Changements de référentiels

Changements de référentiels

Les exercices 1 à 5 portent sur le programme de première année, sans lien a priori avec les change- ments de référentiel.

1. Accélération d’un satellite par les frottements

Les satellites d’orbite basse sont soumis à des forces de frottements sur l’atmosphère raréfiée qu’ils rencontrent. La résultante de ces forces est modélisée par −→

F =−α−→v où −→v désigne le vecteur vitesse instantané du satellite dans le référentiel géocentrique. On étudie l’évolution de la trajectoire. On note Gla constante de gravitation universelle, M la masse de la Terre et m celle du satellite.

1. Relier la vitesse du satellite au rayon r de sa trajectoire circulaire. On admet dans la suite que cette expression reste valable même si la trajectoire n’est pas exactement circulaire.

2. Exprimer l’énergie cinétique Ec, l’énergie potentielle Ep et l’énergie mécanique Em du satellite en fonction de r, G,M etm.

3. Montrer que ces trois énergies sont proportionnelles et les relier les unes aux autres.

4. En appliquant le théorème de l’énergie mécanique, montrer que le satellite perd de l’altitude et que sa vitesse augmente petit à petit.

5. À un instant donné, le rayon de la trajectoire est r¹. Quelle sera sa valeurr² après une révolution autour de la Terre ?

6. En appliquant le théorème de l’énergie mécanique, obtenir une équation différentielle dont r(t) est solution. La résoudre et décrire l’évolution de la trajectoire.

2. Transfert de Hohmann

On assimile la trajectoire de la Terre et celle de Mars autour du Soleil à des cercles de rayons r⁰ = 149.10⁶km et r¹ = nr⁰ avec n = 1,524. On souhaitre transférer une sonde spatiale de l’orbitre terrestre vers l’orbite marsienne. Pour cela, on peut faire emprunter à la sonde une trajectoire elliptique tangente à l’orbite terrestre en son périhélie et tangente à l’orbite marsienne à son aphélie. On néglige tout autre force que l’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil la sonde.

1. Par un raisonnement de pure cinématique, trouver la valeur numérique de la vitesseV⁰ de la Terre sur son orbite dans le référentiel héliocentrique.

2. Quelle doit être la vitesse Vp de la sonde à l’instant où elle quitte l’orbite terrestre ? On suppose que le changement de vitesse deV⁰àVp se fait ponctuellement. Pour une sonde d’une tonne, quelle énergie doivent fournir les réacteurs ?

3. Quelle sera la vitesse de la sonde à l’instant où elle atteindra l’orbite marsienne ? Comment faire pour qu’elle reste sur cette orbite au lieu de retourner vers la Terre ?

4. Combien de temps dure le transfert ?

3. Mouvement d’un point matériel sur une piste hélicoïdale

On considère une petite voiture parcourant, dans un jeu d’enfants, une piste comportant un looping. On modélise la voiture par un point matériel et la piste par une courbe formée de deux portions rectilignes, d’équations respectives {x ∈]− ∞,0], y = 0, z = 0} et {x ∈ [0,+∞], y = 0, z = 2πa}, reliées l’une à l’autre par une portion hélicoïdale d’équation paramétrique

x=Rsinθ y=R(1−cosθ) z =a θ

Cette courbe tridimensionnelle est représentée en projection sur la partie gauche figure ci-dessous qui masque la profondeur selon (Oz), et en perspective sur la partie droite. On ne perdra pas de vue le fait que la courbe n’est en aucun cas incluse dans un plan de sorte que la réaction de la piste sur le mobile présente une direction difficile à préciser a priori. On donne R =√

3a etg = 9,81 m.s⁻². Le champ de pesanteur est orienté selon −−→uy.

D C

B A

g

θ

x y

z

x/a

−2.0−1.5−1.0−0.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

y/a 01234567

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1. On néglige pour l’instant tout frottement. La voiture est lancée dans la partie rectiligne avec une vitesse v⁰. Déterminer l’équation du mouvement en θ(t) dans la partie hélicoïdale.

