SAPH111 - Milieux Continus Formulaire Opérateurs Différentiels
Opérateurs Différentiels en Coordonnées Cartésiennes
gradf = ∂f
∂x1e1+ ∂f
∂x2e2+ ∂f
∂x3e3
gradU =
∂u1
∂x1
∂u1
∂x2
∂u1
∂x3
∂u2
∂x1
∂u2
∂x2
∂u2
∂x3
∂u3
∂x1
∂u3
∂x2
∂u3
∂x3
divU = ∂u1
∂x1 +∂u2
∂x2 +∂u3
∂x3
∆f = ∂2f
∂x21 +∂2f
∂x22 +∂2f
∂x23
rotU =
∂u3
∂x2 − ∂u2
∂x3
e1+ ∂u1
∂x3 − ∂u3
∂x1
e2+ ∂u2
∂x1 − ∂u1
∂x2
e3
∆U = ∆u1e1+∆u2e2+∆u3e3
divσ =
∂σ11
∂x1 +∂σ12
∂x2 + ∂σ13
∂x3
e1+
∂σ21
∂x1 +∂σ22
∂x2 +∂σ23
∂x3
e2+ ∂σ31
∂x1 +∂σ32
∂x2 + ∂σ33
∂x3
e3
ENS Cachan - Première Année SAPHIRE L. Champaney
SAPH111 - Milieux Continus Formulaire Opérateurs Différentiels
Opérateurs Différentiels en Coordonnées Cylindriques
gradf = ∂f
∂rer+ 1 r
∂f
∂θeθ+∂f
∂zez
gradU =
∂ur
∂r 1 r
∂ur
∂θ −uθ
∂ur
∂z
∂uθ
∂r 1 r
∂uθ
∂θ +ur
∂uθ
∂z
∂uz
∂r
1 r
∂uz
∂θ
∂uz
∂z
divU = ∂ur
∂r +ur r +1
r
∂uθ
∂θ +∂uz
∂z
∆f = ∂2f
∂r2 + +1 r
∂f
∂r + 1 r2
∂2f
∂θ2 +∂2f
∂z2 rotU =
1 r
∂uz
∂θ −∂uθ
∂z
er+ ∂ur
∂z − ∂uz
∂r
eθ+ ∂uθ
∂r +uθ r − 1
r
∂ur
∂θ
ez
∆U =
∆ur− 2 r2
∂uθ
∂θ − ur r2
er+
∆uθ+ 2 r2
∂ur
∂θ − uθ r2
eθ+∆uzez
divσ =
∂σrr
∂r +1 r
∂σrθ
∂θ +∂σrz
∂z +σrr−σθθ r
er+
∂σθr
∂r + 1 r
∂σθθ
∂θ + ∂σθz
∂z + 2σrθ r
eθ+
∂σzr
∂r + 1 r
∂σzθ
∂θ +∂σzz
∂z +σzr r
ez
ENS Cachan - Première Année SAPHIRE L. Champaney
SAPH111 - Milieux Continus Formulaire Opérateurs Différentiels
Opérateurs Différentiels en Coordonnées Sphériques
gradf = ∂f
∂rer+ 1 r
∂f
∂θeθ+ 1 rsinθ
∂f
∂ϕeϕ
gradU =
∂ur
∂r 1 r
∂ur
∂θ −uθ
1 r
1 sinθ
∂ur
∂ϕ −uϕ
∂uθ
∂r 1 r
∂uθ
∂θ +ur
1 r
1 sinθ
∂uθ
∂ϕ − uϕ tanθ
∂uϕ
∂r
1 r
∂uϕ
∂θ
1 r
1 sinθ
∂uϕ
∂ϕ + uθ tanθ +ur
divU = ∂ur
∂r + 2ur r + 1
r
∂uθ
∂θ + 1 rsinθ
∂uϕ
∂ϕ + uθ rtanθ
∆f = ∂2f
∂r2 + +2 r
∂f
∂r + 1 r2
∂2f
∂θ2 + 1 r2tanθ
∂f
∂θ + 1 r2sin2θ
∂2f
∂ϕ2
rotU = 1
r
∂uϕ
∂θ − 1 r
1 sinθ
∂uθ
∂ϕ − uϕ tanθ
er+
1 r
1 sinθ
∂ur
∂ϕ −uϕ
− ∂uϕ
∂r
eθ+
∂uθ
∂r − 1 r
∂ur
∂θ −uθ
eϕ
∆U =
∆ur−2ur
r2 − 2 r2sinθ
∂(uθsinθ)
∂θ − 2
r2sinθ
∂uϕ
∂ϕ
er+
∆uθ+ 2 r2
∂ur
∂θ − uθ
r2sin2θ − 2 cosθ r2sin2θ
∂uϕ
∂ϕ
eθ+
∆uϕ+ 2 r2sin2θ
∂ur
∂ϕ + 2 cosθ r2sin2θ
∂uθ
∂ϕ − uϕ r2sin2θ
eϕ
divσ =
∂σrr
∂r +1 r
∂σrθ
∂θ + 1 rsinθ
∂σrϕ
∂ϕ + 1 r
2σrr−σθθ−σϕϕ+ σrθ tanθ
er+ ∂σθr
∂r +1 r
∂σθθ
∂θ + 1 rsinθ
∂σθϕ
∂ϕ + 1
rtanθ (σθθ −σϕϕ) + 3σrθ r
eθ+ ∂σϕr
∂r +1 r
∂σϕθ
∂θ + 1 rsinθ
∂σϕϕ
∂ϕ +1 r
3σrϕ + 2 σθϕ tanθ
eϕ
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