27 cm, 25 p., 6 fi g. h.-t.

CEA-R 3070 DENIZ V. .-

Application de la méthode JANVIER (M. Yvon) aux expériences par neutrons puisés..

Commissariat à l'énergie atomique, Centre d'études nucléaires de Saclay (Essonne), 1966.-

27 cm, 25 p., 6 f i

. h.-t.

CEA-R 3070 - DENIZ Valentin

APPLICATION DE LA METHODE JANVIER (M.YVON) AUX EXPERIENCES PAR NEUTRONS PULSES

Sommaire. - Pour analyser des expériences par neutrons puisés, il est important de connaître la longueur d'extrapolation pour pouvoir évaluer les laplaciens. Pour des modérateurs en géométrie plaque, la méthode JANVIER (M. YVON) est très bien adaptée à l'application des conditions limites. Une étude de la méthode est faite dans ce rapport pour le problème de neutrons pul3és et le problème deMILNE avec un spectre de vitesses.

On démontre que l'approximation d'ordre un pour le développement angulaire est suffisante pour donner une bonne valeur du. coefficient de refroidissement, bien que par la suite, la précision puisse dépendre de la méthode utilisée pour traiter le spectre. Un développement du spectre en une série de fonctions de LAGUERRE d'ordre un est considéré.

Dans l'approximation p f l J

) , la variation relative de la longueur d'extrapolation avec le laplacien pour l'eau légère eet en bon accord avec les calculs faits en utilisant le code SLOP-1. Pour le graphite, la variation

est faible dans le domaine des laplaciens qui sont intéressants pour les expériences. .

CEA-R 3070 - DENIZ Valentin

APPLICATION OF THE JANVIER (M.YVON) METHOD TO PULSED NEUTRON EXPERIMENTS

Summary. - For the analysis of pulsed neutron experim ents, it is important to know the extrapolation length in order to be abje to evaluate the bucklings.

For moderators in slab geometry, the .method JANVIER (M. YVON) is very well adapted to the application of the boundary conditions. A study of the method is reported here as applied to the pulsed neutron problem and the MILNE problem In the spectral case. - -

It is shown that the first order approximation for the angular expan- sion is sufficient for obtaining a good value of the diffusion cooling coeffi- cient, even though the ultimate precision depends on the method used to

study the spectrum. An expansion of the spectrum in a series of LAGIÎERRE functions of order one is considered.

In ti*e Fj iij 'approximation, the relative variation of the extrapolation length with buckling for light water is in good agreement with calculations made using the SLOP-1 code. For graphite, the variation is small in the buckling range interesting for experiments.

/

La convergence du développement en fonctions de LAGUERRE étant t r è s lente, on propose un nouveau système de fonctions orthogonales €> (y) qui permettent d'exprimer le spectre comme une somme de rnaxwellienS, la suite de ces maxwelliens adoptés étant définie par le p a r a m è t r e libre s.

L'utilisation de ces fonctions avec une valeur de s convenablement choisie peut conduire à une convergence rapide.

1966 33 p.

Commissariat à l'Energie Atomique - France

The convergence of the LAGUERRE function expansion being very slow, a new system of orthogonal functions 8 **' (y) i s proposed, which permits one to express the spectrum as a stun of maxwellians, the set of maxwellians chosen being defined by the free p a r a m e t e r s. The use of these func^ons with a conveniently chosen value of s could lead to rapid convergen- ce.

1966 33 p.

.Commissariat à l'Energie Momique - Vranee

P R E M I E R M I N I S T R E C E A - R 3 0 7 0

COMMISSARIAT A L'ÉNERGIE ATOMIQUE

APPLICATION DE LA METHODE JANVIER (M. YVON) AUX EXPERIENCES PAR NEUTRONS PULSES

par

Valentin DENIZ

Rapport C E A • R 3070

1966

C E N T R E D ' E T U D E S N U C L É A I R E S D E S A C L A Y

Les rapports du COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE sont, à partir du n* 2200, en vente à la Documentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 16, rue Lord Byron, PARIS Vlllème.

The CE.A, reports starting with n* 2200 are available at the Documentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 16, rue Lord Byron, tARIS Vlllème.

- Rapport CEA-R 3070 -

Service des Expériences Neutroniques

APPLICATION DE LA METHODE JANVIER (M.YVON) AUX EXPERIENCES PAR NEUTRONS PULSES

par

Valentin DENIZ

- Décembre 1966 -

TABLE DES MATIERES

I - Introduction II - Théorie générale

III -

II. 1 - Le3 résultats que l'on peut obtenir sans préciser explicitement le spectre

II.2 - Considération du spectre et obtention de l'équation caractéristique II. 3 - Propriétés générales du déterminant caractéristique et sa relation

avec les amplitudes A* .

II.4 - Le problème d'une plaque puisée

II. 5 ~ Le problème de MILNE pour un milieu sans absorption L'approximation P~ L '

III. 1 - L'équation caractéristique

III.2 - Expression pour la constante de décroissance asymptotique III. 3 - Calculs del pour l'eau et le graphite

- L'eau

- Le graphite

IV - Convergence du développement en fonctions de LAGUERRE et recherche d'autres fonctions

IV. 1 - Examen de la convergence par l'étude du coefficient de refroidissement IV.2 - Définition d'un nouveau système de fonctions orthogonales

IV.3 - Comparaison de convergence V - Conclusions

APPLICATION DE LA METHODE JANVIER (M. YVON) AUX EXPERIENCES PAR NEUTRONS PULSES

I - INTRODUCTION

L'interprétation des expériences par neutrons puisés nécessite de prime abord une connaissance des laplaciens des blocs étudiés, en d'autres termes une connaissance de la longueur d'extrapolation. Une étude intéressante par programme multigroupe (SLOP - 1) a été effectuée par GELBARD et coll. [1] pour l'eau, en utilisant l'approximation de diffusion et l'approximation P (avec conditions limites de Marshak). Une étude analytique valable pour une approximation PN quelconque a été illustrée dans l'approximation de diffusion par

WILLIAMS [ 2 ] , un travail semblable étant également fait par VERTES [3] dans l'approxima- tion P . Il ne semble pas que la méthode JANVIER [4,5] qui est très bien adaptée à l'ap- plication des conditions limites, ait été étudiée en détail pour ce problème. On trouve une référence à cette méthode dans Cl]. DAITCH et EBEOGLU [6] ont fait des calculs de la constante de décroissance dans des plaques d'eau dans l'approximation d'ordre zéro pour démontrer l'écart entre les valeurs ainsi obtenues et les valeurs fournies par les approxi- mations de diffusion et de P . .

Dans ce rapport, on fait une étude détaillée de l'application de la méthode de M. YVON au problème des expériences par neutrons puisés en prenant une géométrie plaque et une loi de choc isotrope. Des problèmes voisins : expériences exponentielles en milieux empoisonnés et le problème de MILNE pour le cas spectral sont également traités. La présentation théo- rique est suivie par des calculs numériques .

Pour pallier le défaut de la très lente convergence du développement spectral en fonc- tions de LAGUERRE, on propose à la fin du rapport une autre famille de fonctions orthogo- nales qui permet une convergence rapide.

