L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2011-2012
D. Blottière Mathématiques
Devoir maison n˚1
Pour le vendredi 21 octobre.
Exercice 1 : Résolution d’un système linéaire à paramètre
Soit λ∈R. Résoudre le système (Sλ)d’inconnue (x, y, z)∈R3 défini par :
(Sλ) :
3y + 2z = λx
−2x + 5y + 2z = λy
2x − 3y = λz
.
Indication : On commencera par se ramener à un système linéaire homogène. On pourra dis- tinguer plusieurs cas, suivant la valeur du paramètre λ.
Exercice 2 : Bissectrice de deux droites sécantes
Soit (O;−→ i ,−→
j )un repère orthonormé du plan. Soient D1 etD2 deux droites sécantes du plan.
Montrer que l’ensembleB des points M du plan tels que : d(M,D1) =d(M,D2)
est la réunion de deux droites orthogonales.
Indication : On pourra introduire un vecteur −→n1(a1, b1) normal à D1, de norme 1 et un vecteur
−
→n2(a2, b2) normal à D2, également de norme 1, puis considérer des équations cartésiennes de D1 et D2.
Problème : Points et cercles remarquables dans un triangle
Soit (O;−→ i ,−→
j ) un repère orthonormé du plan. Soit les points
A(−3,1) ; B(1,5) ; C(3,−3).
Partie A : L’orthocentre du triangle ABC
1. Donner une équation cartésienne des trois hauteurs du triangleABC.
2. Démontrer que ces trois hauteurs sont concourantes en un point H. On donnera les coordonnées deH.
Terminologie : Le point H est appelé orthocentre du triangle ABC.
Partie B : Le cercle circonscrit au triangle ABC
1. Donner une équation cartésienne des médiatrices des segments[AB], [AC]et [BC].
2. Démontrer que ces trois médiatrices sont concourantes en un point Ω. On donnera les coordonnées deΩ.
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3. Calculer les longueurs ΩA,ΩB et ΩC.
4. Que peut-on déduire de la question 3 ?
5. Donner une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangleABC, qui par définition est le cercle passant par les trois sommets du triangle.
Partie C : Le centre de gravité du triangle ABC
1. Donner une équation cartésienne de chacune des médianes du triangleABC.
2. Démontrer que ces trois médianes sont concourantes en un point G. On donnera les coordonnées deG.
3. Démontrer que :
−→GA+−−→ GB+−→
GC =−→ 0. 4. Prouver que les pointsH, Ω etG sont alignés.
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