Série n°11 sur « les suites numériques » 1ére Bac Sc.Exp Exercice 1

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n°11 sur « les suites numériques » 1ére Bac Sc.Exp

Exercice 1

On considère la suite

 

un définie par :

 

0

2 1

0

1 2

IN

3 3

n n n

u

u _ u _ u n

 

    



On définit les suites

 

vn et

 

wn par:



^{ }ⁿ ^IN



^;vnun_1un et ₁ 2

n n 3 n

w u _  u 1- a. Montrer que

 

vn est une suite géométrique.

b. On pose S_n    v₀ v₁ .... v_n_₁; (où nIN^)

Calculer de deux façons différentes S_n et en déduire u en fonction de n _n 2- a. Déterminer la nature de la suite

 

wn .

b. Déterminer un en fonction de v et _n w . _n c. Retrouver u en fonction de n. _n

3- Calculer en fonction de n, la somme: S_n    u₀ u₁ .... u_n_₁. Correction

On a:

 

0

2 1

0

1 2

IN

3 3

n n n

u

u _ u _ u n

 

    

 .

a. Montrons que

 

vn est une suite géométrique.

Soit nIN,

on a : v_n_₁u_n_₂u_n_₁

 

1 1 1

1

1 2

3 3

2 2

3 3

2 3 2

3

n n n n

n n

n

v u u u

u u

v

  



  

  

  

 

Donc:



^{ }ⁿ ^IN



^; 1

2

n 3 n

v _   v .

D'où :

 

vn est une suite géométrique de raison 2

q 3 et de premier terme v₀  u₁ u₀ 1. b. On a :

1

0 1 1 0

.... 1

1

n

n n

S v v v v q

q





     

 ⁽

 

vn est une suite géométrique)

Donc:

1 2

3 2

1 3 1

2 5 3

1 3

n

Sn

 

      

           .

D'autre part, on a : v_nu_n_₁u_n Donc : S_n    v₀ v₁ .... v_n_₁

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896  u₁  u₀ u₂ u₁ u₃ u₂ ....u_nu_n_₁

( après simplification)

0

n n n

S u  u u (car u₀ 0)(1-(-3)

D'où : 3 2

5 1 3

n

n n

u S       2- a. On a : ₁ 2

n n 3 n

w u _  u Soit nIN,

1 2 1

2

n n 3 n

w_ u _  u _

1 1

1

1 2 2

3 3 3

2 3

n n n

n n

n

u u u

u u

w

 



  

 



Donc:



^{ }ⁿ ^IN



^;w_n_₁w_n

Ainsi :

 

wn est une suite constante.

et comme ₀ ₁ 2 ₀ 3 1

w  u u  Alors :



^{ }ⁿ ^IN



^;w_n 1 b. On a:

1

2 3

n n n

v u u

w u u



 



  

 .

Donc :

2 5

3 3

n n n n n

w  v u u  u et par suite : ³



¹



n 5 n

u  v ; (carw_n 1)

c. On a :



^{ }ⁿ ^IN



^;w_n 1 ; et 2 3

n

vn   

 

(car

 

vn est une suite géométrique et de raison 2

q 3 et de premier terme v₀ 1. D'où :



^{ }ⁿ ^IN



^; ³ ¹ ²

5 3

n

un       3- S_n    u₀ u₁ .... u_n_₁

Méthode 1: (Le signe



^sigma)

1

0 n

n k

k

S u





 



1

0

1 1

0 0

3 2

5 1 3

3 2

5 1 3

n k

k

n n k

k k





 

 

   

     

   

     



 

1

0

3 2

5 3

n k

k

n





   

  



  

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896

1 2

3 3

5 1 2

3

n

    

   

 

 

  

 

 

3 3 2

5 5 1 3

n

    

       

Donc :



^{ }ⁿ ^IN



; 3 3 2

5 5 1 3

n

Sn  n      Rappel :

1-•

1

0 1 1

0

.... 1

1

n n

k n

k

q q q q q

q

 



     



 •

 

1

.... 1

n

k p n p fois

a a a a n p a

  

       



^et ¹

0

....

n

k n fois

a a a a n a





     



•

 

0 0 0

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

Méthode 2:

 

3 1

n 5 n

u  v

 

1

0 1

0

3 1 5

n

n k

k n

k k

S u

v









 

 



De même on obtient : 3 3 2

5 5 1 3

n

Sn  n     