Exercice « notion de logique » 1ére Bac SMaths Exercice 2

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Exercice 2

1) Montrer que pour tout x de



^0;



^,

^{x 1 2}

  x

2) Montrer que pour tout x de



^1;



:

2

1 x

x 



2) En déduire que pour tous a et b de

 ^{1; } 

^{: 2 2}

⁸

1 1

a b

b  a 

 

Solution

1) Montrons que pour tout x de



^0;



^;

^{x 1 2}

  x

. Méthode 1

Soit ^x



^0;



; on a :

1

2

1 2

2 x x

x x x

    

 1 

²

x

x

 

Or: pour tout x de



^0;



^;

^{ x 1 }

²

⁰

x

 

Donc : pour tout x de



^0;



^;

^{x 1 2}

  x

Méthode 2

Soit x de



^0;



On a :

2 2

1 1 1

0 2 0

x x x

x x x

           

   

   

2 1 0

1 2

x x

x x

   

  

Donc : pour tout x de



^0;



^;

^{x 1 2}

  x

2) Montrons que pour tout x de



^1;



^:

²

1 x

x 



Méthode 1

Soit ^{x }



^1;



^;



^x2



^{2 0}

Donc :

x

²

 4 x   4 0

C'est-à-dire _x²_4



_{x 1}



₀ D'où: _x² _4



_x1



Par suite :

2

1 4 x

x 



^(car

x   1 0

)

Comme la fonction

x x

est strictement croissante sur ^{x }



^1;



www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Alors

2

1 2 x

x 



D’où :

2

1 x

x 



Méthode 2

Soit ^{x }



^1;



^{; On a :}

^{2 2 1}

1 1

x x x

x x

 

   

 

 

2

2

1 2 1 1

1

1 2 1 1

1 1 1

1

x x

x

x x

x x

x

   

 

   

 

  



Or pour tout ^{x }



^1;



^;

 1 1 

²

0 1 x

x

  



Donc: pour tout ^{x }



^1;



^;

^{2 0}

1 x

x  



Par suite: pour tout ^{x }



^1;



^;

²

1 x

x 



3) Déduisons que pour tous a et b de

 ^{1; } 

;

2 2

1 1 8

a b

b  a 

 

^.

Soient a et b deux éléments de

 ^{1; } 

D'après le résultat de la question 2) pour

x  a

puis pour

x  b

on obtient : (Dans tous nos calcul on a ;

a   1 0

et

b   1 0

)

 

 

2 2

2

2 2 2

2 4 4 1

4 1

1 1 1 1

4 1 1

2 4 4

1 1 1 1

a a a a

a a

a a b b

b b b b b b

b b a a

  

      

     

    

    



  

   

     



    

  

   

   

 

Donc :

2 2

1 1

1 1

4 4

1 1

a b

b a

a b

b a

 

       

     

Par suite: ^{2 2} ₄ ^{1 1}

 

1 1 1

1 1

a b

a a

b

b b a

 

  

   

 

 

 

Or d'après la question 1) on a pour

1 x a 1

 b 



^;

1 1

1 a x

b 

 

puisque :

1 1 0 a b

 



1 1 1 1  

2 4 8 2

1 1 1 1

a b a b

b a b a

            

     

Par suite: de

  1

et

  2

on déduit que :

2 2

1 1 8

a b

b  a 

 

Conclusion:

Pour tous a et b de



^1;



^{: 2 2}

⁸

1 1

a b

b  a 

 