D619. Deux fois sur trois
Solution proposée par Philippe Bertran
Première question
L’angle au centre sous lequel on voit un côté d’un pentadécagone régulier est 24 degrés.
On sait (depuis Euclide) construire à la règle et au compas un pentagone régulier, donc un angle de 72 degrés. Comme on sait construire géométriquement un angle de 60 degrés et la somme de deux angles, on sait donc construire un angle de (72 – 60)x2 soit 24 degrés. Par conséquent on peut construire un pentadécagone régulier.
La possibilité de construire à la règle et au compas un heptadécagone régulier a été démontrée par Gauss. Je ne me risquerai pas à l’imiter !
Deuxième question Pentadécagone
Soit J l’intersection de (P1P6) et de (P2P8) et K celle de (P3P11) et de (P2P8). La question revient à examiner si J et K sont confondus.
On va comparer P2J et P2K en utilisant la relation a/sinA = b/sinB dans les triangles KP2P3 et JP2P1 :
P2K/sin(6π/15) = P2P3/sin(4π/15) et
P2J/sin(4π/15) = P2P1/sin(3π/15)
Comme P2P3 = P2P1, si J et K étaient confondus, on aurait sin(6π/15) / sin(4π/15) = sin(4π/15) / sin(3π/15)
On vérifie facilement avec une calculette que cette égalité est fausse. Donc les trois cordes ne sont pas concourantes.
Heptadécagone
Soit I l’intersection de (H3H16) et de (H4H17) et J celle de (H1H7) et de (H4H17). La question revient à examiner si I et J sont confondus.
On fait comme précédemment dans les triangles IH16H17 et JH1H17 : H17I/sin(3π/17) = H16H17/sin(2π/17)
et
H17J/sin(10π/17) = H1H17/sin(4π/17)
Comme H16H17 = H1H17, si I et J étaient confondus, on aurait : sin(3π/17) / sin(2π/17) = sin(10π/17) / sin(4π/17)
Là encore, on vérifie facilement avec une calculette que cette égalité est fausse. Donc les trois cordes ne sont pas concourantes.
2
Octadécagone
Soit I l’intersection de (O1O8) et de (O5O14) et J celle de (O1O8) et de (O6O16). La question revient à examiner si I et J sont confondus.
Comparons O1I et O1J :
Les angles O1O16J et O16O1J valent respectivement 5π/18 et 8π/18. Donc O1JO16 = 5π/18 et donc O1JO16 est isocèle.
On a donc O1J = O1O16 = 2Rsin(3π/18), d’où O1J/2R = ½
Dans le triangle O1IO5, on a O1I / sin(5π/18) = O1O5 / sin(10π/18)
Comme O1O5 = 2R sin(4π/18), on en déduit O1I = 2Rsin(4π/18) x sin(5π/18) / sin(10π/18) D’où O1I/2R = sin(4π/18) / 2cos(5π/18), soit O1I/2R = sin(4π/18) / 2sin(π/2 - 5π/18) ou O1I/2R = sin(4π/18) / 2sin(4π/18) = ½
On a bien O1I = O1J donc I et J sont confondus.
Les trois cordes sont donc bien concourantes.
