PCSI Physique
Fiche Méca5 : Théorème du moment cinétique
1 Moment d’une force
Lemoment par rapport au point Ade la force−→
F appliquée au pointMest le vecteur :
−→ MA(−→
F) =−−→
AM∧−→ F Lemoment par rapport à l’axe∆ = (A,−→u)de la force−→
F appliquée au pointMest le scalaire :
M∆(−→ F) =−→
MA(−→ F)• −→u
(EF)
Pour calculerM∆(−→ F): – calcul vectoriel ; – –|M∆|=k−→
Fk.doùdest la distance entre la droite d’action de−→
F et l’axe∆.
–M∆>0si l’action de−→
F induit une rotation dans le sens positif autour de l’axe∆.
–M∆<0si l’action de−→
F induit une rotation dans le sens négatif autour de l’axe∆. (F) La distanceddans l’expression de|M∆(−→
F)|justifie lanotion de bras de levier.
Cas particuliers :
−→ MA(−→
F passantparA) =−→
0 M∆(−→
F //∆) = 0 M∆(−→
F coupant∆) = 0
2 Moment cinétique d’un point matériel
Eléments cinétiques d’un point matériel : quantité de mouvement−→p(M)ℜ, énergie cinétiqueEC(M)ℜ
etmoment cinétique−→ LA(M)ℜ.
Lemoment cinétique par rapport au point Adu point matérielMen mouvement dans le référentiel ℜest le vecteur :
−
→LA(M)ℜ=−−→
AM∧m−→v(M)ℜ
Lemoment cinétique par rapport à l’axe∆ = (A,−→u)du point matérielMen mouvement dans le référentielℜest le scalaire :
L∆(M)ℜ=−→LA(M)ℜ• −→u
(EF)
3 Théorème du moment cinétique pour un point matériel
Théorème du moment cinétique par rapport au point A fixe dansℜgaliléen :
SiA est unpoint fixedans leréférentielℜ galiléenoù le point matérielM est soumis à la résultante des forces−→
F :
d−→ LA(M)ℜ
dt =−M→A(−→F)
Théorème du moment cinétique par rapport à l’axe∆ = (A,−→u)fixe dansℜgaliléen : Si∆ = (A,−→u)est unaxe fixedans leréférentielℜgaliléenoù le point matérielMest soumis à la résultante des forces−→F :
dL∆(M)ℜ
dt =M∆(−→F)
(DEF)
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PCSI Physique
– quantité de mouvement :−→p(M)ℜ−→principe fondamental de la dynamique ; – énergie cinétique :EC(M)ℜ−→théorème de l’énergie cinétique ;
– moment cinétique :−→
LA(M)ℜ−→théorème du moment cinétique.
4 Applications
4.1 Conservation du moment cinétique par rapport à un point Il y a conservation du moment cinétique par rapport à un pointA:
– pour un système isolé ou pseudo-isolé ;
– pour un système soumis uniquement à desforces centrales, centrées enA.
Conséquences : (F)
– Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à−→
LA,ℜet passant parA;
– On peut introduire les coordonnées polaires dans le plan précédent en prenant pour origineAla constante des airesC=r2θ˙;
– Laloi des airesest vérifiée : le vecteur−−→
AM balaie des aires égales pendant des durée égale (vitesse aréolaire constante).
4.2 Mise en équation de mouvements
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