Exercice 1 « Généralités sur les fonctions » 1ére Bac Sc.Exp Comparaison d'expressions et positions relatives de courbes Exercice 1

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Exercice 1 « Généralités sur les fonctions » 1ére Bac Sc.Exp

Comparaison d'expressions et positions relatives de courbes Exercice 1

On considère les fonctions définies sur



^0;^



^{par :} ^{f x}

 

^ ^x^,^{g x}

 

^^x^,^{h x}

 

^^x²^et^{k x}

 

^^x³

Étudier les positions relatives de

 

^C^f ^,

 

^C^g ^,

^{ }

^C^h ^et

^{ }

^C^k

Solution

∎ ^{k x}

   

^^{h x} ^^x³^^x² ^^x²



^x^¹



^.

Donc, si ^x^

 

^0;1 ^{k x}

 

^^{h x}

 

^{et si}^x^{ }



^1;



^{k x}

 

^^{h x}

 

^.

C'est-à-dire

 

Ck est au-dessous de

 

Ch sur

 

^0;1 et au-dessus de

 

Ch sur



^1;^



^[.

 

Ch et

 

Ck se coupent

au point^M

 

^1;1 ^.

∎ ^{h x}

 

^^{g x}

 

^^x²^{ }^x ^{x x}



¹^



^.

Donc, sur

 

^0;1 ^;^{h x}

 

^^{g x}

 

^{,et sur}



^1;^



^;^{h x}

 

^^{g x}

 

c'est-à-dire

 

Ch est au-dessous de

 

Cg sur

 

^0;1 ^et

 

Ch est au-dessus de

 

Cg sud



^1;^



^.

 

Ch et

 

Cg se coupent au point ^M

 

^1;1 ^.

∎ ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

^{ }^x ^x ^ ^x



^x¹^



^.

Donc, sur

 

^0;1 ^;^{g x}

 

^ ^{f x}

 

^{et sur}



^1;^



^;^{g x}

 

^ ^{f x}

 

c'est-à-dire

 

Cg est au-dessous de

 

Cf sur [0 ; 1] et

 

Cg est au-dessus de

 

Cf )sur



^1;^



^.

 

Cg et

 

Cf se coupent au point ^M

 

^1;1 ^.

En conclusion:

Sur

 

^0;1

 

Ck est au-dessous de

 

Ch ;

 

Ch est au-dessous de

 

Cg et

 

Cg est au-dessous de

 

Cf . Sur



^1;^

  

Ck est au-dessus de

 

Ch ,

 

Ch est au-dessus de

 

Cg et

 

Cg est au-dessus de

 

Cf . Toutes ces courbes se coupent au point ^M

 

^1;1 ^.

Méthode

Pour étudier les positions relatives des courbes représentatives de fonctions on compare les expressions algébriques de ces dernières.