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Opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Annexe A
Opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
ze G
ze G
H. Djelouah
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Coordonnées cart ésiennes (x,y,z) Coordonnées cylindriques
),,(zrθCoordonnées sphériques
),,(ϕθr dlzyxe dz e dy e dx G G G + +
zre dz e d r e dr G G G + +
θθ
ϕθϕ θ θ e d r e d r e dr
rG G G sin + +
)(Mfgrad )(Mf∇Gzyxe z f e y f e x f G G G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
zre z f e f r e r f G G G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
θθ 1
ϕθϕ θ θ e f r e f r e r f
rG G G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ sin 1 1
)(MAdivG )(MAGG ⋅∇z A y A x A
zyx∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z A A r Ar r
zr∂ ∂
+ ⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ θ
θ) ( 1 ϕ θ θ θ θ
ϕθ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ A r A r r A r r
r
sin 1 ) sin ( sin 1 ) ( 1
2 2 )(MArotG )(MAGG ∧∇ zxyyzx xyz e yA xA
e xA zA e zA yA G
GG ⎥ ⎦⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
+
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ zr
zr rz eA rrAr r
e rA zA e zAA r G
GG
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ θ
θ θ
θθ 1)(1
1 ϕθθϕ
θϕ θ
ϕθ
ϕθθ θ eA rAr r
e rAr rA r
eAA r r
rr G
G
G
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ +
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ ∂∂ − ∂∂ )(1
)(1 sin1
)(sin sin1 )(MfΔ )(Mflap2
2 2
2 2
2
z f y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
22 2
2 2
1 1 z f f r r f r r r ∂ ∂ + ∂ ∂
+ ⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ θ
22 2222 2
sin 1 sin sin 1 1 ϕ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂
+ ⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ f r f r r f r r r
NB: yLes schémas des coordonnées sont donnés sur la figure ci-contre yLe vecteur OM est donné par zyxezeyexOMGGG ++= y),,()(zyxfMf=: fonction scalaire de point ou champ scalaire yzzyyxxeAeAeAMAGGG ++=)(: fonction vectorielle de point ou champ vectorielH. Djelouah
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H. Djelouah