2. Exprimer sur la base (−→ur,−→uθ,−→uz) des coordonnées cylindriques la réaction −→R exercée par la piste. On donnera la réponse en fonction de la position instantanée, c’est à dire de θ, mais on éliminera ˙θ et ¨θ.

3. La piste est muni d’un rebord qui empêche la sortie de route. À quelle condition la voiture parvient-elle sans tomber jusqu’à l’autre tronçon rectiligne ?

4. On tient dorénavant compte, dans la partie hélicoïdale, d’une force de frottement du type −→f =

−k−→v /||−→v ||. Écrire la nouvelle équation du mouvement et la condition de réussite du looping.

4. Erreur de trajectoire

On étudie la mise sur orbite d’un satellite. On souhaite que sa trajectoire autour de la Terre soit circulaire de rayonr⁰. Lors de son détachement de la fusée utilisée comme lanceur, le satellite se trouve à la distance r⁰ de la Terre et son vecteur vitesse est tangent au cercle de rayon r⁰.

a) Quelle vitesse v0, mesurée dans le référentiel géocentrique, convient-il de donner au satellite ? b) Suite à une maladresse des opérateurs, la vitesse initiale vaut v⁰(1 +ǫ) avec ǫ <<1. Quelle sera

alors la trajectoire ?

c) Pour un satellite géostationnaire, quelle erreur ǫ maximale peut-on tolérer pour que sa rotation par rapport à la Terre n’excède pas un tour par an ?

5. Charge ponctuelle en mouvement dans le champ électrostatique d’un fil

Un fil infiniment long confondu avec l’axe (Oz) est chargé linéiquement avec une densité λ. Il produit un champ électrostatique et un potentiel électrostatique dont les expressions en coordonnées polaires sont respectivement

−

→E = λ

2πǫ⁰r−→ur V =− λ

2πǫ⁰ ln(r) .

1. Une charge ponctuelle se trouve initialement à une distancer⁰ de l’axe et possède une vitesseétant

−

→v¹. À quelle condition portant sur la direction et sur la norme de −→v ¹ la particule aura-t-elle une trajectoire circulaire centrée sur le fil ?

2. On étudie maintenant le cas où la vitesse initiale vautv0 =α−→v¹, où−→v¹ est la vitesse trouvée dans la question précédente et α un nombre réel. En utilisant un raisonnement énergétique, discuter l’allure du mouvement.

6. Traversée d’une rivière à la nage

Un homme qui sait nager à une vitesse V /2 dans de l’eau au repos veut traverser à la nage un fleuve dans lequel l’eau s’écoule à la vitesse V. Il souhaite être le moins possible emporté vers l’aval par le courant. Sous quel angle par rapport à la berge doit-il nager ? A quelle distance sera-t-il emporté si la largeur du fleuve est 200 m ?

7. Bille en mouvement sur un cerceau

On considère une perle de masse m maintenue sur une rampe circulaire de centre C et de rayon a, incluse dans un plan horizontal, où elle peut glisser sans frottement. On repère sa position par l’angle θ= (−→OC,−−→CM). La rampe est fixée à un axe tournant autour de la verticale (Oz) par rapport aux axes (Oxyz) liés aux murs d’un bâtiment. L’axe de rotation passe par l’un des points de la rampe et on note

−

→Ω = Ω−→uz le vecteur rotation supposé constant.

x y

z

−

→g θ

Ωt M

O

C a

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée parθ.

2. Quelles sont les positions d’équilibre ? Analyser leur stabilité.

3. Àt= 0⁻, la rampe n’est pas encore en rotation et la bille immobile occupe la position d’équilibre stable. Puis le moteur entraînant le cerceau est mis en route à t= 0, la vitesse angulaire prenant quasi-instantanément la valeur Ω. Dans l’approximation des petits mouvements, déterminer θ(t).

4. Déterminer le manière plus rigoureuse les extremums du mouvement.

5. En négligeant la masse du cerceau, exprimer le travail fourni par le moteur entre l’instant initial et la date telle que θ =π/2.

