A814. Avec les moyens du bord

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A814. Avec les moyens du bord

Les touches de ma calculette qui fournissent directement les racines et les puissances d’un nombre quelconque sont en panne. A l’aide des seules touches qui donnent les quatre opérations élémentaires +, - , x et / et de la touche mémoire, prouver qu’il est possible de calculer la racine septième de 2012 avec la précision de 10 chiffres après la virgule dont dispose la calculette.

Réponse :

1^ère méthode : avec un développement limité

Soit ( ) , on a ( ) ∑ ^{( )}^{( )} ( ) avec ^{( )}( ) ∏( ) ∏( ) ∏^{( )}

donc ( ) ∑ ^{( )}^{( )} ( ) ∑(∏^{( )} ) ( ) ∑ ( ) ( ) avec

{ ( )

( ) ( ) ( )

Ici, avec une proximité bien plus forte pour .

√

(

) ( (

)) ∑ ( )

((

) )

et donc √ ∑ (( ) ) {

( ) () . En la calculant ∑ , la précision est de 2 chiffres après la virgule.

Pour ∑ , la précision est de 3 chiffres après la virgule.

Pour ∑ , la précision est de 9 chiffres après la virgule et le bon arrondi pour le 10^ème.

Pour ∑ , la précision est de 10 chiffres après la virgule.

2^ème méthode : à la Héron

La suite ( ) {

[ ] converge vers √ très rapidement, donnant les 10 premières décimales juste avec ! Comme la touche puissance est en panne, on pourra taper par exemple : 3 ; MS (mise en mémoire) ; ; 6 ; + ; 2 ; 0 ; 1 ; 2 ; / ; MR (rappel

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mémoire) ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; = ; / ; 7 ; MS ; ; 6 ; + ; 2 ; 0 ; 1 ; 2 ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; = ; / ; 7 ; MS ; ; 6 ; + ; 2 ; 0 ; 1 ; 2 ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; / ; MR ; = ; / ; 7 ; =.

Après avoir appuyé sur 71 touches, le résultat est atteint !

Je fais réparer la touche « racine carrée ». Montrer qu’avec les touches précédemment décrites, elle fournit une autre méthode de calcul de la racine septième de 2012 avec la même précision. Comparer les rapidités d’exécution des deux méthodes.

Réponse : à venir