II - THEORIE GENERALE

II-1 Les résultats que l'on peut obtenir sans préciser explicitement le spectre

Soit une population neutronique qui décroît avec une constante de décroissance a. L'é- quation du bilan s'écrit :

^ . pOÔ p 1

M |^X <P ( y , x , M ) + Z ^T (y) cp ( y , x , p ) = g J d y¹ d ^H' cp (y¹ , x ,^M' )

où

y = E/kT = (v/vo)

«- ; « = * o

- 2 -

et les autres grandeurs ont leurs significations habituelles.

Faisons le développement angulaire suivant : N + +

s (y,x,p) = E f-^-¹) h " (y,x) P ( ^ç ~)

où +

f " = 2 u + 1

(2)

Le signe + est utilisé pour u > o, le signe - pour u < o. En portant (2) dans (1), on le système d'équations :

obtient le système d'équations :

t > r + + + - 1

2 (21+1) E^T (y) ^ (y,x) + ^{S x} ^ lh ^w (y,x) ± (21 + 1) h[ (y^fx) + (1+1) h ^ " (y,x) J

(3)

l ; 1 = O'¹' " - ^N Admettons que l'on peut exprimer hT (y,x) comme une somme linéaire de solutions séparables

+ +

h " (y,x) = E Q ~ . (y) e \ ^x

(4)

Le système (3), qui est vérifié pour chaque i , devient

+ i -

2 (21 + (y)

± t

j . f y ) + ( 1 + 1 ) Q1 + 1 .

= 6 (i) I Q • J o I

r' ; 1 = 0 , 1 , . . . N

(5)

En définissant

et en portant (6) dans (5) pour 1> o, on obtient la relation de récurrence suivante :

n (y)

- X * ! 2

(7)

La fraction continue ainsi obtenue est tronquée à une valeur maximum de 1 égale à N.

D'une façon très générale, on peut é c r i r e , après la simplification des fractions,

x i 1

û (y)

(8)

ou les fonctions G , H, J , K sont des polynômes en X . , ayant dans les coefficients la variable y par l'intermédiaire de E (y).

- 3 -

En portant l'équation (8) définie pour 1 = 1 dans l'équation (5) définie pour 1 - 0, on obtient 2

"^Xi

a

Y (E X . ² )

V T . 1

V ^

où

(9)

Q • (y) = Q • (y) ⁺ Q " (y)

o i ^J o i ^J o i ^J'

Y ( E X . ) = * Z J ( H , C J , - > . K , J , ) + ( i l - - A . . K , ) + i \ . I(jr^Hx^.¹ - J , t i . , i - A.. ( U , -A.. J , )

* X T , 1 ' T i l l 1 1 ' 1 i l *1 x 1 1 1 1 ' 1 1 i l

Y (E x.- ) - 4 E (H -X K ) - 2 X. (H G - X K J )

| | X I X X X X X X X X X

L'équation (9) constitue l'équation de bilan pour le flux total du mode i , puisque 2 cp. (y) = Q ^Q+. (y) + Q ". (y)

Les fonctions x ^{e t Y} peuvent être exprimées de la façon suivante pour une approxi- mation d'ordre N :

(10)

. 2K

J

( H )

Y ^ V A . V —

t 2K

KN

1

2N+2 r n 2

où A = (2) |_ 1.3.5 (2N+1)J ; a ^ et b ^N étant diverses constantes numé- riques qui dépendent de l'ordre d'approximation. L'équation (9) peut donc s ' é c r i r e :

2

3 S (y)

\

N

(12)

X. 2K ^{. 2}

où T est l'opérateur de thermalisation. Il est à préciser que si l'on néglige ce qui est à la droite du signe d'égalité dans l'équation (12), on obtient une approximation intermédiaire entre l'ordre zéro et l'ordre un. Une approximation d'ordre zéro donnerait un facteur 4 au lieu de 3 dans ie dénominateur du premier t e r m e .

(12).

Quelques résultats d'ordre général peuvent être obtenus à partir de l'équation (9) ou a) Pour le problème de MILNE monoénergétique sans absorption, l'équation caracté- ristique pour les x- ^{e s t} donnée par \,^ \( Z \,^ ) = 0, ce qui montre que les X, sont obtenus

1 1 T j 1 X

par paires ayant des signes opposés et qu'il existe une double racine nulle. Les résultats sont donnés dans le papier original de M. YVON [ 4 ] ,

b) Pour le problème correspondant avec absorption, l'équation caractéristique est

" K² X ( Z, X⁴²) + ^ Y ( E \.²) = 0 ; elle se trouve également dans le papier de M. YVON.

- 4 -

c) Pour le problème de MILNE avec un spectre de vitesses,si l'on admet que les sections efficaces sont constantes, le problème se ramène au cas monoénergétiqu- on aura un spectre maxwellien, et une équation caractéristique - X..^{2 x} + £ y = 0 . Ces résultats

1 cL

apparaissent immédiatement quand on intègre l'équation (9) sur la variable y.

d) Pour un bloc puisé, une des racines est ^{x 2} = - B² . Admettons une absorption en 1/v, et développons a et i (y) ainsi :

a -- a + D B² - CB⁴ + F B⁶ —- o o

?^o(y) - M (y) - B^{2 O( y ) +} B cp ( y ) - — (13)

où M (y) est une distribution maxwellienne.

En portant (13) dans (9) et en identifiant à zéro les coefficients des diverses B , on obtient d'une part les équations différentielles pour cp^{2 Q}(y), cp^{4 Q}(y) e t c . . , d'autre part les

L ' i t i P^ donne expressions pour D , C , e t c . . L'approximation

D

<oO

- M (v) dv =

- M (v) dv =

M (v) dv D

(14)

oo

3E (v) o s '

dv

D

- — ) M (v) dv o 3Eg (v)

oil a = 1/4. La valeur exacte de a est 4 / 1 5 . On a exprimé l'équation (14) en fonction de la vitesse pour comparaison directe avec les formules standards. L'approximation P * donne

g ™

les formes exactes pour D et C , et l'expression suivante pour F (terme en B ) - M (v) dv

• r

<

(15) 4 Do

Jo Ss is

avec b = 499/10800. Sa valeur exacte est b = 44/945. On peut constater que l'approximation P * donne une expression quasi-exacte pour C, tandis que l'approximation P_± donne une expression quasi-exacte pour F .

e) Pour une expérience statique (expérience exponentielle), on obtient des résultats analogues par des considérations suivantes : soit un milieu infini puisé dans lequel la popu- lation décroît suivant la constante de décroissance asymptotique a . Au temps t = 0 , quand le flux en tout point est 0 (v), on envoie dans le demi-espace x < o une source constante et

isotrope égale à a 0 (v)/v et dans le demi-espace x > o on ajoute un empoisonnement en l / v donné par E = (—r,—) où B est une constante positive ou nulle. Après une période t r a n -

^ poison ^v

sitoire, il existera dans la région x > o une distribution asymptotique suivant la fonction exp (- _* ) ou la longueur de relaxation L sera fonction de 0. Si 0 = o, l'addition du poison

L

revient à mettre la source a 0 (v)/v aussi dans la région x > o ce qui amènera à une d i s - tribution plate c'est à dire 1/L = o. Pour 0 = a , on obtiendra ^{L m o d}; ^{e t} suivant que 0 § a^Q on aura L ^ L . . L e cas 0 < a n'est pas physiquement réalisable en expérience statique

mod o

mais son équivalent peut être obtenu en expérience dynamique.