8. Mouvements d’un point matériel sur un cerceau en rota-

θ

~g

ω

Figure 1 – Bille en mou- vement sur un cerceau tour- nant

tion

Un point matériel M de masse m est assujetti à se déplacer sur un cerceau de rayona tournant à vitesse angulaireω autour de son diamètre vertical (figure 1) dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le contact du point matériel avec le cerceau est sans frottement. On repère sa po- sition par l’angle θ. On s’impose de raisonner dans le référentiel lié au cerceau.

1. Par un raisonnement sur les forces, déterminer et discuter selon la valeur de ω les positions d’équilibre possible du point matériel.

2. Reprendre la question par un raisonnement énergétique.

On analysera le caractère conservatif de chaque force et on écrira, si possible, l’énergie potentielle dont elle dérive.

3. Discuter la stabilité de ces positions d’équilibre.

9. Drame enfantin à la fête foraine

Un manège forain est constitué d’un plateau horizontal tournant autour d’un axe vertical avec une vitesse angulaireω constante. Un enfant intrépide décide d’aller de la soucoupe volante au camion des pompiers et dépose au passage une figurine qu’il a gagnée à la pêche aux canards. Son coefficient de frottement avec le plateau est notéµ. À quelle condition, portant notamment surω, l’enfant retrouvera- t-il son précieux objet à la même place s’il revient sur ses pas un peu plus tard ?

10. Nappe tirée sous un objet

Une pièce de monnaie est posée à plat sur une nappe recouvrant en partie une table horizontale (figure 2). On tire la nappe avec une accélération constante γ. À quelle condition la pièce restera-t-elle sur la table quand la nappe aura été enlevée ? On notera µ le coefficient de frottement entre la pièce et la nappe et on admettra que la mouvement de la pièce cesse dès qu’elle rencontre la table.

l

b

γ

Figure 2 –

11. Mouvement d’un objet décoratif dans une voiture

Pour décorer sa voiture, un automobiliste a acheté un petit objet décoratif représentant un ballon de football et qu’il a suspendu au rétroviseur intérieur par un fil de longueurℓ = 20 cm. On repère sa position par l’angleθ formé par le fil avec la verticale descendante.

1. La voiture démarre et se déplace en ligne droite avec une accélération de 3,0 m.s⁻². Quel angleθe

permettrait à la suspension de garder une inclinaison constante ? En vue de la suite des questions, il peut être utile d’exprimer cosθe et sinθe.

2. Établir l’équation du mouvement lorsque la suspension se balance. On modélisera son interaction avec l’air par une force de frottement visqueux −→

Fv =−λm−→v .

3. Étudier les petites oscillations au voisinage de la position introduite dans la première question.

4. Afin de simplifier les calculs, on néglige désormais les forces de frottement. Au démarrage de la voiture, la suspension est verticale et sa vitesse est nulle. Quelle inclinaison maximale par rapport à la vertical peut-elle atteindre ? Les angles ne sont pas supposés petits.

5. Quelle valeur maximale la tension du fil atteint-elle ?

12. Équilibre d’une tige liée à une potence en rotation

Une tige homogène de longueurLet de massemest liée par deux anneaux aux bras d’une potence sur lesquels ses extrémitésA et B peuvent glisser sans frottement (figure 3). Cette potence est en rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω autour de l’axe vertical (Oz) lié au référentiel terrestre. L’objet du problème est l’étude de l’équilibre relatif de la barre par rapport à la potence.

1. Exprimer la force d’inertie infinitésimale subie par un élément de longueur dℓ de la barre situé autour de point M, à la distance ℓ deA.

2. Calculer d’une part la somme des forces d’inertie subies par la barre et d’autre par le moment en A de ces forces.

3. Déterminer les positions d’équilibre de la barre.

4. On souhaite analyser le problème avec un autre point de vue. Pour cela, on envisage un dé- placement infinitésimal de la barre mesuré par une variation dθ de son inclinaison. Exprimer le déplacement infinitésimal de M puis le travail de la force d’inertie agissant sur M et en déduire l’énergie potentielle dont dérivent les forces d’inertie.

