Propriétés d'invariance des mots sturmiens

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

B

RUNO

P

ARVAIX

Propriétés d’invariance des mots sturmiens

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

9, n

o

_{2 (1997),}

p. 351-369

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1997__9_2_351_0>

© Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés.

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Propriétés

d’invariance

des mots

sturmiens

par BRUNO PARVAIX

RÉSUMÉ. Un mot sturmien est un mot

_{infini, binaire, équilibré}

et

non ultimement

_périodique.

On détermine l’évolution de la _pente

et de

_{l’intercept}

d’un mot _sturmien, sous l’action du monoïde de

Sturm.

À

l’aide des matrices de

_Raney,

on énonce une condition

que doivent satisfaire les pentes des mots laissés fixes par une

substitution non triviale. Puis on _{prouve que} cette condition est

suffisante _pour un ensemble

_particulier

de mots dont

_{l’intercept}

est une

_homographie

de la _pente.

ABSTRACT. An infinite

_binary

word is said to be Sturmian if it is

balanced and not

_ultimately

_periodic.

We _compute the

_slope

and the _intercept of

_f(x)

for any Sturmian word x and any Sturmian

morphism

f.

Using

continued fraction

_expansions

of

_Raney,

we

characterize the

_slopes

of the words which are left invariant under

a non-trivial substitution. Then we _prove that the converse also

holds for a

_particular

class of sturmian words the _intercept of

which is an

_homography

of the

_slope.

1. Préliminaires

On munit

_l’alphabet

,A

=

~0,1 ~

de la loi de

concaténation,

afin de former le monoïde

,~4*

des mots binaires finis. On considère une

catégorie particulière

de mots infinis dits sturmiens,. Les

_premières

traces

de leur existence semblent remonter aux travaux de J.

_Bernoulli,

_~1J,

et aux

développements

de la

_dynamique

_symbolique

de Hedlund et

_Morse,

_[12].

À

un irrationnel a et un réel _p, on associe les mots de

_pente

a et

_{d’ zntercept}

P: 1

Ces suites sont

_sturmiennes,

et

_{réciproquement,}

tout mot sturmien est ainsi

représenté.

Une substitution est une

application

de .A dans

4*, prolongée

aux mots binaires finis et infinis. On dit

_qu’une

substitution est

_sturmienne,

si elle

_{préserve globalement}

l’ensemble des mots sturmiens. L’article

_[15]

décrit les

_morphismes

sturmiens comme les éléments du monoïde de Sturm

01 1

le mor hlsme

S’t, engendré

par le

morphisme

d’inversion

E : 1

0 ,

₀ 1

morphisme

d . 01-+Ol

, ... 0 r-t 10

0

de Fibonacci _{p :} :

1 r-t O1 et

son

_{image miroir §3}

:

1 r-t O. On

e g q e

pose G =

cpE,

D = _et ainsi St =

{E, G, D}*.

Un

_morphisme

_est

dit

_faiblement

sturmiens s’il

_préserve

un mot sturmien. Cette définition est

introduite _par J. Berstel et P.

_Séébold,

voir

_[2].

Ils montrent notamment que tout

_morphisme

faiblement sturmien se

_décompose

sur le monoïde de

Sturm.

2. Résultats

2.1. Caractérisation des

_pentes.

Les notions de

_pentes

et

_{d’intercepts}

sont définies à un entier

près,

ce

_qui

_permet

de _{supposer que} a

_désigne

un irrationnel de l’intervalle

~0,1 (,

et _p un réel de

[0, 1[

ou

]0,1]

selon les cas. On établira l’action des

_{générateurs}

du monoïde de Sturm sur les mots

sturmiens.

PROPOSITION 1. E

_(o,1(

on a

E(sa,p)

= =

En référence à l’article

_[6],

on introduit une classe

_{particulière}

de nombres

algébriques :

DÉFINITION

1. Les nombres de St2crm sont les irrationnels À

_pouvant

être écrits sous l’une des

formes

suivantes,

où n

_désigne

un entier

_supérieure

à deux :

À

l’aide des

_{développements}

matriciels de G. N.

_Raney,

voir

_[13],

on

prouvera un des résultats

principaux

de cet article :

THÉORÈME

1. Si une substitution non triviale laisse

_fixe

un mot sturmien de

_pente

a alors a est un nombre de Sturm.

Remarque.

Dans

_[5],

Tom C. Brown démontre par une étude combinatoire

qu’il

n’existe _pas de substitution sur

{o,1 },

non

_triviale,

laissant le mot

sturmien de

_pente

et

_{d’intercept}

_{[0,5, l}

_]

invariant. Ce résultat

_apparaît

comme un cas

_particulier

du théorème 1.

2.2.

_Propriétés

d’invariance. On vérifiera _que la condition énoncée est

suffisante pour certaines

catégories

de mots

sturmiens,

notamment les suites

caractéristiques

et les mots de Christoffel.

DÉFINITION

2. Soient X et Y des substitutions. Soit s

_(r.1,

une suite d’entiers avec

_{m &#x3E;_}

1. On

définit

_par récurrence

Y)

à l’aide des relations :

_{(X, Y) =}

@

f.(2i)

(X, Y) =

YK2iEfx(2i-1)

(X, y)

pour 1 i et

_{f ~Zz+1) (X, Y) -}

_{pour 1 ~ i} ~

On _pose

_{(X, Y)}

=

(XI

Y) .