T

a = a - o

- 5 -

Pour traiter le problème statique, les équations (1) à (12) restent valables en posant - P

Faisons maintenant les développements suivants :

(16) cpo (y) = M (y) + (y) + ( cp^y) + —

qui vérifient les conditions pour —2 = o où on doit avoir 0 = o et cp (y) = M (y).En écrivant

1 2

* °

—_ = B on obtient

2 4 a = a + P B - QB - - - cpQ (7) = M (y) - B2 cp2 (y) + B4

(17) (y) —

c'est à dire que l'on obtient les mêmes formes que dans l'équation (13). On peut donc pour- suivre les mêmes raisonnements qu'auparavant, et on obtiendra les relations suivantes :

P = D , Q = C etc

= < P4 | O( y ) etc

<^V

(mod)" < V «

" <

Veff = &

£6

(18)

(y) = M (y) + -2 (y) + £^{4 (y) —}

On voit ici la relation entre la longueur de relaxation mesurée et la section effective d'absorp- tion. On voit également que dans une expérience statique le spectre est chauffé contrairement à ce qui arrive en expérience puisée. On peut constater également que ces expériences sta- tiques avec divers empoisonnements en l/v fournissent une continuation analytique de la courbe a = f (B²) vers les laplaciens négatifs et par conséquent fournissent une méthode indépendante pour déterminer D , C , F^; etc.

Jusqu'à maintenant on a obtenu quelques résultats d'ordre général sans une étude par- ticulière du spectre. Ces résultats ne sont pas inédits mais il est intéressant de constater la facilité avec laquelle ils découlent de la formulation générale de ce rapport.

Dans la suite, on porte l'attention sur le spectre,ce qui permettra une formulation plus explicite.

II.2 Considération du spectre et obtention de l'équation caractéristique.

Le moyen le plus direct d'étudier le spectre est de l'exprimer comme une somme linéaire d'une famille de fonctions orthogonales. Le choix de la famille dépend du problème.

Plusieurs considérations entrent en jeu : convergence rapide, fonction de pondération la plus apte à simplifier le problème après l'utilisation de la propriété d'orthogonalité, variable la plus convenable (dans notre cas par exemple, doit-on travailler avec la variable énergie ou la variable vitesse), gamme de la variable etc. Ces considérations peuvent nous amener, le cas échéant, à fabriquer une famille de fonctions orthogonales qui conviendrait au problème considéré.

- 6 -

Dans l'étude du spectre neutronique, on utilise souvent l e s fonctions de Laguerre d'ordre un, dans la variable d'énergie. Ces fonctions ont l'avantage d'avoir une distribution maxwellienne comme fonction de pondération. Elles seront adoptées pour formuler le problème ci-dessous. On considérera plus tard une a u t r e famille de fonctions orthogonales. Développons les Q * (y) de façon suivante :

(y) = y e"y

n=o

Les définitions des fonctions utilisées sont données dans l'Annexe.

L'introduction de (19) dans l'équation (5) conduit au système suivant :

(19)

L +

2 ( 2 1 + 1 ) 7 A * (Trv) + (m + 1) X- F 1A" t . ± (21+1) A . * . + (1+1) A * .

nTQ lm v zT'nm ' Ki L 1-1, mi v ' lmi v ' 1+1,mi

= 6(1) Y (A+ .+A~ . ) [ (Y ) + F 1

ov 'Z_ v oni om ' L ^ s ' n m nm J

(20)

n=o

ou

'nm

•f

Jo

1 = o , l , 2 N , m = o , 1, 2 L

( y ) Ln ( y ) Lm ( y ) d y

ï ^{- y}

⁾

<y> L ^

(21)

Le système (20) comporte 2 (N + 1) (L + 1) équations en autant de paramètres dont l'élimination conduit à l'équation caractéristique. La solution de cette équation pour \ en fournit

2 (N + 1) (L + 1) valeurs.

II. 3 Propriétés générales du déterminant caractéristique et sa relation avec les amplitudes A *.

Définissons : A.-. = (-l^k.C *

lm ' i lm

on k. est un facteur de proportionnalité quelconque.

(22)

L'introduction de (22) dans le système (20) et la division de chaque équation ainsi ob tenue par le ( - l ^ k correspondant conduisent au système :

L + - E G,1. (E )

n=o lm T nm l m i

r (C ⁺. + c - .) r (s ) ^{+ F} i n=o ^{o m o m} L s'nm nm J

(^{2 3})

On voit que s'il y a une racine + X- associée aux amplitudes Al ., il y a n é c e s s a i - rement aussi une racine - X- associée aux amplitudes correspondantes C * ; A * et C,

] lnj lnj lnj n'étant pas indépendants mais liés par la relation (22) avec i remplacé par j . Dorénavant on considérera l'indice i comme représentant la i-ième des (N + 1) (L + 1) racines \2 de l'équa- tion caractéristique.

- 7 -

On désignera par A . l e s amplitudes a s s o c i é e s à la racine + Xj et par C^ l e s amplitudes lni

a s s o c i é e s à la racine - \ . .

Ecrivons maintenant une des équations du système (20) sous la forme généralisée

I t

L'équation caractéristique peut a l o r s s ' é c r i r e

N L + . 4. , , , - , x ™ - / ^ x i »*>\

r - r - r a (+X.) M + (+ X.) + a1 ( + \.) M ( + \.) J = o (^°;

l=o n=o

où M * (+ x ) est le mineur (en tenant compte du signe) de l'élément a * (+ \) du d é t e r -

ln 1 in i

minant c a r a c t é r i s t i q u e . Bien entendu on choisit, si besoin e s t , l'équation exprimée sous la forme (24) de telle sorte que l e s M * (+\. ) ne sont pas tous identiquement nuls.

La comparaison des équations (24) et (25) conduit à l'équation

Al n i= Pi (26)

où p . est une constante de proportionnalité. Notons que l e s grandeurs en question peuvent ê t r e complexes.

Les mêmes considérations appliquées au système (23) conduisent aux équations : N L

l=on=o

Cl+ni = o (27)

N L l=o n=o

a

î n <"Xi> în

où q . est une autre constante de proportionnalité.

= o (28)

(29)

Les équations (27), (28) et (29) correspondent respectivement aux équations (24), (25) et (26). Dans l e s deux ensembles de t r o i s équations, l e s formes fonctionnelles des

a * (\.) et M * (X.) restent inchangées en passant d'un ensemble à l ' a u t r e ; on remplace seule- ment la racine + X. Par ^ racine - X-- Si une paire de r a c i n e s est imaginaire ± iXQ, on aura

al n <^+ao> ] * ^{; M}l n <"

où • indique l e complexe conjugué.