A

B x z

O y

−

→g ℓ

M θ

Figure 3 – Barre liée à une potence 5. Reprendre l’analyse des positions d’équilibre et discuter leur stabilité.

13. Fermeture d’une portière de voiture

Un véhicule automobile démarre avec une accélération constante γ, alors que l’une de ses portières est encore ouverte (θ⁰ = π/2 sur la figure 4). Cette portière de masse m et de largeur a peut tourner librement autour de l’axe vertical passant parA qui la lie à la voiture.

Déterminer la vitesse angulaire de la portière au moment où elle se refermera.

Le moment d’inertie de la portière par rapport à son axe de rotation est ma²/3.

A

γ

a θ

Figure 4 –

14. Force de Coriolis sur le TGV

Estimer la force de Coriolis s’exerçant sur le TGV roulant de Paris vers Nancy, sachant que la masse de la rame est de l’ordre de 40 t. Vous introduirez vous-mêmes les valeurs numériques des autres grandeurs pertinentes. Si cette force était absente, quelle inclinaison du plan des rails par rapport au plan horizontal conduirait au même effort ? Commenter les résultats obtenus.

15. Déviation d’un objet lancé selon la verticale

En un point de l’hémisphère nord, repéré par sa latitude λ, on lance verticalement vers le haut, avec une vitesse v⁰, un objet de masse m. Où retombe-t-il ?

16. Limite de Roche

Les effets de marée tendent à déformer les corps. Dans certains cas, cette déformation peut être si intense que le corps en question se disloque. Tel fut le destin de la comète Shoemaker-Lévy, pulvérisée en 1992 en s’approchant de Jupiter. Dans cet exercice, on aborde une détermination approximative de la limite de Roche, distance en dessous de laquelle un corps céleste perd sa cohésion sous l’effet des forces de marées produites par un astre beaucoup plus lourd.

Un corps céleste sphérique A, de centre GA, de rayon RA et de massemAse déplace sous l’influence d’une planète P de masse mP, de centre GP et de rayon RP. Le référentiel R^P de centre GP dont les axes pointent vers trois étoiles lontaines est supposé galiléen.

1. On néglige la rotation propre de A et on raisonne dans le référentiel R^A centré en GA dont les axes sont parallèles à ceux de R^P Montrer qu’un pointM deA est soumis au champ de marée

−

→C(M) =−→AP(M)−−→AP(GA) où −→AP désigne le champ de gravitation créé par P.

2. On note d la distance GAGP et on désigne par M¹ et M² deux points de la surface deA, diamé- tralement opposés et alignés avec GA etGP. Donner une expression au premier ordre en RA/dde C(M¹) et C(M²).

3. On suppose que la cohésion de A est uniquement due aux force de gravitation. En considérant un point matériel posé à la surface de A, déterminer la distance minimale dmin en dessous de laquelle les forces de marée disloquent cet astre. On l’exprimera en fonction de Rp et des masses volumiques ρP et ρA des deux astres.¹

4. Justifier que l’on obtient la même valeur en raisonnant sur des points du segment [M¹M²] situés à l’intérieur de A.

5. Application numérique : La masse de Jupiter vaut 1,9.10²⁷kg et son rayon RJ = 71,4.10⁶m. La comète est essentiellement constituée de glace de masse volumique 1,0.10³kg.m⁻³. Calculer sa limite de Roche.

6. Sous quelle forme s’attend-on à rencontrer la matière orbitant autour d’une planète en deçà de la limite de Roche (penser à Saturne et Jupiter) ?

Paradoxalement, les certaines planètes du système solaire possèdent des satellites orbitant en deçà de leur limite de Roche. Proposer une explication à cette observation.

17. Pendule suspendu à un satellite

1. Un satellite S de masse ms décrit une orbite circulaire de rayon R autour de la Terre de masse MT. Déterminer l’expression de sa vitesse angulaire ω dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

2. Un pendule simple de masse m, constitué d’un pointM de massem≪ms et d’un fil sans raideur de longueurlfixé àS, peut se déplacer dans le plan de l’orbite (figure 5). On étudie son mouvement dans le référentiel (Sxy) en rotation autour de la Terre. On néglige l’interaction gravitationnelle entre M etS.

