Produit scalaire dans le plan

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Produit scalaire dans le plan

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de diverses façons. C'est cette diversité de calcul qui en fait un outil puissant.

Prérequis :

1. Calculer la norme d’un vecteur.

2. Travailler avec des coordonnées.

3. Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus.

4. Tracer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.

5. Vérifier l’appartenance d’un point à une droite.

6. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur directeur.

7. Utiliser la relation de Chasles

Activités préparatoires

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Un peu d’Histoire des mathématiques :

L’origine du produit scalaire remonte à la création des quaternions (nombres de dimension 4) par le mathématicien irlandais Sir William Rowan Hamilton en 1843.

La première composante d’un quaternion est appelée composante scalaire et les trois autres sont appelées les composantes vectorielles.

Cours :

1. Produit scalaire Définitions :

Soient 𝑢"⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs non nuls,

Le produit scalaire des vecteurs 𝑢"⃗ et 𝑣⃗, noté

𝑢"⃗ . 𝑣⃗

est le nombre réel :

𝒖 ""⃗. 𝒗 ""⃗ = ‖𝒖 ""⃗‖ × ‖𝒗 ""⃗‖ × 𝐜𝐨𝐬(𝒖 ""⃗, 𝒗 ""⃗)

Si 𝑢"⃗ = 𝐴𝐵"""""⃗ et 𝑣⃗ = 𝐴𝐶"""""⃗ alors on obtient :

𝑨𝑩 """"""⃗ . 𝑨𝑪 """""⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝒄𝒐𝒔 𝑩𝑨𝑪 8

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Propriété :

Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) alors :

𝑨𝑩 """"""⃗. 𝑨𝑪 """""⃗ = 𝑨𝑩 """"""⃗. 𝑨𝑯 """"""⃗

DEMONSTRATION

En utilisant la relation de Chasles et en anticipant sur la distributivité du produit scalaire : 𝐴𝐵#####⃗. 𝐴𝐶#####⃗ = 𝐴𝐵#####⃗. (𝐴𝐻######⃗ + 𝐻𝐶#####⃗+ = 𝐴𝐵#####⃗. 𝐴𝐻######⃗ + 𝐴𝐵#####⃗. 𝐻𝐶#####⃗ = 𝐴𝐵#####⃗. 𝐴𝐻######⃗ + 0 = 𝐴𝐵#####⃗. 𝐴𝐻######⃗

Exercices :

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Cours :

Définition :

Le produit scalaire du vecteur 𝑢"⃗ par lui-même est appelé carré scalaire de 𝑢"⃗, noté 𝑢"⃗²

Remarques :

𝑢"⃗² = 𝑢"⃗. 𝑢"⃗ = ‖𝑢"⃗‖ × ‖𝑢"⃗‖ = ‖𝑢"⃗‖² 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 cos(𝑢"⃗, 𝑢"⃗) = 1 𝐴𝐵"""""⃗² = 𝐴𝐵"""""⃗. 𝐴𝐵"""""⃗ = 𝐴𝐵²

2. Orthogonalité Définition :

Les vecteurs 𝐴𝐵"""""⃗ et 𝐶𝐷"""""⃗ sont dit orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Propriété :

Deux vecteurs 𝑢"⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si et seulement si 𝑢"⃗. 𝑣⃗ = 0

3. Produit scalaire et repère orthonormé Propriété :

Dans un repère orthonormé tel que

𝑢 ###⃗ %

^!_"

& 𝑒𝑡 𝑣⃗ %

^!_"^!_!

&

on a :

𝒖 . """"⃗ 𝒗 ""⃗ = 𝒙𝒙

^!

+ 𝒚𝒚′

DEMONSTRATION : Dans un repère orthonormé (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗)

𝑢#⃗. 𝑣⃗ = (𝑥 𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗). 8𝑥′ 𝚤⃗ + 𝑦′𝚥##⃗: = 𝑥𝑥^!𝚤⃗. 𝚤⃗ + 𝑥𝑦^!𝚤⃗. 𝚥⃗ + 𝑦𝑥^!𝚥⃗. 𝚤⃗ + 𝑦𝑦^!𝚥⃗. 𝚥⃗ or 𝚤⃗. 𝚤⃗ = 1 puisque ‖𝚤⃗‖ = 1 𝑒𝑡 cos(𝚤⃗, 𝚤⃗) = 1 de même 𝚥⃗. 𝚥⃗ = 1 et 𝚤⃗. 𝚥⃗ = 𝚥⃗. 𝚤⃗ = 0 ; puisque cos(𝚤⃗, 𝚥⃗) = 0 donc 𝒖 .####⃗ 𝒗##⃗ = 𝒙𝒙^!+ 𝒚𝒚′

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Exercices :

Cours :

4. Propriétés algébriques du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs 𝑢"⃗ , 𝑣⃗ et 𝑤""⃗ et le réel k : Symétrie (1)

Distributivité (2)

Identités remarquables (4.5.6)