COROLLAIRE 1. Soit cx un nombre de Sturm.

Si a =

[0,

kn

_-i-

1,

1~~,_ 1, ...

,1~2,

kl

₊

kn

],

_{avec E}

N2 B {(O,O)}

et n &#x3E;

_2,

on _{pose K =}

(k1,...,

Le tableau suivant met en relation des suites sturmiennes avec des

_morphismes

non triviaux les laissant

Remarques.

La

_propriété

concernant les suites

_{caractéristiques}

est due à D.

_Crisp,

W.

_Moran,

A.

_{Pollington et}

P.

_Shiue,

_[6].

Deux autres démonstra-tions de ce résultat sont connues : l’une est formulée _par J. Berstel et

P.

_Séébold,

_[2],

l’autre _par T. Komatsu et A. J. van der

_Poorten,

[11].

Le

corollaire 1 est aussi à mettre en

parallèle

avec l’article

[3],

où une

partie

du

problème

est traitée à

_partir

de la définition extrémale des mots sturmiens.

On étendra le résultat à une classe de mots sturmiens dont

_{l’intercept}

est une

_homographie

de la

_pente.

Désormais n est un entier

supérieur

à deux.

DÉFINITION

3.

Soit

_{c’(~) = {(a,}

_{&#x26;)ez~oû+6~o~a~~}B {(~,o)}.}

Remarque.

Les

_couples

d’entiers relatifs de

_{C’ (n)}

sont exactement les

couples

(a, b)

de

Z2

tels

_{que f}

_appartient

à

_{[0, 1}

_pour

tout irrationnel a de

~0,1 ~.

De

_plus,

le cardinal de

C’ (n)

est

_égal

à

n2

+ 2n.

THÉORÈME

2. Soient a un irrationnel de

~0,1~

et

_{(a, b)un}

_couple

de

_C’(n).

Les mots et

_sâ

A+.l sont des

points

fixes

de substitutions non

n n n

triviales si et seulement si leur

_pente

a est un nombre de Sturm.

3. Preuves

3.1.

Évolution

des

_pentes

et des

_intercepts.

Afin de démontrer la

proposition 1,

plusieurs

lemmes sont nécessaires. Désormais a

_désigne

un

irrationnel de

_]0,1[.

LEMME 1. Pour tout

_{réel p,}

on a

E(s«,P)

= et

Preuve. Soit un

entier n &#x3E;

0. On commence _par observer _que tout réel a vérifie De

_plus,

on a

On en déduit

La _preuve du second

_point

est similaire. D

On

_généralise

la notion de fonction

_indicatrice,

définie _par T. C. Brown dans le cas

homogène,

voir

[5].

DÉFINITION

4. Soient un irrationnel

fl

et un réel 5. Soient

_Np,a

=

{ Lk,Q

₊

1

k _E

~‘* }

et

Np,6

=

f rkfl

₊

611 k

_E

N* }.

On

note et les

_fonctions

indicatrices associées : _pour n E

_INY*,

on _pose

g"

1 si n Ei Ng,s

,

-

NA 6 _3,8

Le lien entre les fonctions indicatrices et les mots sturmiens est illustré

par les lemmes 2 et 3.

LEMME 2.

Preuve. Soit un entier

_{n &#x3E;}

1. Dans un

_premier

_temps,

on _suppose

S/1

-cS

(n)

=1. On a donc

/?’b

Réciproquement,

on _suppose = 1. Il existe donc un entier k &#x3E; 1 tel _que

_Lk,8

+

_JJ

= _n. On _en déduit

LEMME 3.

Soient un irrationnel

{3

&#x3E; 1 et un 1. On a :

Preuve. Soit un entier n &#x3E; 1. Si

S 1 -6 (n)

=

1,

alors on a

-

,

puis

1L» I" r- 1 1

Réciproquement,

on _suppose

_9P,6-1

(n)

= 1. Il existe un entier k &#x3E; 1 tel

que

fk,3+6- 11

= n.

Preuve. On commence _{par remarquer} = 0 =

j_~.(0).

Soient

2-a ~ 2-a

un entier

_{q &#x3E;}

_1,

et _{n,+, la}

_position

du

_(q

+

_l)-ième

zéro dans

_cp(so:,p).

Par

définition de _p, on a

Soit un entier n &#x3E; 1. On a :

--- ---, ,

2-0 ’2-0

LEMME 5. On a

cî

_{= s-a, si}

_p E

_]0,1].

Y--. 1 2 .

Preuve. On commence _{par remarquer} = 0

= s 2=â , (O).

Soient un entier

_{q &#x3E; 1,}

et la

_position

du

_(q

+

_l)-ième

zéro dans Par définition même de ~p, on a

Soit un entier n &#x3E; 1. On a :

Par

_composition

avec le

_morphisme

_{d’inversion,}

on en déduit l’action du

morphisme

G. LEMME 6. O~t

Preuve. Si p e

_~0,1~,

on _remarque

pE(sa,p) =

Comme 1- p E

_{]0, 1],}

_d’après

le lemme

_5,

on a

G(sa p)

=

S-.J!- -1!-.