Exprimer la force d’inertie d’entraînement et la force gravitationnelle s’exerçant surM en fonction de T M,~ G, m, MT et T M.

3. Comment nomme-t-on usuellement la somme de ces deux forces ? Par un développement limité de T M⁻³, en donner une expression au premier ordre en l/R.

4. Prouver que le mouvement du pendule est régi par l’équation différentielle θ¨+3GMT

R³ sinθ cosθ = 0

5. Discuter la nature du mouvement autour des positions θ= 0 et θ =π.

18. Mouvement d’un point matériel lâché d’un satellite

Une station spatialeSdécrit autour de la Terre de masse M une orbite circulaire de rayonR. Pendant une opération de maintenance, un astronaute en sortie dans l’espace laisse échapper un outil de masse m après lui avoir communiqué une vitesse relative −→v⁰ =v⁰x−→ux+v⁰y−→uy (figure 6). On souhaite étudier le mouvement de cet objet du point de vue de l’astronaute lié à la station.

1. Un raisonnement plus détaillé prend en compte la déformation elliptique de A. On obtient alors dmin = 2,42RP

_ρ

p

ρa

¹/3

.

S x y

l

T

M

Figure 5 – Pendule suspendu à un satellite

1. Relier la vitesse angulaireωde la station àRetM en faisant intervenir la constante de gravitation universelle.

2. Procéder à un inventaire des forces agissant sur l’objet. Faire apparaître une différence interpré- table comme une force de marée associée à la présence de la Terre près de la station.

3. L’objet reste très proche de la station dans le plan de la figure et on définit sa position par les coordonnées (x, y). Montrer qu’au premier ordre, la force de marée est donnée par

−

→Fm = 3mω²x−→ux . 4. Trouver les équations horaires du mouvement.

5. Décrire le mouvement dans le cas où−→v⁰ est tangent à la trajectoire du satellite et dans celui où il lui est perpendiculaire. Dans lequel des deux cas l’astronaute pourra-t-il rattraper son outil ?

y x

x y

O S t= 0

v0

S

t >0 P

M

R

Figure 6 – Satellite en mouvement autour de la Terre

19. Déviation du pendule de Foucault

En 1851, Léon Foucault réalisa à Paris, sous la coupole du Panthéon, une expérience restée célèbre mettant en évidence la rotation sidérale de la Terre dans le référentiel géocentrique. Il s’agit d’une manifestation de la force de Coriolis, autre physicien français de la même époque qui fut élève au lycée de Nancy au début du XIX^esiècle. En son honneur, l’expérience a été répétée à l’occasion du bicentenaire de notre établissement. On peut aussi en admirer des reproductions dans de nombreux musées scientifiques.

Le dispositif consiste en un pendule simple formé d’une corde de longueur L= 67 m et d’une boule de massem = 30 kg assimilée à un point matériel. Suspendu à un point fixe dans le référentiel terrestre, ce pendule est mis en mouvement puis on observe ses oscillations sur une durée de plusieurs jours. On constate que le plan dans lequel la corde et la masse se déplacent lors d’une période ne reste pas fixe mais tourne progressivement. Pour l’étude théorique, nous prendrons l’origine des coordonnées sur le point de repos du pendule, situé à la verticale du point de suspension. L’axe (Oz) désigne la verticale ascendante, (Ox) est orienté vers l’Est parallèlement à l’équateur et (Oy) vers le Nord selon le méridien local. Le référentiel géocentrique est supposé galiléen et le référentiel terreste possède une vitesse de rotation Ω = 7,3.10⁻⁵rad.s⁻¹ autour de l’axe des pôles. Les oscillations sont suffisamment petites pour négliger le déplacement vertical du pendule : ses coordonnées s’écrivent donc (x(t), y(t),−L) et on limite tous les calculs au premier ordre en x/Let y/L. On ne prend en compte aucun phénomène dissipatif.

