Cours Suites - Séries

I) Suites réelles

u

n

n u N

n ∈ → =

∀ ( )

R N u : →

1) Définition : Une suite réelle est une fonction , qui associe à . On note par la suite de terme général

u

_net de premier terme . (En général =

u

₀)

)

0

( u

_{n n≥n}

n0

u u

n0

2) Une suite peut être définie :

1 3 2

+

= + n u_n n

3 7

2 = 2 u 5

1=

a) par une fonction :

u

_n

= f (n )

. Exemple : ; (

u

₀

= 3

, u , ...) a) par une relation de récurrence:

u

_n+1

= f ( u

_n

)

. Exemple:

u

_n+1

= 2 u

_n

− 3

, de

u

₀

= 1

; (

u

₁

= − 1

,

u

₂

= − 5

) 3) La représentation graphique d’une suite

( ^{n, u}

_n

) n ∈ N

Est l’ensemble des points du plan, de coordonnées , . Ce n’est pas une courbe.

4) Suites monotones : Une suite s’appelle :

)

0

( u

_{n n≥n}

+1

≤

_n

n

u

u u

_n

< u

_n+1

- croissante (strictement) si pour tout

n ∈ N

, ( ) - décroissante (strictement) si pour tout

n ∈ N

,

u

_n

≥ u

_n+1 (

u

_n

> u

_n+1) Exemple :

a)

u

_n

= 3 n − 1

est strictement croissante, car

u

_n+1

− u

_n

= 3 > 0 , ∀ n ∈ N

, donc

u

_n+1

> u

_n

, ∀ n ∈ N

. b)

u

_n

= 1 / n

,

∀n ≥ 1

, est strictement décroissante, car

u

_n+1

− u

_n

= − 1 / n < 0 , ∀ n ≥ 1

.

Conclusion : Pour déterminer la monotonie d’une suite, on calcule la différence de 2 termes consécutifs.

- Si

Δ = u

_n+1

− u

_n

≥ 0

, pour

∀ n ∈ N

, la suite est croissante - Si

Δ = u

_n+1

− u

_n

≤ 0

, pour

∀ n ∈ N

, la suite est décroissante.

II) Suites arithmétiques

1) Définition : Une suite , de premier terme donné, est une suite arithmétique s’il existe un réel r, appelé raison de la suite arithmétique tel que :

)

0

( u

_{n n≥n}

u

₀

r u u

_n+1

=

_n

+ N

n ∈

∀

, .

2) Propriétés :

nr u

u

_n

=

₀

+ u

_n

= u

₁

+ ( n − 1 ) r

a) Le terme général en fonction du premier: ou ,

∀n ≥ 1

.

p

n ≥ r ∀

p n u

u

_n

=

_p

+ ( − )

Le terme général en fonction d’un terme d’ordre p : , . b) Chaque terme est la moyenne arithmétique de ses voisins :

2

1

1 +

−

+

=

^{n n}

n

u

u u

,

∀n ≥ 1

. c) La somme des n (premiers) termes consécutifs est :

2 ) 1

. 2 (

...

¹

2 1

terme dernier

terme termes er

u no n u

u u

u

S

_n

= + + +

_n

= +

ⁿ

= × +

2 ... 1

2

1 +

= + + +

= n

n n S

_n

Exemple : La somme des n premiers nombres naturels : . 3) Monotonie : Soit

( u

_n

)

_n≥0une suite arithmétique de raison r.

- si

r > 0

,

( u

_n

)

_n≥0est strictement croissante - si

r < 0

,

( u

_n

)

_n≥0est strictement décroissante - si

r = 0

,

( u

_n

)

_n≥0est constante

N n const r

u

u

_n+1

−

_n

= = , ∀ ∈

. Dém : On calcule la différence de 2 termes consécutifs :

III) Suites géométriques

1) Définition : Une suite , de premier terme donné, est une suite géométrique s’il existe un réel q, appelé raison de la suite géométrique tel que :

)

0

( u

_{n n≥n}

u

₀

n

n

q u

u

₊₁

= × N

n ∈

∀

, .