Ml n

]*

- 8 -

Les équations (22), (25) et (29) donnent une relation générale entre les mineurs, cette relation étant

= ( -1) k.q .M^{l n} ( -x.) (31)

On prendra maintenant l'un après l'autre le problème d'un bloc puisé et le problème de MILNE pour définir les conditions limites, propres à chaque problème, qui permettent l'élimination des (N + 1) (L + 1) inconnues P. ou q . et pour obtenir les relations qui en résul-

tent. ^{l l}

II.4 Le problème d'une plaque puisée

II y a tout d'abord la condition de symétrie (l'origine des x étant à la mi-épaisseur de la plaque dont l'épaisseur est 2 a) :

<£ (y»^x»y) ⁼ cp (y, - x , - ^ ) pour tout y, x et \i qui conduit à la relation

h* (y»^x) ⁼ (-1) \ (y, -x) pour tout y, x et 1 et par conséquent aux relations

(32)

(33)

Pi^Mln

II y a ensuite les conditions limites h | (y, -a) = o pour tout 1 et y ce qui conduit au système

(34)

(35)

L

^F

n=o ^{Ml n} M

in

pour tout 1 et y

Dans (36)on a utilisé la deuxième des équations (34) pour exprimer les q . en fonction E l t i l i t l è ⁽^ (y) et intégrant sur y on obtient

de P.. En multipliant le système (36) par

m _{= o} (37)

pour tout 1 et m

Le système (37) constitue (N + 1) (L + 1) équations avec (N + 1) (L + 1) inconnues p.. Leur élimination conduit à un déterminant nul dont la solution fournit la demi-épaisseur a.

Dans ce problème de plaque puisée, une des racines \ de l'équation caractéristique sera négative fournissant les deux racines en X qui sont associées à l'indice * IX . On admettra qu'on ne considère pas des dimensions qui peuvent donner lieu à plus d'une paire de racineso*

imaginaires.

- 9 -

Le déterminant obtenu en éliminant les p. aura une colonne formée des éléments complexes, ces éléments étant les coefficients de p dans le système (37). Pour aboutir à un déterminant qui ne contient que des éléments réels, on procède de la façon suivante :

soit

D_lmi

f M ,

lm

1 - - Ma + E, . = (m+1) T (-1) NL (-X.) e + M_

lmi ' L v ' l m v r lm

En utilisant la deuxième équation (34), on obtient

(38)

p. D, . = q . E. .

i lmi i lmi (39)

L'équation (37) est effectivement le système

T. P,D,~i =

i=o i lmi pour tout 1 et m

et l'élimination des p. fournit le déterminant A (a) = o dont il s'agissait plus haut.

Le système (40) peut également s'écrire q E. + E p.D. . = o

o lmo •_, i lmi

(40)

(41) et l'élimination de q et des p . , i=l,2 . . . donnera un autre déterminant A (a) = o

dont la solution fournit également la demi-épaisseur a. Les deux déterminants A et A« sont identiques sauf pour les éléments complexes. Il n'est pas difficile de démontrer que les deux déterminants A¹ = i- (A¹ + A_) et A" = -r. (A - A_) ne contiennent que des éléments r é e l s , et on peut résoudre soit A¹ (a) = o ou A" (a) = o pour obtenir la valeur de a. On peut prouver en effet que dans une ligne donnée de k (ou de A²), la partie réelle de D (ou de E ) est propor- tionnelle à la partie imaginaire pour toute valeur de a , la constante de proportionnalité étant indépendante de la ligne choisie.

La valeur de a étant obtenue, la longueur d'extrapolation 1 est donnée par l'équation 1 = ( a )

ex ^V2X^O

(42) On est maintenant en possession de tous les éléments nécessaires pour déterminer le spectre si l'on veut, le problème est complètement résolu.

Un cas limite du système puisé se rencontre quand a = a et E = a /v. Physiquement ce cas correspond à un milieu infini, c'est à dire que l'on doit avoir une racine X = o. Des considérations très simples montrent également que dans ce cas le flux est maxwellien. On peut prouver ces deux propriétés à partir de la théorie développée dans ce rapport :

On aura d'abord E (y) = E (y) . Posons X- ⁼ o dans le déterminant caractéristique. Le

T S X

déterminant ainsi obtenu aura deux colonnes identiques au signe près, ces deux colonnes étant respectivement formées des coefficients de A . et A " . . Ceci conduit immédiatement aux deux résultats suivants :

- 10 -

- le développement du déterminant caractéristique en puissance de \ n'aura pas un 2

terme constant, en d'autres termes il y a une racine \ = o ce qui correspond à un laplacien nul.

- pour la racine nulle, on a

+ = A ~ = C + = C "

oo o o o oo ooo ooo o o oA

/l

A * = C *

* lno lno

ooo

p o u r 1 > o , n > o

(43)

En ce qui concerne les conditions limites, elles ne peuvent pas être appliquées ici puisque le milieu n'est pas borné. On a par contre les deux conditions : flux isotrope et indépendant de la variable x.

L'isotropie du flux conduit à hi (y» ^x) ⁼ ° pour 1 > o et par conséquent

+

pour 1 > o et tout n et i A, . = o = C. .

lru lm

La condition de flux plat conduit à

(44)

(45)

A . = o

om pour i > o et tout n ⁽⁴⁶⁾

On obtient par conséquent :

cp ( y , x , u ) = c p ( y , x ) = 2 A^ o

M (y)

M (y) (47)

ce qui prouve que le flux est maxwellien.

Pour résumer l'étude d'une plaque puisée, on part d'une valeur a de la constante de décroissance. En fonction de cet a, on obtient une suite de valeurs de \? dont une est néga- tive, sa valeur absolue étant le laplacien du bloc. L'application des conditions limites fournit l'épaisseur de la plaque, d'oD on obtient la longueur d'extrapolation. On peut également obte- nir le spectre si l'on veut. En prenant diverses valeurs de a, on peut obtenir la variation de la longueur d'extrapolation avec le laplacien ou l'épaisseur de la plaque.

L'équation caractéristique peut également être utilisée en sens inverse : on pose

n O

- \f = B et l'on résoud l'équation pour obtenir les valeurs de l'inconnue a. Une des racines sera la constante de décroissance asymptotique associée au laplacien 3 . Une étude analytique2 de cette inversion dans l'approximation p " L * ' est donnée plus loin dans ce rapport.

II.5 Le problème de MILNE pour un milieu sans absorption

On considère un milieu non-absorbant remplissant le demi-espace x > o et alimenté par une source constante à l'infini ayant un courant fini. Pour ce problème Z (y) = Z (y) et

T S

par conséquent il existe une double racine nulle, c'est à dire que l'on a \2 = o

- 11 -

s'écrit

avec

On admet que la solution pour hT (y,x) qui correspond à cette double racine nulle (48)

n=o (49)

(y) = M

n=o

Les autres racines ne posent pas de problèmes nouveaux. Les résultats généraux de la section II-3 restent valables. Portons notre attention sur la racine \ 2 = o

L'introduction des équations (48) et (49) dans l'équation (3), la multiplication par L (*) (y), l'intégration sur y, et l'utilisation du fait que le système qui s'ensuit est valable pour toute valeur de x, nous conduisent aux équations suivantes :

L > t 'Vnm

nm

2 < ^21+l >£

^Z lIo'Vnm * *

n=o

(

Vnm

Z

oL

ono Vnm

nm

n=o

1 Z

n=o W.mo

t

1+1, mo ⁽⁵⁰⁾

<^Ao⁺no ^{+ A}"ono nm n=o

1 = 0,1 N ; m = 0,1 L

La première des équations (50) écrite pour un 1 > o condui*. au résultat Z . = o

lno pour 1 > o et pour toute valeur de n (51)

L'utilisation de ce dernier résultat dans la deuxième des équations (50) écrite pour un 1 > 1 conduit à

