PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2002
Soit ( ) α β , ∈ \
2.
Calculer les sommes :
( ) ( )
0 0
cos et sin
n n
k k
n n
k k
U C α k β V C α k β
= =
= ∑ + = ∑ +
Analyse
Les calculs ne posent pas de difficulté particulière. On calcule les deux sommes simultanément en introduisant la somme complexe : W = +U iV.
Résolution
Soit donc :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
0
0
0
cos sin
cos sin
1
n n
k k
n n
k k
n k n k
n
i k
k n k
n
i k ik
n k
i i n
W U iV
C k i C k
C k i k
C e
e C e
e e
α β
α β
α β
α β α β
α β α β
= =
=
+
=
=
= +
= + + +
= + + +
=
=
= +
∑ ∑
∑
∑
∑
On récrit le terme élevé à la puissance n comme suit avec l’objectif de se débarrasser de la somme :
2
2
1 1 cos sin
2 cos 2 sin cos
2 2 2
2 cos cos sin
2 2 2
2 cos 2
i
i
e i
i
i e
β
β
β β
β β β
β β β
β
+ = + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2002
Il vient alors :
2
2
2
2 cos 2 2 cos
2 2 cos
2
2 cos cos sin
2 2 2
n i i
i n n ni
i n
n n
n n
W e e
e e
e
n i n
α β
α β
α β
β β β
β α β α β
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
= ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠
On en tire finalement :
2 cos cos
2 2
n n
U = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠β ⎛⎜⎝α+nβ ⎞⎟⎠
2 cos sin
2 2
n n
V = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠β ⎛⎜⎝α+nβ ⎞⎟⎠
Résultat final
( )
0
cos 2 cos cos
2 2
n
k n n
n k
C α kβ β α nβ
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠
∑
( )
0
sin 2 cos sin
2 2
n
k n n
n k
C α kβ β α nβ
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠
