −1),B(3 ; −1) etC(2 ; 2).

On admet que l’angle³−→AB;−→AC´

=π 4.

1. Donner les coordonnées du pointHprojeté deCsur (AB).

2. Vérifier qu’avec chacune des trois expressions du produit scalaire, on a :−→AB.−→

AC=12.

II. Orthogonalité

Soient deux vecteurs−→u et→−v non nuls du plan. Les vecteurs→−u et−→v sont orthogonaux si et seulement si le produit scalaire→−u.−→v =0.

−

→u ⊥ −→v ⇐⇒ −→u.−→v =0.

JThéorème

TDémonstration 2 Laissée en exercice

III. Propriétés du produit scalaire

Soit→−u,→−v et−→wtrois vecteurs du plan,λun nombre réel :

• −→u.→−v = −→v.−→u (commutativité).

• −→u.¡−→v + −→w¢

= −→u.−→v + −→u.−→w (distributivité).

• ¡λ−→u¢

.→−v =λ−→u.−→v JThéorème

TDémonstration 3 Laissée en exercice.

TExercice 4

Simplifier l’expression suivante :−→AB.C D−−→−−−→C D.−→C B.

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Soient→−u et−→v deux vecteurs du plan : 1. ¡→−u + −→v¢2

= k−→uk²+2.−→u.−→v + k−→vk²soit→−u.−→v =1 2

¡k−→u+ −→vk²− k−→uk²− k−→vk²¢ , 2. ¡→−u − −→v¢2

= k−→uk²−2.−→u.−→v + k−→vk²soit→−u.−→v =1 2

¡k−→uk²+ k−→vk²− k−→u − −→vk²¢ , 3. ¡→−u + −→v¢

.¡→−u − −→v¢

= k−→uk²− k−→vk². JCorollaire

Des relations à connaître :

1. (Identité du parallélogramme) SoitABC Dun parallélogramme, on a : AC²+B D²=2¡

AB²+AD²¢

b

A

b

B

bC

bD

2. (Inégalité triangulaire) soit−→u et−→v deux vecteurs,

k−→u+ −→vk6_k−^→uk + k−→vk. JThéorème

TDémonstration 4 Laissée en exercice

IV. Application du produit scalaire

IV. A. Formule d’Al-Kashi

SoitABCun triangle quelconque, on notea=BC,b=ACetc=AB: a²=b²+c²−2bccos¡

Ab¢

b

A

b

B

bC

JThéorème

TDémonstration 5

remarquer :a²=−→BC²=³−→B A+−→AC´2

=³−→AC−−→AB´2

IV. B. Formule de la médiane

SoientM ABun triangle, etI le milieu du segment [AB].

• M A²+M B²=2M I²+1 2AB²

• M A²−M B²=2−−→M I.−→B A

• −−→M A.−−→M B=M I²−1 4AB²

b

A

b

B

bM

b

I JThéorème

TDémonstration 6 Laissée en exercice

IV. C. Équation d’un cercle

1. Dans un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

, soit A(xA ; yA) etB(xB ; yB) deux points qui définissent le diamètre d’un cercleC.

Un pointM(x; y) appartient au cercleC si et seulement si−−→M A.−−→M B=0.

(x−xA)(x−xB)+¡ y−yA

¢ ¡y−yB

¢=0

2. Dans un repère orthonormé³

O;→−i ,→−j´

, soit le cercleC de centreΩ(x_Ω;y_Ω) et de rayonR.

Un pointMappartient au cercleC si et seulement siMΩ²=R². (x−x_Ω)²+¡

y−y_Ω¢₂

=R²

bA ^bB^bΩ

R JThéorème

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Tout pointM de coordonnées (x; y) qui vérifient une équation de la formex²+y²+ax+b y+c=0 définit un cercle, un point ou l’ensemble vide.

JThéorème

TDémonstration 7

Montrer quex²+y²+ax+b y+c=0⇐⇒

³ x+a

2

´2

+ µ

y+b 2

¶2

=a²+b²−4c

4 .

Conclure.

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Une équation de la formex²+y²+ax+b y+c=0 telle quea²+b²>4cest appelée équation cartésienne du cercleC de centre le point de coordonnées

µ

−a 2; −b

2

¶

et de rayonR=

pa²+b²−4c

2 .

JDéfinition

IV. D. Équation d’une droite perpendiculaire à une autre

Dans un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan, soit une droiteDd’équation cartésienneax+b y+c=0 (aetbnon tous les deux nuls) et un pointA(x_A;yA).

On note→−u le vecteur directeur de la droiteDde coor- données

µ −b a

¶ .

Un pointM(x_M;y_M) appartient à la droite∆perpen- diculaire à la droiteDpassant parAsi et seulement si

−−→M A.−→u =0.

∆:−bx+a y+bxA−a y A=0.

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 0

−1

−2

−3

−4

−5 1 2 3 4

−

→u

−

→v

D

∆

bA

JThéorème

TDémonstration 8 Laissée en exercice

JRemarques

• un vecteur directeur de la droite∆, qu’on notera→−v, a pour coordonnées µ a

b

¶

, on dit que→−v est un vecteurnormalde la droiteD.

On peut vérifier l’orthogonalité par le produit scalaire→−u.−→v.

• Deux droitesDet∆d’équation réduite respectivey=mx+pety=m^′x+p^′sont perpendiculaires si et seulement simm^′= −1.

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 0

−1

−2

−3

−4

−5 1 2 3 4