= o pour 1 > 1 et pour toute valeur de n ⁽⁵²⁾

Le système (50) se réduit alors à : h ono

j - ï

n=o L n=o

L

Z * r (E ) + F ] = o

"s'nm ~ nmJ U ono - s ' n m nm J

n=o

(53)

r (s ) -

i -

t ^x s'nm nmJ

ono ^h ' s nm _n=o ono ^ * s nm omo ^{= o}

=o

p o u r m = 0 , 1 , 2 L

- 12 -

L'élimination des Z dans le système représenté par la première des équations ono

(53) donne un déterminant dont deux colonnes sont identiques sauf pour un changement de signe, ces deux colonnes étant formées respectivement par les coefficients de Z + et Z . D e

. . . ooo ooo ce fait on obtient :

ooo , ±

ono

p 0o oo

(54)

= 0 pour n > o

où P est une constante et 0 = M (\ = o ) = M " (\ - o)

o oo oo vvo oc *o '

La résolu*on du système d'équations représenté par la troisième des équations (53), en utilisant les équations (54) conduit à

lno (55)

où -, peut être représenté comme un rapport de deux déterminants. On résoud le système séparément pour les A, + et pour les A, " et on constate que A, + = A, -

lno lno lno lno

L'utilisation des résultats (54) dans le système représenté par la deuxième des équa- tions (53) conduit à

I V {A - A * ) ( E ) t p ^ = o L. ono ono ' s'no o oo n=o

L + * L ± x

Y (A- - A ) (y ) - V (A + A+ ) F = o pour m > o L. ono ono ^s nm L. ono ono' nm

n=o n=o

La deuxième des équations (56) donne L

5" (A + A ) F = o n=o

n=o

ono ono nm

(A - A ) (E ) = o ono ono s'nm

pour m > o

La première des équations (57) conduit à A + A = 2 p A

ooo ooo o A + A = o

ono ono pour n > o

(56)

(57)

(58)

Le paramètre A sera évalué plus loin par les conditions limites.

La deuxième des équations (57) prise avec la première des équations (56) amène le résultat suivant :

A - A = 2 P 7 ono ono o on où les 7o n sont reliés aux 7.

, n = o, 1, 2 - - - par la relation 7o n = 3 7l n

(59)

- 13 -

La résolution des équations (58) et (59) conduit à A = p (A± 7 )

000 o 00 '

"ono P«7oon n > o

(60)

Ayant trouvé les expressions pour les A " et les Z l n Q aux deux inconnues P Q et A près, on applique les conditions limites à x = o qui sont :

h , (y,o) = ô pour tout 1 et y On obtient ainsi

(61)

* < - ^ M

n=o

= 0, 1 , 2 -N

(62)

a»

Notons que les A /p ainsi que les Z

lno lno' pont indépendants de p .

lin multipliant (62) par L '(y) et en intégrant sur y on obtient le système

= o pour

l = o, 1,2 N m = o, 1,2 L

(63) On a donc (L + 1) (N + 1) équations en (L + 1) (N + 1) inconnues p et q. . Leur éli- mination conduit à un déterminant nul dont la solution fournit A.

tiques

On peut aisément obtenir les expressions pour le flux total et le courant net asympto- (y.x) = P (A + x ^ ) M (y)

VJ ' Fo * 00 ' w/

a Sy (y»\j> / 2 * o *••"£_x) = £ P M (y) y (7 + 7, ) L^^{1 (1)} wo n ' I n7 n^{(1)^} ; ^; Vt7/(y)⁽ n=o

d'où l'on obtient d'une part la longueur d'extrapolation

(64)

1 = A /P ex ' 00

et d'autre part l'expression de D (y) en mettant J = - D (y) asy

D ( y ) = 1

0 0 ' n = 1

(1)

7l n; n

a s y

(65)

(66) On peut constater que cp est maxwellien tandis que J ne l'est pas.

asy a&y

Dans le cas particulier de Z (y) = constant, on se limite à l'approximation d'ordre zéro pour le spactre.

Notons que pour obtenir 1 il n'est pas nécessaire de connaître $ explicitement, on

peut l'incorporer dans l'inconnue pQ. o o

- 14 -

Ill - L'APPROXIMATION P ^ L J^{I ;} III. 1 L'équation caractéristique

+

L'élimination des A" . dans le système d'équations (20) conduit à un déterminant carac- téristique d'ordre huit, A^o, qui se simplifie très vite en un déterminant d'ordre quatre. On pourrait obtenir directement un déterminant d'ordre quatre en éliminant préalablement les A," . (1 > o) par l'utilisation des rapports A," . / A, , . . Le déterminant a été développé en

lm ^v l n i ' l-l,ni ^rr

polynôme de X par M. LE HO . L'équation caractéristique ainsi obtenue est

X8 - 3

X

+ l

ou

W = S,³ T o 1 o

W2 ^ Sl C RlTo + Sl ( R1 " R 2>

W4 = 2 Rx ( Rx - R2 ) + 56 Sx ( _{- 24}

(68>

avec

• 4

V « i

1 < y

i

c %

R

2 "

<Voo

V O O

«Vol «Vol

' V i l t

Sl "

S2 "

To = t (ï^T)^{o I}

( 6 9 )

" <£s>oo

<Voo

L'équation (67) fournit les valeurs de x. La condition de symétrie pour le problème d'un bloc puisé, ou la condition à l'infini pour le problème de MILNE, ainsi que les condi- tions limites, sont appliquées de la manière exposée dans la section II. Des calculs numéri- ques sont présentés plus loin. Dans la section suivante, on examine analytiquement l'équation (67) par l'étude de son inversion.

III.2 Expression pour la constante de décroissance asymptotique

2 2 Dans le problème de neutrons puisés, une des racines de l'équation (67) est \ = - B 2 2 2

où B est le laplacien du bloc. L'inversion de l'équation donne a - f (-x ) = f (B ), et la résolution de cette dernière équation fournit les racines a dont l'une est la constante de décroissance asymptotique a

On détermine l'expression pour a pour le cas d'une absorption en l/v (r=ûf /v) dey la manière suivante : ^ '

Au lieu de a, on prend la variable n :

(70)

- 15 -

L'inversion de l'équation (67) conduit à l'équation

8 G. i + j = 8 (71)

où les G. (B ) sont des polynômes en B et représentent les sommes des produits des racines prises i à la fois. On prend les formes suivantes pour les racines r\

(72)

On reconstitue les divers G. (B ) à partir des expressions (72), et on les identifie avec les 2 1

G. (B ) de l'équation (71) pour obtenir les expressions pour les paramètres P , Q On obtient les expressions suivantes

Q n = ^ t où on définit

t11³, (3P ^x oo ol 4 oo ' ol 4'² + 3 P^{2 1}- ~^{P + P} 1-7)

o 4P 2 P ,

2 oo . • ol 3P

0

(73)

0 0

11 11

'11

(74)

On peut comparer l'expression pour P ainsi obtenue, avec l'expression exacte définie dans l'équatioa (14) à une constante près, et qui est

o(exact) 3

oo (75)

Cette expression exacte fait intervenir une moyenne du libre parcours, tandis que la théorie développée dans ce rapport fait intervenir des moyennes sur les sections efficaces. Considé- rons deux lois simples de variation de la section efficace de diffusion avec l'énergie :

E^g (y) = constante = ^{S g Q}

S

s W

W

Dans le cas de Z (y) = constante,on obtient P =P en l/v, on obtient

p . 1 i

0 " ^{1 8}' *o

o (exact)

(76)

. Dans le cas d'une variation

(77)

*o (exact) ⁸ ' So

ce qui donne P^o = 0,9903 Po ( e x a c t )

Pour les lois Amples de variation définies dans (76), on obtient une simplification considérable des expressions générales données dans l'équation (73) : pour £ (y) = constante,

on obtient ^s

- 16 -

Q =-P so

2

o 21V 4Z (78)

so

2 3 T

so

_i_

72 M,

tandis que pour Y. (y) variant selon une loi en l / v , on obtient 7

Po = 18E

Q 98

225

M_

(79)

P 2

o " 392 •41VL

où M

est le deuxième moment du transfert d'énergie, qui est lié au paramètre F par la relation M =-2F .

