Exercice « notion de logique » 1ére Bac SMaths Exercice 1

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Exercice « notion de logique » 1ére Bac SMaths Exercice 1

Soient x et y deux nombres réels tels que x 1 et y 1 . Montrer que:

2

2 2

1 1 2 1

2 x y

x y   

     

 

Indication : ( Pour

a  0

et

b  0

, on a :

2 2

2 2

a b  a  b



).

Solution

Sachant que x 1 et y 1, montrons que :

2

2 2

1 1 2 1

2 x y

x y   

     

 

soit

 

^{x y; IR2}

On a: ∎ x 1, donc:

x

²

 1

, d'où:

1  x

²

 0

∎ y 1, donc:

y

²

 1

, d'où:

1  y

²

 0

D'une part:

Posons: a 1x² et

b  1  y

² ; On a :

a  0

et

b  0

donc :



²

 

²

 _{ }

2 2 2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

1 1 2 1 1

2 2 2

x y

x y x y

x y

   

 



 



   

D'autre part, montrons que :

2 2

2

1 1

2 2

x y  x y 

     

 

Pour cela, comparons :

2

2 x y

 

 

 



et

2 2

2 x  y

On a :

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

2 2

x y    x y   x y  x  xy y

 

 



 

2 2

2

4

2

2

x xy y

x y

 

  

 

 





D'où le résultat :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x y     x y     x y     x y  



 





 

 

2 2

2 2

2

2

2 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

2 1 2 1 2

2 2

x y x y

x y x y

x y x y

 

       

 

       

 

     

 



 

 



www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 De

  1

et

  2

on obtient : ^{2 2}

2

2 1 2

1 1 x y

x  y     

 

 

 

On conclut que pour tous réels x et y tels que ; x 1 et y 1 ; on a :

2

2 2

1 1 2 1

2 x y

x y   

       