,

.+l 1 «+l

Si _p E

_]0,1],

on a = Comme 1- _{p E}

[0,1[?

il suffit

d’appliquer

le lemme 4 _pour conclure. D

Pour étudier le dernier

_générateur

du monoïde de

_Sturm,

on introduit

LEMME 7. Orc a =

2-- a-p si

_{p E}

[0,1[

[

et = _{s 1-a 2-0-p}

2-0’ 2-a ’p _2-a’ &#x3E; _2-a

si

Preuve. Restreint aux mots

_infinis,

le

_{morphisme Ç3}

_peut

s’écrire comme la

_composée

du shift et du

_premier

_morphisme

de Fibonacci _p. L’action de _p est décrite aux lemmes 4 et 5. De

_{plus, opérer}

un shift sur une suite sturmienne de

_pente

₍₃

et

_{d’intercept à}

revient

_simplement

à transformer son

_intercept

en

{3

+ ~. D

LEMME 8. On a

Preuve. La démonstration est

_identique

à celle du lemme 6. 0

3.2. Caractérisation des

_pentes.

Afin de démontrer le théorème

_1,

quelques préliminaires

sont nécessaires. On commence _{par remarquer que} les restrictions de s et

_s’,

à l’ensemble des

_couples

formés d’un irrationnel de

~0,1~

et d’un réel de

_{[0, 1[,}

sont des

_applications

_injectives.

Cette

_propriété

classique

est utilisée de

_façon

_implicite

par la suite.

L’étude menée est fondée sur les

_{développements}

de

_Raney,

voir

~13j.

Soit

l’alphabet

_p

R

_{R ’}

L}

_}

constitué des matrices

R = 1 1

et L =

1 0 .

0 1 1 1 *

Soit V l’ensemble des vecteurs de dimension

_(2,1),

dont les

_composantes

sont

_positives,

hormis le vecteur nul. Soit V =

(

)

un vecteur de V. Si

B

e2

la

_{première ligne}

domine la

_seconde,

on écrit V = R

(

6 ),

, sinon

V = . Et on itère cette démarche. Soit

(3

un irrationnel

B

E2 -

el

positif,

dont la suite des

_{quotients partiels}

est de terme

_général

_bn,

_pour

n &#x3E; . Il

_apparaît

_que le

développement

du vecteur

_V,

=

(

1

₎

est

_égal

7&#x3E;

0. Il

_apparaît

que le

développement

du vecteur

_V.8

=

(

1

est

_égal

à

R6° Lbi

... Soit J =

0 1

la matrice d’inversion. Pour tout

10

entier relatif

_1k,

on vérifie les relations :

JLk

= Rk J

et

JRk

=

Lk J.

Preuve du théorèmes 1. Soit a =

[0,

_{al, a2, ...}

].

Soit

f

_une substitution _non

triviale

qui

laisse fixe un mot de

_pente

a. On sait alors _que

f

se

décompose

sur

l’alphabet

JE,

G,

D}.

On note r la

fonction,

à valeurs dans

]0, 1[,

qui

à un mot sturmien associe sa

_pente.

Soit x un mot sturmien.

_D’après

la

On _remarque

Autrement

_dit,

on

_peut

associer à

f

une matrice M

_qui

se

décompose

sur

l’alphabet

et

_qui

traduit l’action de

_f

sur les

_pentes

des mots.

Plus

_{précisément,}

on écrit

On

sépare

la _preuve en

plusieurs

cas selon la

parité

de m. Dans un

_premier

temps,

on _{suppose que} m est

impair.

Le cas m = 1 _est sans intérêt. Si m = 3 on a alors lVl = Pour _que la

_pente

reste

fixe,

on doit vérifier la relation suivante sur le RL-mot associé à a :

Par unicité d’une telle

_{décomposition,}

on

_procède

_par une identification

terme à terme. Si al +

kl -1

est

_nul,

alors on a _a2 = _{a2 +}

k2,

ce

_qui

est

faux _par définition même de

_k2.

Le

_{développement}

obtenu n’est donc pas

formel,

et on a a =

[0, &#x26;3

₊

1,

~2 ~ ~1

₊

~3 ~ ~

On suppose désormais m &#x3E; 5. On

peut

alors

_procéder

à des

regroupe-ments comme

_{indiqués :}

On doit montrer

Deux cas se

_présentent.

On vérifiée i

la condition

_l~l

+

_{ai - 1 #}

0 se traduisant _par

_kl

+ km =1=

0.

Désormais,

on _{suppose que} m est

_pair.

Si m =

2,

on vérifie les relations

l’hypothèse

étant

_ki

+

_{k2 =1=}

0. ce

_qui

est absurde. On

FIGURE 1.

Évolution

des suites _sg,o,

de

_pente

irrationnelle

_fl

~

suppose désormais m ~ 4. On regroupe les termes comme

précédemment,

en mettant à

_part

le

_dernier,

c’est à dire

LJL’i-1.

