PanaMaths
[1 - 3]Janvier 2002
Soit z un complexe et n un entier.
Calculer : A z
n( ) = + z
nz
net B z
n( ) = − z
nz
nAppliquer à : z = 3 + i
Analyse
L’exercice fait appel à plusieurs notions de base sur les nombres complexes. On utilise l’exponentielle complexe pour pouvoir démarrer les calculs.
Résolution
Soient ρ et θ, le module et l’argument, respectivement, du complexe z donné.
On a : z=ρeiθ et z=ρe−iθ.
D’où : ∀ ∈n `,zn =
( )
ρeiθ n=ρn nie θ et zn =(
ρe−iθ)
n =ρne−niθ.Il vient alors :
( ) (
,)
n ni n ni n(
ni ni)
2 ncos( )
n n
A z = A ρ θ =ρ e θ +ρ e− θ =ρ e θ +e− θ = ρ nθ et, de façon analogue :
( ) (
,)
n ni n ni n(
ni ni)
2 nsin( )
n n
B z =B ρ θ =ρ e θ −ρ e− θ =ρ e θ −e− θ = iρ nθ
On a finalement :
( ) ( )
2 cos 2 sin
n n
n n
A n
B i n
ρ θ
ρ θ
=
=
Soit maintenant : z= 3+i. On a : 3 1 6
2 2 cos sin 2
2 2 6 6
z i i ei
π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠= ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠= .
On va donc appliquer les résultats précédemment obtenus avec : ρ =2 et 6 θ =π .
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[2 - 3]Janvier 2002
On obtient :
2, 2 1cos
6 6
n
An⎛ π ⎞= + ⎛nπ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et 2, 2 1 sin
6 6
n
Bn⎛ π ⎞= + i ⎛nπ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dans un premier temps, calculons .
On a clairement : . La valeur de
dépend donc du reste de la division de n par 12.
Il y a douze cas de figure possibles. Mais on tient compte, pour s’affranchir de calculs répétitifs, des propriétés suivantes du cosinus :
( ) ( )
cos x+π =cos π −x = −cosx et cos
( )
− =x cosx On a alors :n
⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠
cos n π 6
A
n0 mod(12)
n≡ cos 12
( ( )
k π)
=1 An =2n+11mod(12)
n≡ cos
(
12 1)
cos 36 6 2
k π π
⎛ + ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An = 3 2× n
2 mod(12)
n≡ cos
(
12 2)
cos 16 3 2
k π π
⎛ + ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An =2n
3 mod(12)
n≡ cos
(
12 3)
cos 06 2
k π π
⎛ + ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An =0
4 mod(12)
n≡ cos 12
(
4)
cos 2 cos cos 16 3 3 3 2
k π π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ ⎞= ⎛ − ⎞= − ⎛ ⎞= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An = −2n
5 mod(12)
n≡ cos 12
(
5)
cos 5 cos cos 36 6 6 6 2
k π π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ ⎞= ⎛ − ⎞= − ⎛ ⎞= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An = − 3 2× n
6 mod(12)
n≡ cos 12
(
6)
cos( )
1k π6 π
⎛ + ⎞= = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2n 1
An = − + 7 mod(12)
n≡ cos 12
(
7)
cos cos 36 6 6 2
k π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= − ⎛ ⎞= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An = − 3 2× n
8 mod(12)
n≡ cos
(
12 8)
cos cos 16 3 3 2
k π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= − ⎛ ⎞= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An = −2n
9 mod(12)
n≡ cos
(
12 9)
cos cos 06 2 2
k π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞= − ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An =0
10 mod(12)
n≡ cos
(
12 10)
cos 12 cos cos 16 3 3 3 2
k π π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ − ⎞= ⎛− ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ An =2n
11mod(12) n≡
( )
3cos 12 11 cos 12 cos cos
6 6 6 6 2
k π π π π π
⎛ + ⎞= ⎛ − ⎞= ⎛− ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2n An = × An
( )
, cos 12 cos 2 cos
6 6 6
n ⎛ n π ⎞ ⎛nπ π⎞ ⎛nπ ⎞
∀ ∈` ⎜⎝ + ⎟⎠= ⎜⎝ + ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠ An
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[3 - 3]Janvier 2002
En définitive, on peut synthétiser les résultats comme suit :
• Si n=6k, An= −
( )
1 2k n+1 ;• Si n=6k+1, An = −
( )
1 k 3 2× n ;• Si n=6k+2, An= −
( )
1 2k n ;• Si n=6k+3, An =0 ;
• Si n=6k+4, An= − −
( )
1 2k n ;• Si n=6k+5, An = − −
( )
1 k 3 2× n.En procédant de façon similaire, on obtient :
• Si n=6k, 0Bn= ;
• Si n=6k+1, Bn = −
( )
1 ki2n ;• Si n=6k+2, Bn= −
( )
1 ki 3 2× n ;• Si n=6k+3, Bn = −
( )
1 ki2n+1 ;• Si n=6k+4, Bn= −
( )
1 ki 3 2× n ;• