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1- [AC] est le plus grand côté du triangle ABC.

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Academic year: 2022

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Classe de quatrième Cosinus

Correction du devoir surveillé

Exercice 1 :

ABC est un triangle tel que AB=5cm, BC=12cm et AC=13cm.

1- Démontre que le triangle ABC est rectangle et précise le sommet de l'angle droit.

2- Calcule la mesure de l'angle ̂BAC (arrondie au degré près).

1- [AC] est le plus grand côté du triangle ABC.

AC

2

=169

AB

2

+ BC

2

= 25+ 144=169

Il est clair que AC

2

= AB

2

+ BC

2

. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B.

2- cos ̂ BAC = AB AC = 5

13 , donc ̂ BAC ≈67 °.

Exercice 2 :

ABC est un triangle rectangle en A. AB=6 cm et ̂ABC=60° . 1- Calcule BC.

2- Calcule AC (arrondie au mm près).

3- Calcule l'aire du triangle ABC.

1- ABC est rectangle en A.

cos ̂ ABC = AB

BC , donc cos60 °= 6

BC , donc BC = 6

cos60° =12 cm.

2- J'applique le théorème de Pythagore : BC

2

= AB

2

+ AC

2

Donc AC

2

=12

2

−6

2

=144−36=108 , donc AC ≈ 10,4 cm (arrondi au mm près).

3- 10,4 ×6

2 =31,2 L'aire du triangle est de 31,2 cm

2

. Exercice 3 :

1- Trace un segment [EF] de 10 cm de longueur, puis un demi-cercle de diamètre [EF].

Sur ce demi-cercle, place le point G tel que EG=9cm.

2- Démontre que le triangle EFG est rectangle.

3- Calcule la longueur GF arrondie au mm.

4- Place le point P sur le segment [EF] tel que EP=6cm. Trace la droite parallèle (GF) passant par P. Elle coupe [EG] en M.

5- Calcule la longueur de [EM].

2- Le point G est un point du cercle de diamètre [EF].

Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors il est rectangle et ce côté est l'hypoténuse.

Donc EFG est rectangle en G.

3- J'applique le théorème de Pythagore : EF

2

=EG

2

+ GF

2

, donc 10

2

= EG

2

+ 9

2

.

EG

2

=100−81=19 , donc EG≈ 4,4 cm (arrondi au mm près).

5- Dans le triangle EFG, P est un point de [EF] et M est un point de [EG]. De plus, (MP) est parallèle à (GF).

J'applique la propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle : EP

EF = EM EG = MP

FG , donc 6 10 = EM

9 , donc EM = 9×6 10 =5,4 . Exercice 4 :

Le Téléphérique du Mont Faron est un téléphérique urbain permettant d'accéder au Mont Faron, sommet surplombant la ville de Toulon, dans le Var.

Le téléphérique mesure 1437 m et a un dénivelé de 378 m.

cos ̂ DAS = 378

1437 , donc ̂ DAS ≈ 75°

Donc, ̂ ASD =90− 75=15 °

L'angle de la pente est d'environ 15°.

1437m 378m

Point D : Départ du téléphérique

Point A : Arrivée du téléphérique

Angle de la pente

A

B C

60°

6 cm

Point S

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