Plus

_{précisément,}

on écrit :

On en déduit

Si

_I~1

+ al - 1

~

0,

on obtient a =

[0,

km

₊

_1,

km-l’...’ ,~2,

l~l + km

],

la

condition devenant

_ki

+

km

#

0. Si

_k,

+ al - 1 =

0,

on a alors _{al -}

_1,

ki

=

0,

puis

+

1,

donc

km = 0,

et a2 =

... , am-2 =

~3 ~

= _am = _{a3 .} Autrement

dit,

_on vérifie

que a est de la forme

a =

[0,

1 ~

&#x3E;

km-2’...’ k3,

k2

+

].

En

_résumé,

on

_peut

affirmer

qu’il

existe deux

développements

en fraction continue

_possibles

_pour a :

On obtient le résultat

_annoncé,

à une

simple

renumérotation

près

_pour le second cas. 0

On construit les

_graphes

_présentés

_page

_359,

à l’aide des formules décrites à la

_proposition

1.

Preuve du corollaire 1.

continue est de la forme :

On _{pose K} =

(kl, ... , kn).

Dans _un

premier

_temps,

on _{suppose que n} est

impair.

On a alors

En

_reprenant

le

_procédé

utilisé _pour la démonstration du théorème

_1,

on vérifie _que transforme en un mot sturmien de même

pente.

Sur le

_{graphe G1,}

on _{remarque que} le chemin associé à

Fx (G, D)

effectue une boucle sur l’état

_regroupant

les suites sturmiennes

_{d’intercept}

_nul,

issues de

l’application

s. En

résumé,

le

_morphisme

laisse fixe le mot _s,,,o

Par

_symétrie

du rôle de G et D dans le

_{graphe ~1,}

on a

cï 0*

Comme G et D ont la même action sur les

_pentes

des mots

_sturmiens,

par l’étude du

graphe 92,

un raisonnement

identique

_permet

d’affirmer

=

s«,i-« et

cf =

De

façon

encore

plus

évidente,

par lecture sur le

graphe ~3,

on a

Fn,(G,

G)(sa,a)

=

sa,a. On _{suppose que} n est

_pair.

On écrit alors

_Y)

sous la forme :

En ce

_qui

concerne les mots de

_Christoffel,

on a -

s«,o

et _{s«,o. On vérifie aussi}

_s«,1-«

et

·

Enfin,

pour les suites

caractéristiques,

on a

G) (sa,a)

=

s«,«, ce

_qui

achève l’étude du

_premier

cas.

On _suppose maintenant que a a _pour

développement

en fraction con-tinue :

Sous l’action du

_morphisme

_E,

la

_{pente a}

est transformée en 1- _a,

qui

est

un irrationnel de la

_première

forme étudiée. La fin de la _preuve est donc triviale. 0

3.3. Suites admissibles. Désormais n

_désigne

un entier

supérieur

à deux.

DÉFINITION

5. Soit

On note

_£(a,

_b,

_n)

l’ensemble des suites sturmiennes x _pour

lesquelles

il existe un irrationnel a de

]0, I[

tel _que x = avec

(a, b)

E

_{G(n) .}

Soit

£(n)

=

U

£(a,

b,

n).

Les mots de

_£(n)

sont dits n-admissibles.

FIGURE 2.

_{Graphe ((2)}

Soit A l’ensemble des

couples

formés d’un irrationnel

_appartenant

_à]0,1[

_[

et d’un réel de

_[0,1[.

Soit LI

_{= {(,8,c5)}

E A

₁

d c E N

_c,8

_lN}.

Soit

((3,8)

un élément de A. On

_rappelle

_que les mots et ne coïncident

que si

appartient

à

Ll,

et diffèrent d’au

_plus

deux termes dans le cas

général.

Remarque.

Soit a un irrationnel de

]0, 1[.

Pour tout

_couple

d’entiers

_{(a, b)}

de

_{C (n),}

on a

(a, n

+ la)

E Ll.

Dans un

premier

_temps,

on reformule le théorème

_2,

en limitant notre

propos aux mots _que l’on vient de décrire.

THÉORÈME

3. Les suites sturmiennes n-admissibles sont des

_{points fixes}

de substitutions non triviales si et seulement si leur

_pente

est un nombre de Sturm.

Afin d’établir la preuve, certains

préliminaires

sont nécessaires.

À

l’entier

n, on associe un

_graphe,

noté

«n),

dont les états sont les ensembles

_,C(a,

_b,

_n)

pour

(a, b)

appartenant

à

C(n).

Les lemmes 9 à 12 décrivent le

système

de

transitions,

sur

_l’alphabet

~E, G, D},

entre ces

n2 -1

différents états. On

présente

les

_graphes

₍₍₂₎

et

_«3)

en

exemple.

LEMME 9. Soit

_{(a, b)}

un élément de

C(n).

Un et un seul des

morphismes

G et D

_transformée

_{,C (a, b, n)}

en un sous ensembles d’un état

de ~ (n) .

Preuve. Soit a un irrationnel de

]0, 1[.

