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Relation entre moment cinétique et moment magnétique

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Le formalisme du spin ½ et

la résonance magnétique nucléaire

Chapitre 12

10 mars 2004

Relation entre moment cinétique et moment magnétique

Un modèle classique d'atome conduit à la relation

-q, me q

0

L µ γ =

On peut montrer, en utilisant l'invariance par rotation de la théorie, qu'une relation similaire est valable en mécanique quantique.

Dans un sous-espace propre de , on a :Jˆ2

ˆ J ˆ µ γ =

0 2 e q

γ

= m

Une impasse intellectuelle ?

Expérience de Stern et Gerlach, mesure deµz: deux résultats±µ0

Mesure deµz= mesure deJzsi µ γˆ = Jˆ

Si on se limite au moment cinétique orbital , seules les valeurs entières dej=lsont permises

Comment comprendre l’existence d’atomes « à deux taches » ?

ˆ ˆ ˆ ˆ

J = = ×L r p

{ }

/ , 1,...,

z Lz l l l

µ ∝ ∈ − − +

Une voie possible ?

L'atome d'argent a beaucoup d'électrons et son moment cinétique n'est pas

ˆ ˆ ˆ ˆ

J = = ×L r p mais ˆ ˆi ˆi ˆi

i i

J =

L =

r ×p

Ceci ne résout pas le problème :

Pour un atome àNélectrons, si est simplement on peut montrer que jet msont entiers

Jˆ ˆ ˆ ˆ

i i

i

J =

r ×p

Chapitre 13 (hors programme)

(2)

1.

Le spin de l'électron Uhlenbeck & Goudsmit (1925)

George Uhlenbeck

Samuel Goudsmit Oskar Klein

Lorentz et Uhlenbeck

Et la relativité, mon cher ?

Si l'électron était une charge étendue...

Modèle classique de l'électron : interprétation de l'énergie de masse mec2comme l'énergie électrostatique d'une boule de rayon rc

2 2

4 0

e c

m c q

πε r

2

0 2 c 4

e

r q

πε m c

Moment cinétique de cette boule en rotation : 1 2 2 e c Jm r ω

2 Vitesse équatoriale de la boule : equat 4 02

c c c

v r c

q ω πε

= ≈ =α

2 1

4 137

q α c

= πε ≈ constante de

structure fine vequat ≈137c !!!

2.

La description complète d'une particule quantique

(3)

Particule de spin 0

exemple : méson π

2 3

externe ( )

E=E =L R ψ( )t ou ψ( , )r t

Particule de spin 1/2

exemples : électron, proton, neutron

externe spin

E=EE Eexterne =L R2( 3) Espin :

{

+ −,

}

( )t ( )t ( )t

ψ =ψ+ ⊗ + +ψ ⊗ − ( , )

( , ) r t r t ψ ψ+

 

 

 

ou

Analogue à la description trouvée pour l'exp. de Stern & Gerlach Etat non corrélé :

( )

orbital

( )t ( )t a t( ) a t( )

ψ =ψ ⊗ + + + − ou orbital ( )

( , ) ( ) r t a t ψ a t+

 

 

 

3.

Le moment magnétique de spin et la précession de Larmor

ˆ S ˆ µ γ =

rapport gyromagnétique

Spin ½ dans un champ magnétique uniforme B B e =

0 z

ˆ 0ˆ

ˆ z

H = − ⋅ = −µ B γB S Hamiltonien de couplage magnétique:

orb

( ,0) (0)

(0) r a

ψ a+

 

 

 

orb

( , ) ( ) ( ) r t a t ψ a t+

 

 

 

On ne cherche ici que l'évolution de a t±( ) On part d'un état décorrélé :

il reste décorrélé :

Equation de Schrödinger :

( ) ( )

( ) t a t

ψ a t+

 

=  

 

0

0

2 2

i a B a

i a B a

γ γ

+ +

 = −



 = +



d ˆ

i H

dt

ψ = ψ

La précession de Larmor

0

0

2 2

i a B a

i a B a

γ γ

+ +

 = −



 = +



s'intègre en 0

0

( ) exp( / 2)

( ) exp( / 2)

a t i t

a t i t

α ω

β ω

+

= −

 = +

0 B0

ω = −γ

Moment magnétique moyen : µi ( )t = ψ( )t µ ψˆi ( )t

(

* 0

)

Re exp( )

x i t

µ = γ α β ω

(

* 0

)

Im exp( )

y i t

µ = γ α β ω

(

2 2

)

z

µ = α − β

0 z

B B e= ( )t µ

(4)

Le cas particulier de l'électron

Hypothèse d'Uhlenbeck & Goudsmit :

Le moment magnétique s'interprète comme

soit

et pas comme on le penserait classiquement :

soit

2

e

q

m

e

2

q m

− ×

e

q γ = m

2

e

q m

− ×

2

e

q γ = m

Le cas particulier de l'électron (2)

Mouvement dans un champ magnétique : F = −( q v B) ×

mouvement circulaire uniforme dans le plan xyà la fréquence cyclotron

0 c qBe

ω = m

0 z

B B e=

Précession de Larmor du moment magnétique :

0 0 0

e

B qB

ω = −γ = m si on croit U. & G.