2) Propriétés :

a) Le terme général en fonction du premier:

u

_n

= u

₀

× q

ⁿ ou

u

_n

= u

₁

× q

⁽ⁿ⁻¹⁾ ,

∀n ≥ 1

.

) (n p p

n

u q

u = ×

⁻

Le terme général en fonction d’un terme d’ordre p : ,

∀ n ≥ p

.

b) Chaque terme est la moyenne géométrique de ses voisins :

u

_n

= u

_n−1

× u

_n+1

≤ 0

,

∀n ≥ 1

. c) La somme des n premiers termes consécutifs est :

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

− ≠

× −

− =

−

=

×

= +

+ + +

= + + +

=

⁻

1 1 ,

1 1 1

1

, 1 , )

...

1 (

...

^.

1 1 1

2 1 1

2

1

si q

q terme q

q u q

q si u n q

q q u

u u

u

S

_{n n} ^{n n} _er ^notermes .

Exemple : La somme des n premières puissances naturelles d’un nombre q :

1

1 ,

... 1

1

^{1 2 1}

≠

−

= − + + + +

=

⁻

si q

q q q

q q S

n n

n .

Monotonie : Soit

( u

_n

)

_n≥0une suite géométrique de raison q.

si

q > 1

,

( u

_n

)

_n≥0est

⎩ ⎨

⎧

<

>

0 u si te décroissan t

strictemen

0 u si croissante t

strictemen

01 0

si

q ∈ ( 0 , 1 )

^,

( u

_n

)

_n≥0^est

⎩ ⎨

⎧

<

>

0 u si croissante t

strictemen

0 u si te décroissan t

strictemen

0 0

- si

q = 0

, alors

( u

_n

)

_n≥0est constante. - si

q < 0

, alors

( u

_n

)

_n≥0est alternée (n’est pas monotone).

Dém : On considère

q > 0

. Si

u

₀

> 0

, alors

u

_n

= u

₀

× q

ⁿ

> 0

,

∀n ≥ 1

. Si

u

₀

< 0

, alors

u

_n

= u

₀

× q

ⁿ

< 0

. Convergence :Si

( u

_n

)

_n≥0est une suite géométrique de raison q et premier terme

u

₁, alors

- est convergente ssi

( u

_n

)

_n≥0

− 1 < q ≤ 1

et

⎩ ⎨

⎧

=

<

<

= −

+∞

→

, 1

1 1

, lim 0

1

si q

u

q u

_n

si

n

-

lim = +∞ , > 1

+∞

→

u

_n

si q

n

- est divergente si

( u

_n

)

_n≥0

q ≤ − 1

.

)

n

2 / 1 (

u

_n

= u

_n

= 2

ⁿ

u

_n

= ( − 1 / 2 )

ⁿ

u

_n

= ( − 2 )

ⁿ

IV) Croissance comparée des suites (et des fonctions) de référence Exponentielle – puissance - logarithme

R x ∈ )

( x f

Fonctions et suites de référence Fonctions : , Suites :

u

_n ,

n ∈ N

Exponentielle de base ‘’a’’

f ( x ) = a

^x , (

a ∈ R

,

a > 0

)

u

_n

= a

ⁿ, (

a ∈ R

,

a > 0

)

Exponentielle de base ‘’e’’ ⁿ

n

e

u = e

x

x f ( ) =

Puissance ‘’p’’ ^p

n

n

u = x

p

x

f ( ) =

, (

p ∈ N

) , (

p ∈ N

)

> 0 x ) ln(

)

( x x

f = u

_n

= ln(n )

Logarithme , ( ) , (

n > 0

)

> 1 a

Théorème : Quand x tend vers + infini, les fonctions exponentielles de base , les fonctions puissances ‘’p’’ et la fonction logarithme sont toutes croissantes et tendent vers + infini.

Les fonctions exponentielles ( , de base ) ont une croissance plus forte que toute fonction puissance , qui a une croissance plus forte que la fonction logarithme

a

x

x

f ( ) = a > 1 x

p

x

f ( ) = ln( x )

.

Théorème analogue pour les suites.