On considère la suite

Sous

_{l’hypothèse}

_{(a, b)}

E

_C(n),

on _remarque 0 a + ba _n, ce

qui

_permet

d’appliquer

G(sa =+ 6 a)

= 5_s_ _{,~ 6-a a} = s a

n n n + n 0+1 ’ n n _{=+ 1 ;r +} n «+l i

Par abus de

_langage,

on dit _que G et D conservent la

_partie

rationnelle de

l’intercept

des suites sturmiennes n-admissibles. Il est très facile de

mon-trer

_{qu’on a}

_{(a, b - a)}

e

_C(n)

si b &#x3E; 1 et

_{(a, b - a + n)}

E

_C(n)

si b 0. Pour

conclure,

supposons

qu’on

ait simultanément

_{(a, b - a)}

et

_{(a, b - a + n)}

dans

C(n).

Alors _pour tout irrationnel

₃

de

_{]0, 1[,}

on a a +

_{(b -}

a + n et a +

_{(b - a),Q}

&#x3E; 0. En faisant tendre

_fl

vers

_1-,

on obtient b =

_0,

_puis

LEMME 10. Soit

_{(a, b)}

E

_C(n).

n existe un chemin de

longueur

_majorée

par n, écrit sur

l’alphabet

~G, D},

dans le

_graphe

_«n),

dont

_l’origine

et

l’extrémité coincident avec

~C(a,

b,

n).

Preuve. On

_part

de l’état

_{£(a, b, n).}

_D’après

le lemme

_9,

on

_peut

construire

pas à pas un chemin à travers les états De

_{plus, d’après}

la définition de

_{C (n),}

il existe au

plus n

suites sturmiennes n-admissibles dont la

_partie

rationnelle de

_{l’intercept}

_{est A :}

exactement n - 1 si a est

_nul,

et n dans le cas contraire. Comme G et D conservent ce

_terme,

on réalise une boucle dans

_~(n),

au bout d’au

_{plus n étapes.}

_On montre _que le

_premier

état

apparaissant

à deux

_reprises

dans un tel chemin est

_£(a,

_b,

_n).

_Supposons

le

_contraire,

il existe alors des entiers _cl, c2 et c3 tels que

(a, cl ), (a, c2 )

et

(a, c3)

soient des éléments de

_C(n),

et vérifient le schéma suivant :

On en déduit

_{(a, cl - a) = (a, c2) _ (a, C3 -}

a +

_n),

d’où ci =

c3 + n.

Il apparaît

que les

couples

(a, c3 )

et

(a,

c3 +

_n)

_{appartiennent}

à

_{C (n) .}

En

particulier,

on a a +

_{c3 &#x3E;}

1 et a + c3 + n n, ce

_qui

est absurde. On a donc construit un

_chemin,

de

_longueur

_majorée

_{par n,}

_qui

boucle sur l’état

jC(o,6,~).

0

Remarque.

En utilisant les transitions sur

l’alphabet

{G, D},

on

_peut

ainsi

regrouper les états de

~(n)

en différents

_cycles

deux à deux

_disjoints.

En

effet,

un état commun serait un état d’où

partiraient

deux transitions sur

{G,D},

ce

_qui

est absurde.

LEMME 11. Le

_morphisme

d’inversion E laisse

_f-(n)

_globalement

invariant. Preuve. Soit

_{(a, b)}

E

_C(n).

_Clairement,

on a

(n -

a -

b, b)

E

_C(n).

On

remarque aussitôt que E transforme l’état

£(a,

b,

n)

en

£(n -

a -

b, b,

n).

o

LEMME 12. Entre deux

_cycles

de exzste au

plus

une liaison assurée

par E.

Preuve. Soient deux

_couples

d’entiers

_{(a, b)}

et

_{(a‘, b’)}

de

_C(n),

tels _que les états

_{,C(a, b, n)}

et

_{~C(a’, b’, n)}

_{appartiennent}

à un même

_cycle.

On a

_déjà

remarqué

qu’alors

a est

_égal

à a’. Le

_{morphisme E}

transforme

_,~(a,

_b,

_n)

en

,C(n -

a -

b, b,

n)

et

_£(a,

_b’,

_n)

en

,C(n -

a -

b’, b’,

n).

Pour _que ces deux états soient des

_composantes

d’un même

_cycle,

il faut _{que n -} a - b’ soit

égal

à n - a -

b,

autrement dit b =

b’,

_ce

_qui

achève la

preuve. D

Remarque.

En

_particulier,

il existe au

_plus

un état _par

cycle

_qui

reste fixe sous l’action du

_morphisme

E.

FIGURE 3.

_{Graphe «3)}

DÉFINITION

6. On pose

S~(1) _ {(?,D}*~

et à l’entier n,

on associe l’ensem-ble de

_{morphismes :}

1

et

_{~G, D}+,}

_{2 i n -1, }.}

En

_rappelant

_que les

_morphismes

G et D

_commutent,

on introduit une nouvelle définition :

DÉFINITION

7. Soient ₁ et

_-y’

des

_morphismes

_appartenant

à

S~(1~),

donnés sous la

_forme,

=

EJ1

et

-y’

=

bkE~~_1... Ed’

On dit _que, et

_V

sont

_{0,- équivalents}

si pour tout entier i

_compris

entre

1 et

_{k, il}

_y a

_égalité

entre les

_longueurs

des

_morphismes

_âi

et

_b~,

écrits sur

l’alphabet

~G, D}.

DÉFINITION

8. On numérote l2néairement les

_différents

états de

_((n).

