Série n° 13 exercices sur « Notions de logique » 1ére Bac SM Exercice 1

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₁ Série n° 13 exercices sur « Notions de logique » 1ére Bac SM

Exercice 1

1) Donner la négation de la proposition suivante puis étudier sa valeur de vérité



^{ }^x ^IR



^{ }^y ^{IR :}



^y² ^^x

2) Déterminer la valeur de vérité de la proposition suivante :



^{ }^a ^{IN /}



^a²^⁷^a^¹²^⁰

3) Montrer que :



^

 

^{x y}^; ^^IR²



^{: 3}^x^²^y^{  }⁴ ^x ²^{ou y}^¹

4) a) soient a et b deux entiers naturels distincts; montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^{; a b}^ ^divise^aⁿ ^^bⁿ

b) Déduire que :



^{ }ⁿ ^IN



^;⁷^divise³²ⁿ^²ⁿ

Exercice 2

Ecrire chacune des propositions suivantes en utilisant les quantificateurs puis donner leurs valeurs de vérité P : « Pour fout entier naturel n ; il existe un entier naturel m tél que :n2 m»

Q : « pour tout réel x et y ; il existe un entier naturel n tel que : x y n » R : « il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans IR ; xM » S : « Pour tout m dans IR; il existe un réel x tel que :x²mx 1 0 » Exercice 3

Donne la négation de chacune des propositions suivantes ; puis déterminer leurs valeurs de vérité.

(P): «



^{ }^x ^{IR :}



^x²^{  }¹ ^x ⁰^.

(R):



^{ }^x ^IR



^{ }^y ^{IR :}



^y^^x

(Q):



^IN

 ^

^{IR :}

^

² ¹

1 x n

n x

x

     

 .

(S):



^{ }^x ^IR



^:^x²^{  }^x ^{1 0 1}^et ^{  }^x ¹^.

(T):



^{ }^x ¹



^:^x²^{  }^x ² ⁰^.

(u):



^{ }^x ^IR



^{ }^y ^{IR :}



^x²^^y²^^xy^{ }³ ⁰

Exercice 4

Montrer que la proposition suivante est vraie :



^{ }^x ¹

 

^{ }^y ¹



^; ₂ ₂

1 1

x y

  

  Exercice 5

Montrer que pour tous a et b dans IR^ ; on a : 1 a a  1 b b b a . Exercice 6

Soient a et b deux nombres réels tel que:



^{ }^x ^IR



^;



^a^{  }^x ^b ^x



montrer que: ba.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₂ Exercice 7

Soient x; y et z des nombres réels strictement positifs ; tels que : xyz1 et x y z ¹ ¹ ¹ x y z

     Montrer par l'absurde que

1) x1 et y1 et z1. 2)x1 ou y1 ou y1 Exercice 8

En utilisant un raisonnement par disjonction des cas; montrer que:

1)



^{ }ⁿ ^IN



^;



¹



¹



3 IN n n n

 . 2)



^{ }ⁿ ^IN



^; ² ¹ ^IN

3

n   .

Exercice 9

Soient a et b deux nombres réels tels que :



^{ }ⁿ ^IN^



^;^a ¹ ^b ^a ¹

n n

    Montrer que : ab ,

Exercice 10

Soient n et p deux entiers naturels! non nuls, tels que p1 ;

montrer par l'absurde que: si p divise n alors p ne divise pasn1 . Exercice 11

1) soient a et b et c trois nombres entiers relatifs et impairs.

montrer que l'équation:

 

^E ^:^ax^²^^{bx c}^{ }⁰ n’admet pas de solution dans Q . 2) Montrer que :



^{ }^x ^IR



^; ² ¹ ¹



²



⁰

x  2 x  Exercice 12

Soient  et  deux réels de

 

^0;1

On pose a   ;^b^^



¹^^



^^



¹^^



^et^c^{ }



¹ ^



¹^^



1) a) Montrer que : b2 a2a . b) Montrer que :a b  1 c . 2) Montrer par l'absurde que 4

a 9 ou 4

b9ou 4 c9 Exercice 13

Soient x; y et z des nombres réels de



^2;



tels que : xyz.

En procédant par un raisonnement de disjonction des cas, montrer que x y z. Exercice 14

Montrer par récurrence que :



^{ }ⁿ ^IN



^;



¹^^a



ⁿ ^{ }¹ ^naôùâÎR^

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₃ Exercice 15

Pour tout nIN; on pose : S_n     1³ 2³ 3³ n³ récurrence que:



^{ }ⁿ ^IN



^; ²



¹



²

n 4

n n

S 



Exercice 16

1) Montrer que :



^

 

^{a b}^; ^^IR²



^;^a²⁺^b² ^{ }⁰ ^a^⁰^{et b}^⁰

2) Résoudre dans IRl'équation : 2 x 1 4 y  4 x y. Exercice 17

Résoudre dans IN²l'équation: ^{9 ²}^y ^



^x^¹



² ^³²^.

Exercice 18 Soient x et y deIR.

Montrer que si : x y 1 alors



^{ }ⁿ ^IN



^; ¹ ¹n ¹ ¹n



^{1 2}ⁿ



²

x y

 

 

      .