Classe de quatrième Cosinus
Correction du devoir surveillé
Exercice 1 :
ABC est un triangle tel que AB=5cm, BC=12cm et AC=13cm.
1- Démontre que le triangle ABC est rectangle et précise le sommet de l'angle droit.
2- Calcule la mesure de l'angle ̂BAC (arrondie au degré près).
1- [AC] est le plus grand côté du triangle ABC.
AC
2=169
AB
2+ BC
2= 25+ 144=169
Il est clair que AC
2= AB
2+ BC
2. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B.
2- cos ̂ BAC = AB AC = 5
13 , donc ̂ BAC ≈67 °.
Exercice 2 :
ABC est un triangle rectangle en A. AB=6 cm et ̂ABC=60° . 1- Calcule BC.
2- Calcule AC (arrondie au mm près).
3- Calcule l'aire du triangle ABC.
1- ABC est rectangle en A.
cos ̂ ABC = AB
BC , donc cos60 °= 6
BC , donc BC = 6
cos60° =12 cm.
2- J'applique le théorème de Pythagore : BC
2= AB
2+ AC
2Donc AC
2=12
2−6
2=144−36=108 , donc AC ≈ 10,4 cm (arrondi au mm près).
3- 10,4 ×6
2 =31,2 L'aire du triangle est de 31,2 cm
2. Exercice 3 :
1- Trace un segment [EF] de 10 cm de longueur, puis un demi-cercle de diamètre [EF].
Sur ce demi-cercle, place le point G tel que EG=9cm.
2- Démontre que le triangle EFG est rectangle.
3- Calcule la longueur GF arrondie au mm.
4- Place le point P sur le segment [EF] tel que EP=6cm. Trace la droite parallèle (GF) passant par P. Elle coupe [EG] en M.
5- Calcule la longueur de [EM].
2- Le point G est un point du cercle de diamètre [EF].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors il est rectangle et ce côté est l'hypoténuse.
Donc EFG est rectangle en G.
3- J'applique le théorème de Pythagore : EF
2=EG
2+ GF
2, donc 10
2= EG
2+ 9
2.
EG
2=100−81=19 , donc EG≈ 4,4 cm (arrondi au mm près).
5- Dans le triangle EFG, P est un point de [EF] et M est un point de [EG]. De plus, (MP) est parallèle à (GF).
J'applique la propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle : EP
EF = EM EG = MP
FG , donc 6 10 = EM
9 , donc EM = 9×6 10 =5,4 . Exercice 4 :
Le Téléphérique du Mont Faron est un téléphérique urbain permettant d'accéder au Mont Faron, sommet surplombant la ville de Toulon, dans le Var.
Le téléphérique mesure 1437 m et a un dénivelé de 378 m.
cos ̂ DAS = 378
1437 , donc ̂ DAS ≈ 75°
Donc, ̂ ASD =90− 75=15 °
L'angle de la pente est d'environ 15°.
1437m 378m
Point D : Départ du téléphérique
Point A : Arrivée du téléphérique
Angle de la pente
A
B C
60°
6 cm
Point S