Soit un entier i

_compris

entre 1 et

n2 -1.

On note

_X(i)

l’ensemble des

mor-phismes

appartenant

à

_U

_o’(k),

_pouvant

être lus sur le

graphe

«n),

à

kEN-partir

du i-ième sommet.

LEMME 13. Deux

_{morphismes n-équivalents}

ont la même action sur les

pentes

des suites sturmiennes.

Preuve. Il suffit de

_rappeler

_que l’action des

_morphismes

G et

_D,

sur les

pentes,

se traduit à l’aide de la matrice L de

_Raney.

_p

LEMME 14. Soit i un entier

_compris

entre 1 et

n2 -1.

Dans

_chaque

classe de

_{morphismes O-équivalents,}

il existe un et un seul

représentant

qui

ap-partient

à

_X(i).

Preuve. On utilise le lemme 9

_qui

assure l’existence et l’unicité d’une

tran-sition sur

_l’alphabet

_{{G, D}}

à

_partir

d’un sommet

_donné,

ainsi _que le lemme

Preuve du théorème 3. On commence _par fixer

_quelques

notations : T

désigne

la fonction de transition associée au

_graphe

«n).

On numérote les différents états de

_«n)

sous la forme

E2,

_pour i variant de 1

à r~2 -1.

Soit un entier m &#x3E; 2.

À

tout élément v de

_Q(m),

on associe la suite des

_{représentants vi}

de v dans les

_catégories

_X(i),

_{pour i}

variant de 1 à

n2 -1.

On affirme que pour tout

couple

d’entiers

(i, j )

choisis entre 1 et

n2 - l,

si alors il n’existe pas d’entier

d,

compris

entre 1 et

n2 -1,

différent de

_i,

tel que

T (Ed, vd)

=

Ej.

On va établir ce résultat _par récurrence.

_{Soit T}

un élément de

S~(2),

écrit sous la forme _q = On

note Tc = _son

représentant

dans la c-ième classe

X (c),

_{pour tout}

entier c de l’ensemble

{ 1, ... , n2 -1 ~.

On est amené à considérer le schéma

suivant,

où j désigne

un entier

compris

entre 1 et

_{n2 -1,}

le but étant de

montrer _que les entiers

_di

et

_{d2, pris}

entre 1 et

n2 -

_1,

sont

_{égaux :}

Dans

_{chaque cycle r,}

de

_longueur

_1,

on choisit arbitrairement un état de

départ

ri, puis

on numérote les autres éléments de r sous la forme

_ri,

_pour

i variant de 2 à

_l,

selon leur ordre

_{d’apparition}

dans le

_cycle.

En notant

_lol

la

_longueur

d’un

_morphisme

Q écrit sur

_l’alphabet

{G, D},

_plusieurs

cas se

présentent :

e on commence _{par supposer que} les trois états

_{appartiennent}

au même

_cycle

r de

_longueur

l. Par la convention

_choisie,

il existe des entiers s et t de

(1 , ... , 1)

tels _que

Cd,

=

rs

et =

rt.

Supposons

qu’il

n’existe _pas d’état de r laissé invariant _par le

_morphisme

E. Alors sous l’action de tout

morphisme

O-équivalent

à _q, on

_quitte

ce

_cycle,

ce

_qui

est contraire à

_{l’hypothèse}

de base. En se référant au lemme

12,

il existe donc un et un seul état de

r, qu’on

note

ru,

pour un certain entier u

compris

entre 1 et

_{l, qui}

reste invariant sous l’action du

_morphisme

E. On a ainsi

Puis,

on a

(u - s)

(mod

l)

et

_{(u -}

_{t) (mod 1).}

Par définition même de s et

_t,

on a alors s =

_t,

et par suite

dl

=

d2;

. on _{suppose que}

Edl

et

Ej

appartiennent

au même

_cycle

IF(l),

et

_ed2

à un

_{cycle différent,}

noté

r(2).

Soient et

1~2~

les

_longueurs

res-pectives

de ces deux

_cycles.

Il existe donc des entiers s et t de

l’ensemble

_{( 1 , ... ,}

_{1~&#x3E; ),}

tels _que

_Edl

=

r(l)

_et

E~

=

F?.

Il existe de

plus

un et un seul état de

r~l~,

noté

_qui

reste invariant sous l’action de E. . On a donc

T(r(l)

= r,

_E)

= _et

s 1 1 u u u

IJ21

==

(t - u)

(mod

l1l).

En

_outre,

il existe un entier

_{v, 1 v _}

tel _que

_ril).

On a

1~21 == t

-

u - v et

r(l)

=

T (~d2, Sid2~)

_e

r(2)

ce

_qui

est

absurde car les deux

cycles

sont

_disjoints;

. le cas où seuls

Ed2

et

_ej

_{appartiennent}

au même

cycle

se traite de

façon similaire;

. on _{suppose à}

_{présent qu’il}

existe deux

_cycles

_distincts,

de

longueurs

et

l(2),

notés et

r(2),

tels que

edl

et

_ed2

_{appartiennent}

à

r(l)

et

_£j

à

r(2).

Il existe des entiers s et u de l’ensemble

(1, ... ,

tels _que

_Edl

= et

ed2

=

r~l~.