1. Pour l’instant on néglige la force de Coriolis. Le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis la positionM⁰(x⁰, y⁰,0). Démontrer en coordonnées cartésiennes les équations différentielles régissant son mouvement et en donner la solution (x(t), y(t)) qui convient ici. Représenter la trajectoire dans le plan (O,→−ux,−→uy) avec x⁰ >0 et y⁰ >0.

2. On se concentre sur une demi-période d’oscillation durant laquelle le pendule passe deM⁰ au point symétrique M0^′. En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer le vecteur vitesse −→v en fonction du temps et le représenter en quelques points de la trajectoire. Représenter avec de nouvelles couleurs la projection de force de Coriolis dans le plan horizontal, puis la modification

∆−→v du vecteur vitesse provoquée par cette force.

3. En corrigeant légèrement au crayon la trajectoire initiale, représenter l’allure vraisemblable de la trajectoire de M⁰ jusqu’aux environs de M0^′ tenant compte de la force de Coriolis. Aucun calcul n’est demandé.

4. Dans la suite logique de ce qui précède, on procède à un calcul perturbatif pour tenir compte de la force de Coriolis. Puisque son effet est faible, on l’évalue en confondant le vecteur vitesse −→v(t) avec celui de la question 2. Écrire les équations cartésiennes du mouvement.

5. Les mathématiques enseignent qu’une solution particulière de l’équation différentielle ¨y+ω²y= Asinωt est y=−^At2ωcosωt. En déduire les équations horaires de la trajectoire.

6. En partant deM⁰, le pendule atteint après une période le pointM¹ =M⁰. On noteδ−→M⁰ =−−−−→M⁰M¹. Exprimer δ−M→⁰, vérifier qu’il est orthogonal à−−−→OM⁰ et placer M¹ sur le schéma.

7. Exprimer l’angle β = (−−−→

OM⁰,−−−→

OM¹). À quelle vitesse angulaire le plan d’oscillation du pendule tourne-t-il autour de la verticale ?

20. Stabilisation gyroscopique

On considère un point matérielM astreint à se déplacer uniquement dans le plan (Oxy) d’un référentiel R galiléen. Dans ce plan, il est soumis uniquement aux forces dérivant de l’énergie potentielle

U = 1

2mω²(x²−y²) On note (x⁰, y⁰) sa position initiale de (v⁰x, v⁰y) sa vitesse initiale.

1. Quelle est la seule position d’équilibre possible ? Les questions qui suivent portent sur la stabilité de cet équilibre.

2. Écrire les équations du mouvement et les résoudre en tenant compte des conditions initiales.

3. Décrire le mouvement dans les deux cas particuliers suivants :

— x⁰ = 0 et v⁰x = 0.

— y⁰ = 0 etv⁰y = 0.

4. Dans le cas général, la position d’équilibre trouvée à la question 1 est-elle stable ou instable ? 5. La courbe gauche de la figure 5 représente l’énergie potentielle en fonction de x et y. Ce graphe

confirme-t-il l’analyse précédente ?

x

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

y

−1.0

−0.5 0.0

0.5 1.0

U

−30 −20 −10 0 10 20 30

x

−25

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

y

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

x

−25

−20

−15

−10

−5 0 5

y

Figure 7 –

6. Dans les questions qui suivent, le référentiel R est en rotation de vitesse angulaire Ω autour de l’axe (Oz), par rapport à un référentiel R⁰ galiléen. Écrire les équations du mouvement de M dans R.

7. On considère les deux expressions suivantes :

x=Ae^rt y=Be^rt .

avec (A, B)6= (0,0). À quelle condition sur r sont-elles solutions des équations du mouvement ? 8. La position d’équilibreO est stable s’il n’existe aucune solution r à partie réelle positive. À quelle

condition, portant sur Ω et ω, est-ce le cas ?

