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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

;B Produit scalaire C<

Table des Matières

I. Définition et expressions 1

II. Orthogonalité 3

III.Propriétés du produit scalaire 4

IV. Application du produit scalaire 5

IV. A.Formule d’Al-Kashi . . . 5

IV. B.Formule de la médiane. . . 5

IV. C.Équation d’un cercle . . . 6

IV. D.Équation d’une droite perpendiculaire à une autre . . . 7

(2)

;B Produit scalaire C<

I. Définition et expressions

TActivité 1

1. Travail d’une force en physique :

Le travail d’une force−→AC durant le déplacement suivant−→ABest un nombreW :

• positif lorsque la force favorise le déplacement deAversB

• négatif lorsque la force s’oppose au déplacement deAversB

• nul lorsque la force ne contribue pas au déplacement deAversB

À partir de ce qui précède, associé le signe du nombreW du travail de la force exercée sur un wagonnet :

2. En mathématique :

Étudions le comportement du nombreλ=AB2+AC2–BC2lorsqueCvarie dans le plan.

(a) SiABCest un triangle rectangle enAque vautλ? (b) On distingue trois situations :

SoitHle pied de la hauteur issue deC dans la triangleABC.

Justifier les égalités suivantes :BC2=HC2+H B2etAC2=H A2+HC2. (c) En déduire queλ=AB2+H A2–H B2.

(3)

i. Situation 1 : en écrivantH B=AB–AH, montrer que :λ=2AB×AH.

ii. Situations 2 : par une démarche analogue à l’étude de la situation 1, montrer que :λ=2AB×AH iii. situation 3 : par une démarche analogue à l’étude de la situation 1, montrer que :λ=–2AB×AH

Soient les pointsA,BetC du plan tels que−→u =−→ABet→−v =−→AC, le pointHest le projeté orthogonal deC sur la droite (AB).

u.→−v =AB.AH (1)

On a les deux configurations suivantes :

b

A

b

B

bC

b

H

u

v

b

A

b

B

bC

b

H

u

v

u.−→v =AB.AH=AB×AH −→u.−→v =AB.AH= −AB×AH JDéfinition

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´ .

Avec les notations de la définition, on a d’autres expressions du produit scalaire→−u.−→v :

u.−→v = k−→uk.k−→vk.cos¡→−u;−→v¢

(2) Avec→−u et−→v deux vecteurs de coordonnées respectives

µ x y

¶ et

µ x y

¶ .

u.−→v =xx+y y (3) JThéorème

TDémonstration 1

Avec les deux configurations de la définition, on choisit un repère orthonormé du plan : Soit le repère³

A;−→AI;−→A J´

tel que (AI) est dirigée par→−u =−→AB,A J=AIet³−→AI;−→A J´

= π 2 : Exemples de configurations :O(0 ; 0) ;I(1 ; 0) ;J(0 ; 1)

I

b

J bb

A

b

B

bC

b

H

u

v

I

b

J

bb

A

b

B

bC

b

H

u

v

u.→−v =AB.AH=AB×AH −→u.→−v =AB.AH= −AB×AH Montrons les équivalences suivantes :

1. (1)⇐⇒(2) évident en exprimantAH. 2. (2)⇐⇒(3) :

Si−→u =−→0 ou−→v =→−0 la démonstration est évidente.

On a→−u µ k−→uk

0

¶ et−→v

µ k−→vk.cos¡−→u;−→v¢ k−→vk.sin¡→−u;−→v¢

¶ . Conclure.

(4)

TExercice 1

u = µ 2

5

¶−→v = µ −4

3

¶ .

Déterminer le produit scalaire→−u.−→v. JRemarques

Soit³

O;→−i ,→−j´

un repère orthonormé du plan.

On ap

x2+y2= k−→uk.

• −→u.−→u =x2+y2= k−→uk2

• −→u =→−0 ou→−v =−→0 implique−→u.→−v =0. (La réciproque est fausse) TExercice 2

Soit³

O;→−i ,→−j´

un repère orthonormé du plan.

u et−→v sont deux vecteurs du plan tels que→−u.→−v =0.

Montrer que−→u ou−→v n’est pas nécessairement nul.

TExercice 3 Dans un repère³

O;−→ i ,−→

j

´soit les pointsA(−1 ; −1),B(3 ; −1) etC(2 ; 2).

On admet que l’angle³−→AB;−→AC´

=π 4.

1. Donner les coordonnées du pointHprojeté deCsur (AB).

2. Vérifier qu’avec chacune des trois expressions du produit scalaire, on a :−→AB.−→

AC=12.

II. Orthogonalité

Soient deux vecteurs−→u et→−v non nuls du plan. Les vecteurs→−u et−→v sont orthogonaux si et seulement si le produit scalaire→−u.−→v =0.

u ⊥ −→v ⇐⇒ −→u.−→v =0.