D’après

le lemme

12,

il existe un entier v, 1

v ltl~,

tel que = =

ri1).

On

vérifie ainsi

_{1~11 == (v - s) (mod}

_1~»,

=

_{(v - u)}

_(mod

1(1»),

_puis

u = s et

_di

=

~2;

. le dernier cas revient à _{supposer que} les états

ed2

et

_ej

ap-partiennent

à des

_{cycles différents,}

_{respectivement}

notés

_r(l),

r(2)

et

_r(3),

de

_longueurs

_1~&#x3E;,

1~2~

et

1(3).

Plus

_{précisément,}

il existe des entiers s, u et t vérifiant

1 _ s _

1(1),

1 _ u

l(2)

et

1 ::;

t

1~3~,

tels _que

_Edl

=

r~l),

Ed2

=

r~2)

_et

t’j

=

r~3).

On établit

l’existence d’entiers v _{et w,}

_compris

entre 1 et

_1(3),

tels _que l’on ait

T(r(l) EJ(dl»)

=

r(3)

et =

r(3)

De

Id

1

=

(t - v)

(mod

1(3»)

et -

_(t

-

w)

(mod 1(3»),

on déduit v =

w,

puis

=

T(r~2~, bla2~ )

_E

r(l)

n r(2)

_ce

_qui

_est

absurde,

car ces deux

cycles

sont

_disjoints.

Dans tous les _cas, on a bien démontré le résultat énoncé _pour les

mor-phismes

appartenant

à

_H(2).

On _suppose

_{l’hypothèse}

de récurrence vérifiée

pour les

morphismes

de

n(m),

où m

_désigne

un entier

supérieur

à deux. On cherche à établir la

_propriété

au _rang m + 1.

_Soit,

un élément de

H(m

+

_1),

écrit sous la

_{forme 1 =}

avec 8 E

_n(m).

On note Tc = le

représentant de 1

dans la c-ième classe

X(c),

_pour tout

entier c de On considère le schéma

suivant,

où

ci, c2,

dl,

d2

et j

sont

compris

entre 1 et

n2 -1 :

r,.. v r,._ v

Comme le

_morphisme

ài§iiE

_appartient

à

_n(2),

_d’après

l’étude

précé-dente,

on a

_{dl = d2. Puis,}

en utilisant

l’hypothèse

de récurrence au _rang m

pour

() CI

et

() C2’

on conclut _ci =

c2, ce

_qui

établit le résultat au _{rang m +}

_1,

et achève cette

_partie

de la _preuve.

Soit a =

[0,

kn,

₊

_1,

~r~’-2, · · · , k2, k,

₊

_kn,

]

_un nombre de Sturm 2 et E

1‘~

_B{(O,O)}.

En utilisant les matrices de

_Raney,

il

_apparaît

_que tout élément ₁ de

_O(n’),

de la forme

_Eôl,

avec

Ji

e

_{~G, .~~k~}

_pour 1 ï

_n’,

transforme un mot sturmien de

_pente

a en un autre de même

_pente.

FIGURE 4. Extension du

_graphe

_~(n)

Soit

_{(a, b)}

un élément de

C(n).

_Clairement,

il existe une famille d’entiers

compris

entre 1 et

n2 -

_1,

que l’on note

(di)iEN,

définie par

Edo

=

~C(a,

b,

n)

et = _{pour i} E N. On affirme

qu’il

existe _un

entier j &#x3E;

1 tel

que dj

= do.

En

_effet,

un chemin

fermé,

sur un état

_quelconque,

se construit de cette

_façon

en au

plus

n2 -1

étapes, puisqu’il

est

_impossible

d’accéder à un état donné de

~(n)

_par deux

_morphismes

_{Q-équivalents}

_partant

de deux états distincts. En

_résumé,

on obtient un

morphisme

_qui

transforme la suite en un mot sturmien

_appartenant

encore à l’état

f- (a,

_b,

n).

Mais ce

morphisme préserve

aussi la

_pente

de Autrement

dit,

à

,n n

tout

_couple

_{(a, b)}

de

_C(n),

on

_peut

associer un

morphisme

sturmien non trivial

_qui

laisse fixe la suite _{sa, n + ~ a.} Ce résultat est en

_particulier

vérifié

pour les mots de l’état

_{£(n -}

a -

b, b,

n).

D’après

le théorème

_1,

on doit encore étudier le cas où a est un irrationnel de la forme :

pour un certain entier n’ &#x3E;

_2,

avec

_k¡

E fi1* . On _{remarque que} le

_morphisme

d’inversion E transforme en Ce mot

_appartient

à l’état

_{£( n -}

a -

b, b,

n).

Or

1- a

est de la

forme précédemment

étudiée. Il existe donc un

morphisme sturmien 1

non trivial tel _que

0

" "

’n n

Il ne reste

_{plus qu’ à}

établir la démonstration _pour les

_couples

d’entiers relatifs de

_C’(n)

_qui

_{n’appartiennent}

_pas à

_C(n).

