Série n°2 exercices sur la rotation dans le plan 1ére Bac SC Exp

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Série n°2 exercices sur la rotation dans le plan 1ére Bac SC Exp

Exercice 1:

ABCD est un carré tel que :

 AB AD ; 

positif. Soient

AED

et

AFB

deux triangles équilatéraux Montrer que les points : E et C et F sont alignés I

Solution :

soit

R

la rotation de centre A et d’angle 3



et soit K l’antécédent de C par

R

.

On a : _{R B}

 

_{F Car :}

  ^{ }

; 2

3 AB AF

AB AF  

 

 

 

Et on a : _{R D}

 

_{ECar :}

  ^{ }

; 2

3 AD AE

AD AE  

 

 

 

Et on a : _{R K}

 

_{C ; donc :}

  ^{ }

; 2

3 AK AC

AK AC  

 

 

 

puisque :

AB BC =

; Donc B appartient à la médiatrice du segment



_AC



_et

_{AD DC =}

Donc D appartient à la médiatrice du segment



_AC



_{et on a :}

  ^{ }

; 2

3 AK AC

AK AC  

 

  



donc :

AKC

est équilatéral donc K appartient à la médiatrice du segment



_AC



Donc les points : K et B et D sont alignés

Et puisque la rotation conserve les alignements des points alors les points : E et C et F sont alignés.

Exercice 2 :

ABCD est un carré tel que

 AB AD ; 

soit positif et Soit r la rotation de centre A et d’angle 2



1) déterminer la nature de la transformation suivante :S_AD S_AB .

2) on considère les rotations suivantes :

; r A   2 

 

 

^;

;

r    B  2   

^et

; r     C   2   

^. déterminer la nature des transformations suivante : a)

r r

b)

r r

_. Solution :

1)    

; 2  ; 

2

^A

AD AB

S S  r A ^     ^    r A   S

^.

Alors S_AD S_ABest la symétrie centrale de centre A . 2) a) on a :

A  B

et 2

2 2 k

  

  



; alors

;  ; 

2 2

r r    r ^      ^     r   S

_ donc c’est une symétrie centrale de centre



; Déterminons



.

On a : r r SAC SAB SAB SBDSAC SBD

Et puisque :



_AC

 

_{ BD}



_

 

_O

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Alors le le centre de la rotation est le point O

b) on a :

A  C

et

0

2 2

        

 

donc

r r

est une translation

Déterminons le vecteur de la translation On a : r r C

 

r r C





  

r C

^{ }

C

Avec :

  ^{ }

; 2

2 AC AC

AC AC  

 

 

  



Donc

r r

est une translation de vecteur CC _. Exercice 3 :

ABCD

est un carré de centre O tel que

 OA OB ; 

est négatif.

Soient M, N, P et Q quatre points dans le plan tels que : 1

DQ3DA ; 1

CP3CD ; 1 AM 3ABet 1

BN 3BC.

La droite



AN



coupe les droites



_DM



_et



_BP



respectivement en E et F.

La droite

 

CQ coupe les droites



_DM



_et

 BP 

respectivement en H et G.

Soit r la rotation de centre O et d’angle 2



. 1) Faire une figure dans le cas ou

AB  6 cm

.

2) Montrer que : _{r M}

 

_{N ;} r N

 

P ;

r P    Q

et r Q

 

M 3) a) Montrer que : _{r F}

 

_G.

b) En déduire que le triangle

FOG

est isocèle etrectangle en

O

. 4) a) calculer : _{r r F}

 

_{et r r E}

 

_.

b) en déduire que les segments



_EG



_et



_FH



ont le même milieu.

5) Montrer que :

EFGH

est un carré.

Solution : 1)

2) on a : ∎

  ^{ }

; 2

2 OA OB

OA OB  

 

   



^{donc :}

r A

 

B

∎

  ^{ }

; 2

2 OB OC

OB OC  

 

   



^{donc :} _{r B}

 

_C

Et puisque 1

AM 3ABet la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs Alors :

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   

¹

   

r A r M 3r A r B càd :

 

¹

Br M 3BCet on a : 1

BN 3BCdonc : _{r M}

 

_{Nde même :} On montre que : _{r N}

 

_{P ; r P}

 

_Qet r Q

 

M .

3) a) Montrons que : _{r F}

 

_G?

Puisque : _{r N}

 

_{Pet r A}

 

_{Balors :} r

 

AN

 



^

BP

^

Et Puisque : _{r P}

 

_{Qet r B}

 

_{Calors :} r



BP







QC



Donc : _r

 

_AN

 

_{ BP}

 

_{r AN}

 

_{r BP}

 

car la rotation est une application injective Donc : ^r



 ^F



^^BP^



^QC



^

^{ }

^G par suite : _{r F}

 

_G

b) On a : _{r F}

 

_{Gdonc :}

  ^{ }

; 2

2 OF OG

OF OG  

 

 

  

Donc : le triangle

FOG

est isocèle et rectangle en

O

.

4) a) On a : _{r C}

 

_{D ;} ^{r Q}

 

^M et _{r B}

 

_{Cdonc :} ^r

 

^CQ

 

^

^

^DM

^

et puisque : r



BP







QC



alors : ^r

  

^{CQ }

^

^BP

^ 

^

^

^DM

^

^

^

^QC

^

^{cad : r}

^{  }

^G

^

^

^{ }

^{H donc : r G}

^{ }

^H

On a :

 r r   F  r r F      r G    H

et on a : _r

 

_AN

 

_



_BP



_et r

 

DM

 





AN



donc : _r

 

_AN

 

_{ DM}

 

_



_AN

 

_{ BP}



_{donc : r E}

 

_F

On a :

 r r   E  r r E      r F    G

b) Puisque r est une rotation d’angle :

2

 

alors :

 r r 

est une rotation d’angle :

2 2

 

 

       

^donc

 r r 

est une symétrie central et soit K son centre.

Puisque on a :

 r r   F  H

et

 r r   E  G

Alors : K est le milieu des segments

[ EG ]

et

[ FH ]

. Donc : les segments

[ EG ]

et

[ FH ]

ont le même milieu.

5) puisque les segments

[ EG ]

et

[ FH ]

ont le même milieu alors :

EFGH

est un parallélogramme et on a aussi : _{r F}

 

_{G et r E}

 

_{Fdonc :}

  ^{ }

; 2

2 EF FG

EF FG  

 

   



Donc :

EFGH

est un carré.