E539. Des boules aux couleurs belges
Solution proposée par Philippe Bertran
Soient Nn, Jn et Rn les nombres de boules noires, jaunes et rouges après le tirage n. Le tableau suivant donne les valeurs de Nn+1, Jn+1 et Rn+1 en fonction du résultat du tirage n+1 :
Tirage n+1 Nn+1 Jn+1 Rn+1 Nn+1 + Rn+1
NN Nn - 2 Jn + 1 Rn Nn + Rn - 2 JJ Nn + 1 Jn - 2 Rn + 1 Nn + Rn + 2 RR Nn Jn + 1 Rn - 2 Nn + Rn - 2 NJ Nn - 1 Jn - 1 Rn + 1 Nn + Rn
RJ Nn + 1 Jn - 1 Rn - 1 Nn + Rn
NR Nn Jn Rn Nn + Rn
Première question
On remarque que (Nn+1 + Rn+1) a même parité que (Nn + Rn) et donc que (N0 + R0) c'est-à-dire que 2010.
(Nn + Rn) est donc toujours pair. Par conséquent, s’il n’y a que trois boules, Jn est forcément impair, donc égal à 1 ou 3. Il y a donc nécessairement au moins une boule jaune parmi les trois.
Deuxième question
Il est possible d’arriver à une seule boule, par exemple par la séquence suivante dans laquelle : - tout ensemble de 2p boules noires se transforme, paire par paire, en un ensemble p boules jaunes, - tout ensemble de 2p boules rouges se transforme, paire par paire, en un ensemble p boules jaunes,
- tout ensemble de 2p boules jaunes se transforme, paire par paire, en un ensemble p boules rouges et p boules noires.
Noires Rouges Jaunes
2010 0 0
(…)
0 0 1005
(…)
502 502 1
(…)
0 0 503
(…)
251 251 1
(…)
1 1 251
(…)
126 126 1
(…)
0 0 127
(…)
63 63 1
(…)
1 1 63
(…)
2
32 32 1
(…)
0 0 33
(…)
16 16 1
(…)
0 0 17
(…)
8 8 1
(…)
0 0 9
(…)
4 4 1
(…)
0 0 5
(…)
2 2 1
(…)
0 0 3
1 1 1
2 0 0
0 0 1