Signalons que l'expression pour Q obtenue par PUROHIT [7] dans l'approximation de diffusion et pour E (y) = constante était Q = - P

/2M .

s o o 2

III. 3 Calculs de la longueur d'extrapolation pour l'eau et pour le graphite

La théorie est développée, dans ce rapport, pour une loi de choc isotrope. On l'étend au cas d'une loi de choc anisotrope par l'expédient de remplacer la section efficace de dif- fusion par celle de transport.

On considère d'abord le cas de l'eau légère, qui permet une comparaison avec les calculs par le «-ode SLOP-1 donnés dans la référence [1]. On prend ensuite le cas du gra- phite.

L'eau légère :

Les calculs faits par GELBARD et DAVIS [1] utilisent le noyau de RADKOWSKI. Les valeurs du coefficient de diffusion et du coefficient de refroidissement obtenues en utilisant ce noyau, ainsi que l'absorption, sont données dans la référence comme suit :

a =vZ = 4876 s

o a

D = 38380 c m V

C = 3614 c m V

La valeur de \

obtenue à partir de la valeur de D est \

= 0,4638 cm. Pour obtenir M , le deuxième moment de transfert d'énergie, on a utilisé d'une part la formule de NELKIN [8]

qui est :

D

=2,004 - 1

et d'autre part l'équation (79) de ce rapport. La formule de NELKIN donne M = 3,7127 c m "¹ tandis que la formule pour Q^Q donnée dans l'équation (79) fournit la valeur M = 4,7806 c m "¹. On admet que la section efficace de diffusion varie en l / v .

- 17 -

Les résultats du calcul de la longueur d'extrapolation l

en utilisant ces deux valeurs de M sont donnés dans la figure 1 qui indique la variation de (d/d ) en fonction du laplacien.

La courbe de GELBARD et DAVIS y est également portée. Le paramètre d est égal à 1 / \ . , le paramètre d étant la valeux- correspondant à laplacien nul. En ce qui concerne la variation relative, l'accord avec les calculs de GELBARD et DAVIS est bon, mais en valeur absolue, la valeur de d

est légèrement plus grande : 0,78 au lieu de 0,76. La valeur 0,76 a été obte- nue par NELKIN [9] par la méthode variationnelle en utilisant un maxwellicn comme fonction d'essai. Sa méthode ne tient pas compte des déviations, près de la frontière, du spectre par rapport au spectre d'équilibre à l'intérieur du modérateur. Néanmoins, on ne peut pas consi- dérer la valeur 0,78 comme nécessairement meilleure, puisqu'elle est la conséquence d'une approximation de premier ordre.

On verra dans la section suivante que le développement en fonctions de LAGUERRE converge très lentement et il faudrait prendre plusieurs termes pour avoir un résultat signi- ficatif.

Le graphite :

Les paramètres adoptés sont ceux obtenus expérimentalement par CUNY et coll. [10]

rapportésà une densité de 1,6 g/cm

. Ces résultats sont

= 73,9 s

= 2,606 cm

Pour la variation de Z avec l'énergie, on a d'une part considéré ce paramètre comme cons- tant et donnant un librl parcours égal à 2,606 cm, d'autre part on a utilisé la courbe calcu- lée ar SINGWI et KOTHARI [11] en utilisant le spectre de vibrations proposé par

KRoMHANSL et BROOKS [12]. Leur courbe a été utilisée sans la normaliser à la valeur expérimentale donnée plus haut.

La valeur de M_ adoptée est celle calculée par WIKNER et coll. [13] qui ont utilisé le spectre de fréquence proposé par YOSHIMORI et KITANO [14] et utilisé par eux pour ex- pliquer les expériences sur la chaleur spécifique du graphite. La valeur de M

est égale à 0,0786 cm" . La variation de (d/d

) avec le laplacien est donné dans la figure 2 . Pour le cas de Z constante, la longueur d'extrapolation augmente légèrement avec le laplacien, tandis qu'en utilisant la loi de SINGWI et KOTHARI, on obtient une variation plus importante mais en sens inverse. Néanmoins, en valeur absolue, les variations restent assez faibles dans le domaine de laplaciens intéressants expérimentalement et peut-être ne seront-elles jamais mises en évidence par des expériences. Des mesures récentes par DAVIS et coll. [15] n'ont pas montré des variations systématiques. Ils proposent une valeur moyenne:

l

= 1,825 t 0,022 cm, qui n'est pas en désaccord avec les calculs de ce rapport.

Il est à noter que la formulation de ce rapport est telle que l'on ne peut pas a priori dire que l

est indépendant de l'absorption. Pour voir l'incidence de l'absorption, des-calculs ont été faits avec vl^ = 77 s '

, mais aucune déviation significative n'a été observée.

IV - CONVERGENCE DU DEVELOPPEMENT EN FONCTIONS DE LAGUERRE ET RECHERCHE D'AUTRES FONCTIONS /

IV. 1 Examen de convergence par l'étude du coefficient de refroidissement

Pour étudier la convergence, on a pris le modérateur graphite avec v2L = 73,9 s

\

= 2,606 cm. Pour simplifier le problème d'évaluation des F

, on a admis que la sec- tion efficace de diffusion ne varie pas avec l'énergie et que le noyau de transfert est donné par

et

- 18 -

Y (y¹ - y) =

* — c

r^s(y') ^M

(y) M (y) dy

(80)

Ce noyau simple se trouve dans le rapport de CORNGOLD et coll. [ 1 6 ] . Il vérifie deux exi- gences essentielles : donner la bonne section efficace totale, et vérifier la condition de bilan détaillé.

L'équation (80) a été utilisée seulement pour évaluer les valeurs relatives des F , ces valeurs étant ensuite normalisées à IVLj = 0,0786 c m "¹. Pour £ (y) constante, la

matrice des F^{n m} est diagonale.