Conséquences : Limites fondamentales :

R

x ∈ )

( x

f ∀ p ∈ N

Fonctions : , , Suites :

u

_n ,

n ∈ N

,

∀ p ∈ N +∞

=

+∞

→ p

n

n

n

lim e +∞

=

+∞

→ p

x

x

x

lim e

lim

_→+∞ ^x

⁼ 0

p

x

e

x lim

_→+∞ ⁿ

⁼ 0

p

n

e

n

+∞

=

+∞

→

ln( )

lim ^x _x

p

x

+∞

=

+∞

→

ln( )

lim ⁿ _n

p

n

> 0 x

, ( ) , (

n > 0

)

) 0

lim

_→+∞

ln(

^p

⁼

x

x

x ln( ) 0

lim

_→+∞ ^p

⁼

n

n

n

IV) Séries réelles

Définition : Soit une suite réelle. On note la somme des premiers n termes de cette suite et on l’appelle la somme partielle d’ordre n:

)

0

( u

_{n n≥}

s

_n

∑

=

= + + + +

=

ⁿ

k k n

n

s s s s s

s

0 2

1

0

...

La série de terme général , notée

∑

est la suite des sommes partielles de .

≥0 n

u

n

u

n

( s

_n

)

_n≥0

( u

_n

)

_n≥0

Convergence : On dit que la série

∑

de terme général est convergente ssi la suite des sommes partielles est convergente.

u

n

≥0 n

u

n

)

0

( s

_{n n≥}

Dans ce cas, on appelle _n la somme de la série et on note :

n

lim

_→+∞

s

n n n

n

s

u lim

0 →+∞

∞

=

∑ =

La série géométrique

: Si

( u

_n

)

_n≥0 est une suite géométrique, de terme général

u

_n

= u

₀

q

ⁿ,

N

n ∈

∀

, alors la série

∑ ∑

s’appelle série géométrique.

≥

≥

=

0 0

0 n

n

n

u q

u

ⁿ

La suite des sommes partielles :

( s

_n

)

_n≥0 est la suite de terme général :

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

− ≠

−

= +

+ +

= + + +

=

+

1 ), 1 (

1 1 ,

1 )

...

1 ( ...

0

1 2 0

0 1

0

q si n

u

q q si

u q q

q q u

s s

s s

n n

n n

La convergence : La série géométrique

∑

≥0 0 n

q

n

u

est

1 1 , 1

1

¹ ₀

0 0

0

⁼ lim ⁼ lim ⁻ ₋ ⁼ ₋ ^<

+ +∞

→ +∞

→

∞

∑

=

^{si q}

q u q

u q s

q u

n

n n n n

1

n

<

q

, avec la somme

ƒ convergente ssi

ƒ divergente si , avec la somme ₀

( 1 ) , 1

0

0

⁼ lim

_→+∞

⁼ lim

_→+∞

^{+ = +∞ =}

∞

∑

=

^{u q s u n si q}

n

n n n

1

n

q =

1 1 ,

1

¹

0 0

0

⁼ lim ⁼ lim ⁻ ₋ ^{= +∞ >}

+ +∞

→ +∞

→

∞

∑

=

^{si q}

q u q

s q

u

n

n n n n

ƒ divergente si

q > 1

, avec la somme n

1

1

¹

0

q

u q s

n

n

−

= −

⁺

ƒ divergente si

q ≤ - 1

, car la suite n’admet pas de limite si

q ≤ − 1

(est alternée).

∑

≥1

1

n

n

^α

u

_n

= n 1

^α

La série de Riemann

: est la série de terme général , (

n ≠ 0

,

α ∈ R

).

Une série de Riemann est :

> 1 α

• convergente ssi

≤ 1 α

• divergente si

∑

≥1

1

n

n

= 1 α

Si , la série s’appelle série harmonique et est divergente.

71 . 2

! ...

2 1

! 1 1 1

! 1

0

≈

= + + +

∑

^∞

=

= n

n e La série du nombre e

:

∑

^∞

=

= + + + + +

=

0

2

! ...

! ...

2

! 1 1

!

n

x n

n

n e x x

x n

La série exponentielle

:

x