Synchronisme des deux mouvements !

0

ωc

0 z

B B e= µ

Le synchronisme du mouvement cyclotron et de Larmor

Mesure expérimentale très précise : 0 1,001 159 652 193 (10)

c

ω ω =

Prédiction théorique, prenant en compte le couplage de l'électron au champ électromagnétique quantifié : 0 1,001 159 652 200 (40)

c

ω ω =

e

(1 )

q a

γ =m + avec 0,001 159 ...

a

= ≈ π

Le cas du proton et du neutron

Particules de spin ½

p p pS

µ =γ avec p

p

2.79 q γ m

n n nS

µ =γ avec n

n

1.91 q γ − m proton :

neutron :

Valeurs éloignées de la prédiction pour une particule ponctuelle

ce sont des particules composites ...

q γ =m

(5)

4.

La résonance magnétique nucléaire

Mesure précise du moment magnétique pour un noyau

µ γ ˆ = S ˆ

Buts d'une expérience de R.M.N.

Mesurer le nombre de noyaux d'une espèce donnée dans un échantillon γ(proton) ≠γ(phosphore) ≠γ(sodium)

Déterminer la molécule dans laquelle le noyau intervient γ(proton 1) ≠γ(proton 2)

≠γ(proton 3)

C C H

H

H

H H

H

O

protons 1 protons 2

proton 3

Mesurer la position du noyau dans l'échantillon : imagerie

La RMN en pratique

Champ B0important : de 1 à 10 Teslas

Noyau ω0/ 2π

H 42,57 MHz

31P 17,24 MHz

23Na 11,26 MHz Pour 1 Tesla :

Préparation de l'état initial

Il est en général impossible de préparer tous les noyaux d'un échantillon liquide ou solide dans l'état +

L'équilibre thermique entraîne une légère différence de population :

+

ω0 0

B

exp k T

ω

+

 

Π = − 

Π  

0 / 2 60 MHz ω π =

T = 300 Kelvins

0 5

B

k T 10

ω

=

50,00025 % dans et 49,99975 % dans+ −

(6)

Evolution des spins

A l'instant initial : ω0

On suppose que l'onde tournante est résonnante : A l'instant t1=π/ ω1,

on trouve :

Pour l'assemblée de spins : gain d'énergie :

perte d'énergie :

N+ ω0

N ω0

bilan : gain net d'énergie de

(

N+N

)

ω0

Cette énergie est fournie par l'onde tournante

Le retour vers l'équilibre thermodynamique

A l'instantt = π/ω1, le système n'est pas à l'équilibre thermodynamique Le temps caractéristique de retour à l'équilibre Trvarie de 100 microsecondes à 1 seconde suivant le milieu.

Bon choix : r

1

T π

∼ω

absorption de l'onde tournante

ωfixe

0 B0

ω = −γ H

31P

23Na

Deux expériences historiques

Bloch 1945 Purcell 1945

molécule d'éthanol CH3CH2OH

B0 absorption

de l'onde tournante

CH3

CH2 OH détection du proton de H Proton de H2O

La RMN en biologie : détection du phosphore

Contrainte importante : si la RMN est utilisée à des fins d'analyse, il faut que le champ B soit homogène sur toute l'étendue de l'échantillon

Absorption

∆B0/ B0

0 10-5 2 10-5

Phosphate inorganique

Adénosine diphosphate (ADP)

Adénosine triphosphate (ATP)

(7)

La RMN en médecine

On regarde les protons de l'eau, en utilisant le fait que la teneur en eau d'une cellule malade est différente de celle d'une cellule saine.

On utilise des gradients de champ magnétique B0, ce qui permet des coupes dans des plans donnés.

Appareils chers : 3 M€

On reconstruit ensuite par ordinateur des images 3D.

Pauli et Bohr

1946 : Bloch & Purcell (physique) 1991 : Ernst (chimie)

2002 : Wüthrich (chimie)

2003 : Lauterbur & Mansfield (médecine) Prix Nobel pour la RMN

Imagerie fonctionnelle

Films à l'adresse :

http://white.stanford.edu/~heeger/fmri-demos/V1MTmovie.html http://www.news.wisc.edu/packages/emotion/index.msql?get=media

Références

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