9. Commenter les deux courbes de la partie droite de la la figure 5.

21. Glissement et basculement d’une voiture dans un virage

On étudie ici le comportement d’une automobile de masse m parcourant à vitesse v constante une portion courbée de chaussée, assimilée à un cercle de rayonR. Bien que le véhicule possède quatre roues, on adopte une description dans laquelle il ne possède que deux points de contact au sol, l’un décrivant les roues droites et l’autre les roues gauches, ce qui autorise une schématisation bidimensionnelle comme le montre la partie droite de la figure 8 où la chaussée forme un angle α avec le plan horizontal. Le centre de masseGde la voiture se situe à la distancehdu bitume. On note respectivement−R→¹ =−N→¹+−→T¹ et−R→² =−N→²+−→T² les réactions exercées par la route au niveau des roues droites et gauche. Ces vecteurs sont inclus dans le plan de la figure de droite. Selon l’usage, on a noté−→

Ni chaque composante normale et−→Ti chaque composante tangentielle. On pose −→N =−→N1+−→N2 et −→T =−→T1+−→T 2.

1. Déterminer les expressions de N etT en fonction deR, v,g,m etα.

2. On considère les valeurs α = 5^◦ et R = 50 m. Dans quel sens −→T est-elle en général dirigée lorsque la voiture avance ?

3. Les pneumatiques possèdent un coefficient de frottementµ= 0,5. Déterminer la vitesse maximale à ne pas dépasser pour éviter le dérapage de la voiture. Analyser quantitativement l’influence de l’état de la chaussée et des pneumatiques.

R O

α

a G

Figure 8 – voiture dans un virage

4. Dans les questions qui suivent, on analyse les possibilités d’un début de basculement de la voiture, c’est à dire la première phase d’un tonneau. On raisonne dans le référentiel en rotation autour de l’axe vertical passant parO par rapport au référentiel terrestre et dont l’un des axes pointe en permanence vers le centre de masse de la voiture.

En analysant soigneusement le moment des forces extérieurs agissant sur la voiture, trouver l’ex- pression deN¹ en fonction de m, R,g, v, h eta. PourN² on obtient

N² =Fie

1

2sinα+ h a cosα

!

+mg 1

2cosα− h a sinα

!

où je vous laisse deviner ce que représente Fie.

5. Compte-tenu de la valeur de α, comparer N¹ et N² à ce qu’elles vaudraient si la voiture était immobile. On donnea = 1,6 m et h= 0,6 m.

6. À partir de quelle vitesse la voiture commence-elle à basculer ?

7. Pour des vitesses croissantes, quel est le premier danger qui survient : le dérapage ou le basculement ? Commenter l’influence deh et de µsur ces résultats.

−

→ux

−

→uy

r −→u

−

→v A

B α O

C 22. Stabilisation d’un satellite par gradient de gravité

Un satellite de masse 2m décrit autour de la Terre de masse M une orbite circulaire de rayonr à la vitesse angulaire ω. Il est formé de deux modulesA etB de masse massimilés à les points matériels liés entre eux par une tige rigide de longueur 2L et de masse négligeable (figure ).

Données numériques : G = 6,67.10⁻¹¹SI, M = 6,0.10²⁴kg, m = 100 kg,L= 5 m, r= 7,0.10³km.

1. Représenter les forces de gravité s’exerçant sur le satellite. Par une analyse qualitative, trouver les valeurs de α pour lesquelles un équilibre relatif est possible, c’est à dire pour lesquelles le satellite conserve la même orientation par rapport à la verticale (O,→−u).

2. En exploitant le fait queL est très inférieur àr, exprimer au premier ordre non nul le moment en C de forces de gravité.

3. Le référentiel géocentrique (O,−→ux,−→uy,−→uz) est supposé galiléen et on raisonne dans le référentiel (C,−→ux,−→uy,−→uz).

a) Exprimer les forces d’inertie s’exerçant sur A et sur B puis prouver que leur moment global en C est nul.

b) Écrire l’équation du mouvement régissant l’évolution de l’angle α.

c) Déterminer les positions d’équilibre relatif et discuter leur stabilité. Pour la (ou les) posi- tion(s) d’équilibre stable, exprimer la période des oscillations et la calculer numériquement.

4. Reprendre le raisonnement dans le référentiel (O,−→u ,−→v ,−→uz).