EXERCICES-« SUITES NUMERIQUES » 1ére Bac SM

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EXERCICES-« SUITES NUMERIQUES » 1ére Bac SM

Exercice 1

On considère la suite réelle

 

un n_1 définie par

  _{ }

1

IN 1

1

n n

k

n u

k k





  



 1) Montrer que la suite

 

un n_1 est croissante

2) Déterminer les réels a et b tels que



^IN

 _

¹

_

1 1

a b

k k k k k

    

 

3) En déduire que

 

un n_1 est majorée . Exercice 2

On considère la suite réelle

 

vn n_1 définie par

 

₂

1

IN 1

k n n

k

n v

n k

 



  





1) Montrer que



^IN



_{2 2}

n 1

n n

n v

n n n

    

  , puis en déduire que

 

vn n_1 est bornée.

Exercice 3

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par u₀3 et IN : ₁ ^{12 9} 4

n n

n

n u u

 u

   

1) Calculer u et ₁ u₂

2) On pose IN : ²

2 3

n n

n v

   u



a) Montrer que la suite

 

vn n_0 est arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.

b) Exprimer v puis _n u en fonction de _n n c) Calculer A    v₀ v₁ v₂ v₉₉. Exercice 4

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par u₀ 1 ,u₁3 et  n IN :^ u_n1 10u_n9u_n1. On pose  n IN :v_nu_n1u_n

1) Montrer que la suite

 

vn est géométrique et exprimer v en fonction de _n n 2) Démontrer que  n IN :^ u_n     v₀ v₁ v₂ ... v_n1u₀

3) En déduire u en fonction de _n n Exercice 5

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par u₀ 0 ,u₁1 et ₂ 2 ₁ 1 IN : ⁿ 3 ⁿ 9 ⁿ

n u _ u _ u

    .

On pose ₁ 1

IN : 3

3

n

n n n n n

n v u _ u et w u

    

1) Montrer que la suite

 

vn est géométrique et exprimer v en fonction de _n n

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2) Montrer que la suite

 

wn est arithmétique et exprimer w en fonction de _n n

3) Calculer en fonction de n les sommes

S

_n

    v

₀

v

₁

v

_n et T_n 3u₁3²u₂ 3ⁿu_n Exercice 6

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par u₀2 et ₁ ⁵ ;

2 3

n n

n

u u n

  u 

 .

On pose IN : _n ^{n 1}

n

n v u u

   

1) Montrer que la suite

 

vn est géométrique 2) Exprimer v puis _n u en fonction de _n n. Exercice 7

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par u₀ 1 et u_n1  u_n 2 ; n . 1) Montrer que :  n IN : 0u_n2

2) Étudier le sens de variation de

 

un .

3) a) Montrer que pour tout entier n, on a : ₁ 1

2 2

n 2 n

u_   u 

b) En déduire par récurrence que : 1

IN : 2

2

n

n un  

       ^.

Exercice 8

On considère les deux suites réelles

 

un et

 

vn définies par :

0 4

u  , ₁ ; IN

2

n n

n

u v

u _   n et v₀3 , ₁ ¹ ; IN

2

n n

n

u v

v _  ^  n

1) Montrer que la suite

 

wn définie par w_n  v_n u_n ;nIN est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison

2) Etudier le sens de variation de

 

un et

 

vn

3) Montrer que

 

un est majorée par 4 et

 

vn est minorée par 3. 4) On considère la suite numérique

 

tn définie par : 2

; IN 3

n n

n

u v

t  n

  .

Montrer que

 

tn est constante, puis en déduire u et _n v en fonction de _n n. Exercice 9

On considère la suite réelle

 

un définie par ₁ 1 3

; IN

n 2 n

n

u u n

 u

 

     

  et u₀ 4

1) Montrer que :  n IN :u_n  3

2) a -Montrer que pour tout entier n, on a: ^{un1 31}₂



^{un  3}



b - En déduire par récurrence que : ^{ n IN :un 3 }  ¹₂ ⁿ



^{4 3}



www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice 10

On considère la suite réelle

 

un n_1 définie par :

u₁2 , et



^IN



^{1 1 1 3 1 1}

2 2 2

n n

n ^ u _ u n n n

        .

On pose ^{ n IN : vn un }



^{n n1}



1) Montrer que la suite

 

vn n_1 est géométrique de raison 1 2 2) Exprimer v puis _n u en fonction de _n n

3) Calculer

1 k n

n k

k

T v









^et

1 k n

n k

k

S u









en fonction de n. Exercice 11

On considère la suite réelle

 

un n_0 définie par ₀ 1

u 5 et ₁ ² 3 4 ;

n n n

u _ u  u n . 1) Montrer par récurrence que : 1

: 0 ⁿ 5

n u

    2) Etudier le sens de variation de

 

un

3) a - Montrer que pour tout entier n, on a : ₁ 19

n 20 n

u _  u b - En déduire par récurrence que 1 19

: 5 20

n

n un  

    

 

On pose :  n : S_n u₀ u₁ u_n . Montrer que 0S_n4.