Notion de fonction. Bijections
¦ Pour définir une fonction f, on doit donner son ensemble de départE, son ensemble d’arrivéeF et la règle qui permet d’obtenir l’image de tout élémentx∈E. Cette règle est notée sous la forme x7→ · · ·et on écrit :
f : E → F x 7→ f(x)
Une telle fonction n’est correctement définie que si la règlex7→f(x) permet de définir, pour tout x∈E, une unique image notéef(x) etf(x)∈F.
Remarque. Il arrive que l’on abrège l’écriture d’une fonction lorsque les ensemblesE etF se dé- duisent du contexte. Par exemple :
• La fonctionx7→1 est solution surR+∗de l’équation différentiellex y0+y=1 ;
• La fonctionx7→x+ln(x) réalise une bijection deR+∗surR.
B On ne doiten aucun casutiliser la notationf(x) pour désigner la fonctionf.
¦ Une fonctionf :E→Fest dite :
• injective lorsque :∀x,y∈E,f(x)=f(y)=Âx=y;
• surjective lorsque :∀y∈F,∃x∈E,f(x)=y;
• bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.
Conséquence : l’applicationf est bijective si, et seulement si, quel que soity∈F, l’équationf(x)=y admet une unique solutionx∈E.
¦ La notion de bijection est utile en pratique (à cause de son lien avec les équations) mais il peut être compliqué d’établir qu’une fonction est une bijection. C’est pourquoi, pour les cas que l’on rencontre en pratique, on a mis en place des critères simples permettant de montrer qu’une fonction est bijective. Les deux cas usuels sont :
• Les fonctionsf définies sur un intervalleIdeRet à valeurs dansR, pour lesquelles on utilise le théorème de la bijection ;
• Les applications linéaires d’un espace vectorielE dans un espace vectorielF, tous deux de dimension finie, pour lesquelles on utilise les différentes caractérisations des isomorphismes.
1
Théorème 1 – de la bijection
Si :
• I est un intervalle de I ;
• f :I→Rest continue sur I ;
• f est strictement monotone sur I , alors f réalise une bijection de I sur J=f(I).
Exemple. Démontrer que l’application
f : R+∗ → R x 7→ x+lnx réalise une bijection deR+∗sur un intervalleJque l’on précisera.
ÞLa fonctionf est définie et dérivable sur l’intervalleR+∗et :
∀x>0, f0(x)=1+1 x>0
La fonction f est donc strictement croissante surR+∗. Elle est de plus continue surR+∗donc elle réalise une bijection deR+∗surJ=f(R+∗). Or f(x)−−−−→
x→0+ −∞etf(x)−−−−−→x
→+∞ +∞donc l’intervalle
Jest égal à ]−∞,+∞[,i.e. J=R.
Théorème 2 – Caractérisation des isomorphismes
Soit f :E→F avec E et F deuxK-espaces vectoriels de dimension finie. On noteBune base de E etB0une base de F . SidimE=dimF et f est linéaire, alors on a équivalence entre :
(i) f est un isomorphisme ; (ii) f est injective ;
(iii) f est surjective ; (iv) Kerf ={0};
(v) Imf =F ; (vi) rg(f)=dimF ;
(vii) MatB,B0(f)est inversible.
Si f est linéaire etdimF6=dimE , alors f n’est pas un isomorphisme.
Exemple. Démontrer que l’applicationf : R2[X] → R3
P 7→
µP(0)
P(1) P(2)
¶
est un isomorphisme.
ÞL’application f est définie surR2[X], à valeurs dansR3et :
∀P,Q∈R2[X],∀λ∈R, f(λP+Q)=
µ(λP+Q)(0)
(λP+Q)(1) (λP+Q)(2)
¶
=
µλP(0)+Q(0)
λP(1)+Q(1) λP(2)+Q(2)
¶
=λ µP(0)
P(1) P(2)
¶ +
µQ(0)
Q(1) Q(2)
¶
=λf(P)+f(Q) Par conséquent,f est linéaire. PourP∈R3[X], on a :
P∈Kerf ≺===Â f(P)=0 ≺===Â P(0)=P(1)=P(2)=0 ≺===Â 0, 1, 2 sont racines deP
Or un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 admettant 3 racines distinctes est nul. Par consé- quent :
P∈Kerf ≺===Â P=0
On en déduit que Ker(f)={0} donc f est injective. De plus, dimR2[X]=3=dimR3 donc f est
bijective. C’est un isomorphisme.
2