En utilisant les constantes définies, on a cherché la racine imaginaire de l'équation caractéristique en fonction de a dans les approximations P * L ^¹) avec n variable. Ceci nous fournit la courbe de a en fonction de B^ à partir de laquelle on peut obtenir la valeur du coefficient de refroidissement, toute déviation par rapport à une droite étant imputée au

terme CB⁴. Les valeurs de C ainsi obtenues pour diverses valeurs de n et de a sont données sur la figure 3 . On peut en t i r e r les conclusions suivantes :

- pour un ordre d'approximation donné, la valeur de C ne reste pas constante, mais varie pratiquement linéairement en fonction de or. Ceci suggère la forme suivante pour la variation de a en fonction du laplacien.

a - ^{v I}a (81)

où k est un paramètre. L'usage normal est d'incorporer des termes en B et au delà. En mettant k or -w k (v ï^ + ^{DQB 2} ), on obtient :

a D^QB² - CB⁴ + F B⁶ où

C = C + kvo (82)

F = - k D

o

En utilisant cette interprétation pour F , on peut voir que pour le cas traité, F change de signe en fonction de n, étant positif au départ et devenant négatif quand n augmente.

- pour une valeur de a fixe, la valeur de C varie t r è s sensiblement en fonction de n, et même pour n = 7 la stabilité n'est pas atteinte. Ceci démontre clairement que le dévelop- pement en fonctionsde LAGUERRE, tou⁺ au moins dans la variable énergie, converge t r è s lentement. Ce défaut a été signalé auparavant dans la littérature. Par exemple PUROHIT et SJOSTRAND [17] signalent que pour le graphite l'approximation d'ordre un sous-estime le coefficient de refroidissement par un facteur un peu supérieur à 6. Leur formule est

C = 6,36 « ⁺ 2 v Mo

o 2

( E ) OC E °

Pour a = 0, l'expression (83) est pratiquement la même que l'expression fournie par l'approximation P* L (1), le facteur 6,36 mis à part. La lente convergence des fonctions de LAGUERRE nous amène à la recherche d'autres fonctions plus convenables.

Une famille de fonctions orthogonales qui conviennent au problème est proposée ci-dessous.

- 19 -

IV.2 Définition d'un nouveau système de fonctions orthogonales

L'idée de départ pour former ces fonctions est la suivante. On étudie parfois le spec- t r e en faisant l'approximation que le spectre refroidi est un maxwellien correspondant à une température plus basse que celle du modérateur. On peut aller un pas en avant en considé- rant le spectre plutôt comme une somme de maxwelliens dont le terme principal correspond à la température du modérateur. Ceci nous laisse automatiquement un paramètre l i b r e ,

puisque l'on peut choisir la suite de températures auxquelles correspondent les différents max- welliens, le choix optimum pouvant être différent pour différents problèmes.

Une famille de fonctions qui répond à ces besoins est celle obtenue par l'orthogonali- sation de la suite des fonctions linéairement indépendantes suivantes

S > O n = 0, 1, 2

avec la fonction y e * comme fonction de pondération, y variant dans la zone ( 0 , 0 0 ) . En d'autres t e r m e s , si l'on représente par t_ⁿ^^sHy) les fonctions orthonormalisées, on a la relation

3nm ; M (y) = y e^{"y (84)}

Le choix du paramètre s définit le choix de la suite des Maxwelliens.

L'orthonormalisation se fait par le processus de GRAM-SCHMIDT. Soit

( S ) -nsv

n (y) = Zⁿ [ e ^{n s y} -

V

k=o ^Jkn (y) ] ⁽⁸⁵⁾

La condition d'orthogonalité donne

•I

tandis que la condition d'orthonormalité donne

'? r

Oc M

(86)

(87) On obtient par conséquence les équations d'inter-relations suivantes

n

n - 1

k=o (88)

k - 1

j= o

En particulier , on a 1

pon " (ns+l)Z (89)

- 20 -

A partir des équations (88) et (89), on obtient les divers coefficients dans l'ordre suivant :

; (p.. , i = 1,2 — ⁽( j - 1) ; Z. ) , j = 2 , 3

Un spectre cp (y) à étudier se représente en termes des fonctions L

t

N

cp(y) = M (y) [ A ? <^{S )}(^y)

n=o (90)

On peut facilement constater que ce développement représente une somme de maxwel- liens; plus précisément, le coefficient de Aⁿ est une somme de (n + 1) maxwelliens.

Pour l'étude du spectre, on aura besoin des termes (f) définis par nm

( f )nm (91)

où f (y) est une fonction de y représentant une section efficace.

Définissons :

V = f f (y) M (y) e "^{J 8 y}Ç <^S)(y) dy

J o

On peut démontrer que :

V

it

o,(i

j)-l\i

3

k=o

(92)

(93) Avec l'équation (93) on peut construire la matrice [V..] en déterminant l e s éléments

dans l'ordre suivant ^XJ

(V.. , j = o , 1, 2 ) , i = o, 1, 2

En fonction des V ainsi obtenus, on détermine (f) par l'équation suivante

J 1 1 X 1 1

Vo , n-1 m-1 n - l m - 1 (94)

k=o l=o k=ol=o ce qui constitue une formule de récurrence entre les (f)

nm'

II est à signaler que Z^ augmente avec n. Or, d'après l'équation (88), Z² est la réci- proque d'une différence entre deux quantités. Il peut donc arriver que pour des valeurs éle- vées de n, la précision de détermination de Z^Q soit limitée par les erreurs d'arrondi. Mais ceci n'est pas une limitation gênante, puisque l'utilité des fonctions £ <^s)(y) réside précisé- ment dans la possibilité de se contenter d'un nombre réduit de termes.

IV. 3 Comparaison de convergence

Pour comparer les calculs dans l'approximation P * £ (s) avec les calculs dans l'appro- ximation P- L^¹), on prend un modérateur ayant des propriétés qui permettent des évaluations exactes des diverses grandeurs intégrales nécessaires. On prend une "eau modifiée" ayant la même absorption et libre parcours que dans le cas de l'eau traité précédemment, c'est à dire ayant une absorption en l / v correspondant à v ^ = 4876 s"l et une variation de Z (y) en

S

- 21 -

l/v correspondant à X = 0,4638 cm. La modification consiste à admettre que l'échange

*r

d'énergie entre neutrons et modérateur est régi exactement suivant le noyau de transfert donné dans l'équation (80). Pour ce modérateur, on obtient les expressions suivantes :

r> K

s nm) 8 X^t

t r nm (C C - C )

on om nm'

(95) où

nm Vy nm

Le critère utilisé pour choisir la valeur de s est le suivant : on calcule la valeur de + \

' + &

X obtenue dans l'approximation p , " p

t r 1 1 pour diverses valeurs de s . Ce calcul est fait à partir de l'expression pour P donnée dans l'équation (73). La variation de \ en fonction de s est donnée dans la figure 4 . Pour s = 0 , 3 , la valeur est égale à 0,46324 c m , qui est très près de la valeur exacte. De part et d'autre de s = 0 , 3 , la valeur de X diminue. Dans la limite s -* 0, elle est égale à la valeur obtenue dans l'approximation p , L (¹).Bien entendu,

€

*~ ^^S' s e confondent avec les fonctions 5*

n se confondent avec les fonctions )

n qui auraient été obtenues par l'orthogonalisation de la série (1 - sy) , n = 1,2 - - . O r , on peut facilement voir que

en fait est égale à L 1'

' est indépendant de s , et

Pour cette eau modifiée, on a calculé le coefficient de refroidissement en fonction de n dans l e s approximations Pr L⁽ ' et P.f avec s égal à 0 , 2 , 0 , 3 , 0,5 et 1,0. Pour utiliser

n P (s)

le même programme machine, l e s fonctions X, o n t é t é normalisées en compatibilité avec les fonctions de LAGUERRE, c'est à dire qu'on multiplie les & 'précédemment définies parn

\J (n+1). Les calculs ont été faits à une valeur de la constante de décroissance a r b i t r a i r e - ment fixée à 22000 s" , C étant calculé en imputant toute déviation par rapport à la droite v I + ^v ^ au terme C B . Les résultats sont donnés dans la figure 5 ; comme on pouvait s'y attendre, le calcul avec s = 0,3 converge très rapidement.