JThéorème

TDémonstration 2 Laissée en exercice

(5)

III. Propriétés du produit scalaire

Soit→−u,→−v et−→wtrois vecteurs du plan,λun nombre réel :

• −→u.→−v = −→v.−→u (commutativité).

• −→u.¡−→v + −→w¢

= −→u.−→v + −→u.−→w (distributivité).

• ¡λ−u¢

.→−v =λ−u.−→v JThéorème

TDémonstration 3 Laissée en exercice.

TExercice 4

Simplifier l’expression suivante :−→AB.C D−−→−−−→C D.−→C B.

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Soient→−u et−→v deux vecteurs du plan : 1. ¡→−u + −→v¢2

= k−→uk2+2.−→u.−→v + k−→vk2soit→−u.−→v =1 2

¡k−→u+ −→vk2− k−→uk2− k−→vk2¢ , 2. ¡→−u − −→v¢2

= k−→uk2−2.−→u.−→v + k−→vk2soit→−u.−→v =1 2

¡k−→uk2+ k−→vk2− k−→u − −→vk2¢ , 3. ¡→−u + −→v¢

.¡→−u − −→v¢

= k−→uk2− k−→vk2. JCorollaire

Des relations à connaître :

1. (Identité du parallélogramme) SoitABC Dun parallélogramme, on a : AC2+B D2=2¡

AB2+AD2¢

b

A

b

B

bC

bD

2. (Inégalité triangulaire) soit−→u et−→v deux vecteurs,

k−→u+ −→vk6k−uk + k−→vk. JThéorème

TDémonstration 4 Laissée en exercice

(6)

IV. Application du produit scalaire

IV. A. Formule d’Al-Kashi

SoitABCun triangle quelconque, on notea=BC,b=ACetc=AB: a2=b2+c2−2bccos¡

A

b

A

b

B

bC

JThéorème

TDémonstration 5

remarquer :a2=−→BC2=³−→B A+−→AC´2

=³−→AC−−→AB´2

IV. B. Formule de la médiane

SoientM ABun triangle, etI le milieu du segment [AB].

M A2+M B2=2M I2+1 2AB2

M A2M B2=2−−→M I.−→B A

• −−→M A.−−→M B=M I2−1 4AB2

b

A

b

B

bM

b

I JThéorème

TDémonstration 6 Laissée en exercice

(7)

IV. C. Équation d’un cercle

1. Dans un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

, soit A(xA ; yA) etB(xB ; yB) deux points qui définissent le diamètre d’un cercleC.

Un pointM(x; y) appartient au cercleC si et seulement si−−→M A.−−→M B=0.

(x−xA)(x−xB)+¡ yyA

¢ ¡yyB

¢=0

2. Dans un repère orthonormé³

O;→−i ,→−j´

, soit le cercleC de centreΩ(x;y) et de rayonR.

Un pointMappartient au cercleC si et seulement siMΩ2=R2. (x−x)2

yy¢2

=R2

bA bBb

R JThéorème

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Tout pointM de coordonnées (x; y) qui vérifient une équation de la formex2+y2+ax+b y+c=0 définit un cercle, un point ou l’ensemble vide.

JThéorème

TDémonstration 7

Montrer quex2+y2+ax+b y+c=0⇐⇒

³ x+a

2

´2

+ µ

y+b 2

2

=a2+b2−4c

4 .

Conclure.

Soit un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan.

Une équation de la formex2+y2+ax+b y+c=0 telle quea2+b2>4cest appelée équation cartésienne du cercleC de centre le point de coordonnées

µ

a 2; −b

2

et de rayonR=

pa2+b2−4c

2 .

JDéfinition

(8)

IV. D. Équation d’une droite perpendiculaire à une autre

Dans un repère orthonormé³

O;−→i ,−→j´

du plan, soit une droiteDd’équation cartésienneax+b y+c=0 (aetbnon tous les deux nuls) et un pointA(xA;yA).

On note→−u le vecteur directeur de la droiteDde coor- données

µ −b a

¶ .

Un pointM(xM;yM) appartient à la droite∆perpen- diculaire à la droiteDpassant parAsi et seulement si

−−→M A.−→u =0.

∆:−bx+a y+bxAa y A=0.

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1

2

3

4

5 0

1

2

3

4

5 1 2 3 4

u

v

D

bA

JThéorème

TDémonstration 8 Laissée en exercice

JRemarques

• un vecteur directeur de la droite∆, qu’on notera→−v, a pour coordonnées µ a

b

, on dit que→−v est un vecteurnormalde la droiteD.

On peut vérifier l’orthogonalité par le produit scalaire→−u.−→v.

• Deux droitesDet∆d’équation réduite respectivey=mx+pety=mx+psont perpendiculaires si et seulement simm= −1.

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