DS N°3 Durée :3h TES Nom

DS N°3 Durée :3h TES

Nom :………. Prénom :……….

Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun document n’est autorisé.

Exercice n° 1 : (4pts) Commun à tous

Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correct. Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point , une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Exercice n° 2 : (5pts) Commun à tous

Scott décide de placer de l’argent sur son livret jeune, rémunéré au taux annuel à intérêts composés de 1,75%, afin d’économiser pour son nouvel équipement de hockey. Il versera chaque année 350€ sur son compte. Joana lui offre pour son anniversaire (en 2016) 250€ pour lui permettre d’ouvrir un compte. On considère donc a0=250 et pour tout entier naturel n, an la somme disponible pour son achat lors de la n-ième année suivant 2016.

1. Calculer a1 et a2. Expliquer par une phrase ce que ces nombres signifient.

2. Justifier que an+1=1,0175an+350

3. Soit (un) la suite définie par un=an+20 000 pour tout n

a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Exprimer un en fonction de n.

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, .

d. Déterminer à partir de quelle année Scott pourra se payer son nouvel équipement estimé à au moins 2000€.

e. Déterminer la limite de (an).

Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves suivant l’enseignement de spécialité(A rédiger sur une copie séparée)

Une municipalité vient de mettre en place le service « vélo en liberté ». Il s’agit d’un service de

location de vélos à la journée.Les vélos sont disponibles sur deux sites A et B et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l’un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

— si un vélo est loué sur le site A, la probabilité d’être ramené en A est 0,6 ;

— si un vélo est loué sur le site B, la probabilité d’être ramené en B est 0,7.

Les résultats numériques seront arrondis à 10−2 près.

1. En notant respectivement A et B les états « le vélo est en A » et « le vélo est en B », traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

2

3. Pour tout entier naturel n, on note an (respectivement bn ) la probabilité qu’un vélo quelconque soit, après n jours, sur le site A (respectivement sur le site B). On note Pn la matrice (an bn) correspondant à l’état probabiliste après n jours. Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc P0 = (0,5 0,5) .

a. On donne :

Calculer P

en donnant le détail des calculs matriciels

b. Calculer P

et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

c. Déterminer l’état stable du graphe, noté (a b).

d. Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site. La municipalité envisage d’affecter un véhicule pouvant contenir 12vélos. Ce choix parait-il adapté à la situation ?

Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité

Le dernier vaccin mis sur le marché par Simon est assez cher. Simon dit qu’il vaut le prix qu’il coûte. Des experts s’interrogent sur la validité de l’affirmation. On effectue donc un test sur un échantillon représentatif de la population. On administre le vaccin à 90% des personnes.

4% des personnes vaccinées tombent malade quand même alors que 45% des personnes non vaccinés tombent malade.

On note V , l’événement « la personne est vaccinée » et M , l’événement « la personne est malade»

1) Recopier et compléter l’arbre suivant :

2) Calculer Exprimer à l’aide d’une phrase ce que signifie cette probabilité.

3) Montrer que

4) La personne est malade, quelle est la probabilité qu’elle soit vacciné ?

5) On choisit 100 personnes. On suppose l’échantillon suffisamment grand pour être assimilé à un tirage avec remise. On s’intéresse à la probabilité que la personne soit malade.

On considère que le vaccin est suffisamment efficace si l’on peut être quasiment sûr (à 0,000 1 près ) que moins de 20 personnes soient malades. Le vaccin de Simon est-il suffisamment efficace ?

Exercice n° 4 :(6pts) Commun à tous

Soit est la fonction définie sur : 1. Déterminer .

2. Déterminer le signe de suivant les valeurs de . 3. Dresser le tableau de variation de g sur

4.a) Montrer que l’équation admet une unique solution α dans l‘intervalle sur

.

b) Déterminer un encadrement de la valeur de α au centième . 5. Etudier la convexité de sur .

Partie B : Soit est la fonction définie sur : 1. Démontrer que la fonction g précédente est une primitive de f.

2. En déduire la valeur moyenne au dixième de la fonction f sur