A titre indicatif, on donne dans la figure 6 les courbes de la variation de 1 avec le laplacien pour cette eau modifiée, dans les approximations P" L, et P" )f ⁽ ' '.

V- CONCLUSIONS

En conclusion^ les constatations suivantes ressortent de l'étude :

- le développement angulaire en doubles harmoniques d'ordre un est suffisant pour donner une t r è s bonne valeur pour le coefficient de refroidissement.

+ (n

- les calculs faits dans l'approximation P " L-^v donnent pour l'eau une variation rela- tive de la longueur d'extrapolation avec le laplacien qui est en bon accord avec les calculs faits par GELBARD et DAVIS en utilisant le code SLOP-1. Pour le graphite, la longueur d'extrapolation varie faiblement dans la gamme de laplaciens qui sont intéressants pour les expériences.

- 22 -

On met en évidence la très lente convergence du développement en fonctions de

LAGUERRE. Les fonctions*^, (y) peuvent être utilisées profitablement pour ce problème, en choisissant convenablement la valeur de s pour accélérer la convergence. Leur utilisation nécessite la connaissance des F . En particulier dans l'approximation p \Js) le paramètre intégral qui correspond à M sera le deuxième moment du transfert de la quantité exp (-sy).

Dans ce rapport, on n'a étudié que les geometries plaques. La longueur d'extrapolation pour d'autres geometries peut varier différemment. En effet GELBARD et DAVIS ont montré que pour l'eau la géométrie influe très sensiblement sur la longueur d'extrapolation obtenue par extrapolation de la fonction spatiale asymptotique; mais que la longueur d'extrapolation linéaire dépend peu de la géométrie. Ce fait peut être utilisé pour étendre les résultats d'une géométrie plaque aux autres geometries.

Remerciements

Je remercie très vivement M.J.G. LE HO qui a bien voulu se charger de la plus grande partie des programmations sur machine IBM-704 et de leur exploitation.

Manuscrit reçu le 20 juillet 1966

- 23 -

ANNEXE

DEFINITIONS DES FONCTIONS UTILISEES 1 - Les polynômes de LEGENDRE

2*11 dx¹

2 - Les fonctions de LAGUERRE (1) X

n n»

d^

x dxⁿ

. . 1 e d . A n-i-i (x) =— . — . T -ⁿ (e x )

v ' n» x dx¹¹

L

3 - Divers

r (z) = I e " V

d t =

J o

T (z+m) = z (z+1) (z+2) où m est un nombre entier positif.

e-^{S t}t^Z-\it

Re z > o Re s > o I n s =o (z+m-1) T (z)

P o u r l e s fonctions de LAGUERRE on a :

1 N/T , 1 , JL x

7

- 2-1 -

B I B L I O G R A P H I E

[ 1 ] GELBARD Eo , DAVIS J .

The behaviour of extrapolation distances in die-away experiments

Nuclear Science and Engineening , 1962, 13, 237-244 Voir aussi GELBARD et coll. , PBCNT f BNL-719, 1962, vol. IV

[ 2 ] WILLIAMS M.M.R.

Space-energy separability in pulsed neutron systems React. Sci. Tech., 1963, 17, 55-66

[ 3] VERTES P .

Some problems concerning the theory of pulsed neutron experiments

Nuclear Science and Engineening, 1963, 16, 363-368 [ 4 ] YVON J.

La diffusion macroscopique des neutrons - Une méthode d'approximation

J. Nucl. Energy, 1957, 4, 305-318 [ 5] ZIERING S . , SCHIFF D.

Y von1 s method for slabs

Nuclear Science and Engineening, 1958, 3, 635-647 [ 6 ] DAITCH P . B . , EBEOGLU D.B.

Transients in pulsed moderators PBCNT, BNL-719, 1962, Vol. IV [ 7] PUROHIT S.N.

Neutron thermalisation and diffusion in pulsed media Nuclear Science and Engineening, 1961, 9, 157-167 [ 8 ] NELKIN M.

The diffusion cooling of neutrons in a finite moderator J . Nucl. Energy, 1958, 8, 48-58

[ 9 ] NELKIN M.

Milne's problem for a velocity-dependent mean free path Nuclear Science and Engineening, 1960, 7/552-553

- 25 -

[ 1 0 ] CUNY G. et coll

Etude du graphite et de l'oxyde de béryllium par la méthode de la source puisée de neutrons

Colloque de Karlsruhe sur la recherche à l'aide de neutrons puisés, 1965, AIEA, 1

[ 11 ] SINGWI K..S. , KOTHARI L.S.

Transport cross-sections of thermal neutrons in solid moderators

P/1638 de la Conférence de Genève, 1958 [ 12 ] KRUMHANSL J. , BROOKS H.

J. Chem. Phys., 1953, 2 1 , 1663 [ 1 3 ] WIKNER N.F. et coll.

Neutron thermalisation in graphite

Nuclear Science and Engineening, 1964, 19, 108-129 [ 14] YOSWMORI A . , KITANO Y.

J. Phys. Soc. Japan, 1956, 11, 352 [ 15] DAVIS S.K. , et coll.

Pulsed-decay and extrapolation-length measurements in graphite

Nuclear Science and Engineening, 1965, 23, 74-81 [ 16 3 CORNGOLD N. , et coll.

The time decay constants in neutron thermalisation (Appendice A) Nuclear Science and Engineening

1963, 15, 13-19

[ 17] PUROHIT S.N. , SJOSTRAND Si.G.

Neutron thermalisation parameters.

Colloque de Karlsruhe sur la recherche à l'aide de neutrons puisés 1965, AIEA, 1

CfK.

OPC

4 . M.U.

•r OIL

t ^o,3629

O, Î6i9

O,76 o;7824 OJ847

cà

Figure 1

Variation de la longueur d'extrapolation avec le laplacien Modérateur : eau légère légè

1,85 J7 x,836O

<<•

Q7-M1

0 Î O 20 30 40 50 70 80 90 100 110

Figure 2

Variation de la longueur d'extrapolation avec le laplacien

Modérateur graphite'.approximation P L* '

Figure 3

Coefficient de refroidissement du graphite Approximation P,L(1)

1 n

•_Val«ur

cy««

~ Vol.«r d» 3 V

Figure 4

Modérateur "Eau modifiée"

Approximation P " t (

)

Ï S O O -

3000 -

20a -

1500i

Sr

2 3 4 S ORDRE D'APPROx'lMATiON n

Figure 5

Valeurs du coefficient de refroidissement en fonction de l'ordre d'approximation

Calculs faits à une constante de décroissance de 22000 s"

- Modérateur "eau modifiée"

<U M.l».

as*

ut'-)

O,S551 0,3575

••.

O.T6SC Q770»

190-

ïfc 0,9 1/3 1,1

Figure 6

Variation de la longueur d'extrapolation avec le laplacien

Modérateur "Eau modifiée"