Dans un

_premier

_temps,

on ne considère _que les suites issues de

_{l’application}

s. Les mots associés aux

_couples

(o, 0), (0, n)

et

_{(n, -n)}

sont étudiés au corollaire 1. Soit un entier k

_compris

entre 1 et n -1. Soit a un irrationnel

quelconque

de

_{]0, 1[.}

Les

_suites,

de

_pente

_a, associées aux

_couples

(k, -k)

et

(n, -k)

sont

_égales

On construit le

_graphe

_présenté

page

366,

dont la

"partie

droite" est une

_composante

En

effet,

il

est facile de vérifier que les

couples

( k, 0 ) , ( l~, n -1~ ) , (0, n - k)

et

appartiennent

à

_C(n).

Il sufht alors de remarquer la

symétrie

du

graphe

pour affirmer que les rôles des suites et d’une

part,

puis

d’autre

_part,

commutent.

’ " " , Ql , n CY

A

_présent,

on considère les mots sturmiens issus de

l’application

s’. Les seuls

_couples

_(a,

_b)

de

_C’(n)

_pour

_lesquels

on a

(a, 1

+ sont

_{(o, 0)}

et

_{(n, -n).}

Les suites et sont traitées au corollaire 1. Dans tous

les autres _cas, le résultat devient trivial. 0

4.

_{Quelques propriétés}

du

_{graphe ~ (n)}

On cherche à

_préciser

la structure du

_{graphe ~ (n) .}

LEMME 15. Soit a un entier

compris

entre 0 et n - 1. Soit b un entier

tel _que

_{(a, b)}

E

_C(n).

Il existe un chemin de

_longueur

n

, écrit

pgcd(a, n)

sur

l’alphabet

~G, D~,

dans le

graphe

«n),

dont

l’origine

et l’extrémité coïncident avec l’état

£(a,

b,

n).

Les états rencontrés sont deux à deux

dis-tincts. On

_parle

alors de

_cycle

minimal.

Preuve. On sait construire sur

,C(a,

b,

n)

un

cycle

_ra,b,n

de

longueur majorée

par n. Les entiers u et v

désignent

respectivement

le nombre d’occurrences des lettres G et D dans ce

_cycle.

On _{pose 1 =} GuDv. Ce

_morphisme

transforme l’état

_{£C(a, b, n)}

en

~C(a, b -

(u

+

_v)a

+

_{nv, n).}

Par

_invariance,

on vérifie

(u

+

_{v) a}

= nv. On _pose d =

pgcd (a, n) .

Soient _{a, et ni} les

entiers définis par

_{a, = a}

et nl -

_n

On remarque alors

(u

+

_{v)al =}

nlv et al divise v. On choisit le

_cycle

_ra,b,n

de

_longueur

minimale. On _pose

11 = Gni-ai Da,. Ce

morphisme

transforme

£( a, b, n)

_en

,C(a, b, n),

car Comme le

_rapport

est

_égal

à

_31,

il existe un

_morphisme

ni-ai U

0-équivalent

à _-y,,

_auquel

on

_peut

associer un

cycle

sur le

graphe (n) .

La fraction

_nialai

étant

_{irréductible,}

on a

_{même -y,}

= _y, d’où v = _{ai, et}

ni -ai 1 1

u = _{nl - al.} Finalement la

longueur

du

_cycle

_ra,b,n

est

_égale

à ni. Le

cycle

ha,6,n

étant choisi

_minimal,

les états rencontrés sont bien deux à deux distincts. 0

PROPOSITION 2. En notant O la

_{fonction d’Euler,}

le

_graphe

_«n)

se

décom-pose en n - 1

_cycles

de

_longueur

1 et d x

_cycles

de

_longueur

_n,

_pour

Preuve. Soit

_{(a, b)}

un

_couple

de

C(n).

Soit

_ra,b,n

le

_cycle

minimal fondé sur l’état

_{,C (a,}

_b,

_{n) .}

_D’après

le lemme

_précédent,

la

_longueur

de vaut 1 si

et seulement si a est nul. Le nombre de

_cycles

de

_longueur

1 est donc

_égal

au nombre de

_couples

admissibles dont la

_première

_composante

est

_nulle,

soit n - 1. On _{suppose désormais} que a

appartient

à{l,...,?~2013

1}.

Il existe exactement n

_couples

de

_C(n)

dont la

_première

_composante

_{est a,} donc

_{pgcd(a, n)}

_cycles

distincts. Soit d un diviseur de _n,

d ~

n. On

_compte

finalement

_2:

_pgcd(i,

_n)

_cycles

de

_longueur

_d,

c’est à dire

pgcd(i,n)=d

d x

2:

_1,

_{d’où le résultat énoncé} avec la fonction d’Euler.

pgcd(i,n)=d

Pour vérifier

_qu’on

obtient bien ainsi les

n2 -

1 états

_qui

_{composent ((n),}

il suffit de remarquer

Remarque.

On observe enfin _que la

_primalité

de n est une condition nécessaire et suffisante _pour assurer la connexité du

_graphe

~(n).

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_Shallit,

Characteristic words as

fixed

_points

of homomorphisms, University

of

_{Waterloo, Department}

of

_Computer

Science CS-91-72

_(1991).

Bruno PARVAIX

Faculté des Sciences

Mathématiques

123,

av. A. Thomas

87060

_Limoges

Cedex