1. 𝑢. ###⃗ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ . 𝑢#⃗

2. 𝑢#⃗ . (𝑣⃗ + 𝑤 ##⃗ ) = 𝑢#⃗ . 𝑣 ###⃗ + 𝑢#⃗ . 𝑤 ##⃗

3. 𝑢#⃗ . (𝑘. 𝑣⃗) = 𝑘. (𝑢#⃗ . 𝑣⃗)

4. (𝑢 ###⃗ + 𝑣⃗ )

^F

= 𝑢 ###⃗

^F

+ 2. 𝑢. ###⃗ 𝑣⃗ + 𝑣 ###⃗

^F

5. (𝑢 ###⃗ − 𝑣⃗ )

^F

= 𝑢 ###⃗

^F

− 2. 𝑢. ###⃗ 𝑣⃗ + 𝑣 ###⃗

^F

6. (𝑢 ###⃗ + 𝑣⃗ ). (𝑢 ###⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢 ###⃗

^F

− 𝑣 ###⃗

^F

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Exercices :

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Cours :

5. Produit scalaire et normes Propriétés :

Pour tous vecteurs 𝑢"⃗ et 𝑣⃗ on a :

•

𝒖 ##⃗. 𝒗 ##⃗ =

^𝟏_𝟐

{‖𝒖 ##⃗ + 𝒗 ##⃗‖

^𝟐

− ‖𝒖 ##⃗‖

^𝟐

− ‖𝒗 ##⃗‖

^𝟐

}

•

𝒖 ##⃗. 𝒗 ##⃗ =

^𝟏_𝟐

{‖𝒖 ##⃗‖² + ‖𝒗 ##⃗‖² − ‖𝒖 ##⃗ − 𝒗 ##⃗‖²}

•

𝒖 ##⃗. 𝒗 ##⃗ =

^𝟏_𝟒

{‖𝒖 ##⃗ + 𝒗 ##⃗‖

^𝟐

− ‖𝒖 ##⃗ − 𝒗 ##⃗‖²}

DEMONSTRATION

• ‖𝒖##⃗ + 𝒗##⃗‖² = (𝒖##⃗ + 𝒗##⃗)^𝟐= ‖𝒖##⃗‖² + ‖𝒗##⃗‖² + 𝟐 × 𝒖.###⃗ 𝒗##⃗ …

• ‖𝒖##⃗ − 𝒗##⃗‖² = (𝒖##⃗ − 𝒗##⃗)^𝟐= ‖𝒖##⃗‖² + ‖𝒗##⃗‖² − 𝟐 × 𝒖.###⃗ 𝒗##⃗ …

• Demi somme des deux premières égalités

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Exercices :

Cours :

6. Formule d’Al-Kashi

Dans un triangle ABC tel que BC=a , AC=b et AB=c :

𝒂² = 𝒃² + 𝒄² − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨G 𝒃² = 𝒂² + 𝒄² − 𝟐𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑩G 𝒄² = 𝒂² + 𝒃² − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪G

Démonstration : 𝑎² = 𝐵𝐶² = 𝐵𝐶"""""⃗² = K𝐵𝐴"""""⃗ + 𝐴𝐶"""""⃗L^! = 𝐵𝐴² + 𝐴𝐶² + 2 𝐵𝐴"""""⃗. 𝐴𝐶"""""⃗ = 𝐵𝐴² + 𝐴𝐶² − 2𝐴𝐵"""""⃗. 𝐴𝐶"""""⃗ = Ce théorème permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle quelconque, quand on connaît deux cotés et l’angle qui forme ces deux côtés. Il permet aussi de calculer les angles d’un triangle dont on connaît les trois côtés. Dans le cas d’un triangle rectangle en A, on obtient a²=b²+c² : on retrouve le fameux théorème de Pythagore.

Exercices :

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Cours :

7. Formule de la médiane

Si A, B et M sont trois points du plan et I le milieu du segment [AB].

Alors :

MA²+MB²=2 MI² + 2 IA²

Démonstration : 𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² = '𝑀𝐼)))))⃗ + 𝐼𝐴))))⃗+^!+ '𝑀𝐼)))))⃗ + 𝐼𝐵))))⃗+^!= ⋯.

Cette propriété permet de calculer les longueurs des médianes d’un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés.

Exercices :

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Cours :

8. Équations cartésiennes Théorème (rappel) :

Toute droite d du plan est déterminée par une équation de la forme : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, avec a et b non tous nuls.

Un vecteur directeur de la droite d est alors 𝑢 """⃗K^"#_$L

Exercices :

Cours :

Définition :

Un vecteur normal 𝑛"⃗ à une droite d est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur 𝑢"⃗ de la droite d. On a alors : 𝑛"⃗. 𝑢"⃗ = 0

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Propriété :

Dans un repère orthonormé.

Soient a, b et c trois réels tels que a et b ne sont pas simultanément nuls.

• Si d : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 alors le vecteur 𝑛 """⃗K^$_#L est un vecteur normal à d.

• Réciproquement

Toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul 𝑛 """⃗K^$_#L admet une équation cartésienne de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

Exercices :

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