tangente à E en M. T coupe D en T.

PanaMaths

[1 - 2]

Novembre 2012

Soit E une ellipse de foyer F et de directrice D ^.

Soit M un point de E n’appartenant pas à l’axe focal et T ^la

tangente à E ^{en M.} T ^coupe D ^{en T.}

Montrer que le triangle MFT est rectangle.

Analyse

Un autre résultat classique relatif à l’ellipse que l’on peut rapidement établir en travaillant avec les coordonnées cartésiennes.

Résolution

Soit M

(

x0;y0

)

un point de

E

et soit classiquement le repère orthonormé tel que l’équation cartésienne de

E

^{soit :}

2 2

2 2 1

x y

a +b =

La tangente à

E

^en M

(

x0;y0

)

admet alors pour équation :

0 0

2 2 1

x y

x y

a +b =

On peut considérer ^F

(

^{−c; 0}

)

associé à la directrice

D

d’équation a2

x= − c . On dispose ainsi directement de l’abscisse du point T.

Son ordonnée est alors obtenue en remplaçant x par a2

− c dans l’équation x⁰₂ y₂⁰ 1

x y

a +b = :

2

0 0

2 2 1

x a y

a c b y

⎛ ⎞

× −⎜ ⎟+ =

⎝ ⎠

Soit :

2

0 0 0

2

0

1 1

x y b x

y y

c b y c

⎛ ⎞

− + = ⇔ = ⎜⎝ + ⎟⎠.

On a donc :

2 2

0 0

T a ;b 1 x

c y c

⎛− ⎛ + ⎞⎞

⎜ ⎜⎝ ⎟⎠⎟

⎝ ⎠ puis :

2 2

0 0

FT a ;b 1 x

c c y c

⎛− + ⎛ + ⎞⎞

⎜ ⎜⎝ ⎟⎠⎟

⎝ ⎠

JJG

. Or FMJJJG

(

x0+c y; 0

)

.

PanaMaths

[2 - 2]

Novembre 2012

Il vient donc :

( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

0

0 0

0 2

2 2 2 2 0

0

2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 0

FT.FM 1

1

1 x

a b

c x c y

c y c

x

a c x a c b b

c c

a c b x a c b

c

a c b x c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜⎝ + ×⎟⎠ + + ⎜⎝ + ⎟⎠×

⎛ ⎞

= −⎜ + ⎟ + − + + +

⎝ ⎠

= − + + + − + +

⎛ ⎞

= − + + ×⎜⎝ + ⎟⎠ JJG JJJG

Or, pour l’ellipse, on a classiquement : c² =a²−b². On en déduit : FT.FMJJG JJJG=0 .

Les droites

( )

^{FT et}

(

FM sont donc perpendiculaires : le triangle MFT est rectangle en F.

)

Remarque : on obtiendra exactement le même résultat en raisonnant avec le foyer ^{F '}

(

^{c; 0}

)

^de

directrice associée

2

' : a x= c

D

(cf. la figure ci-dessous.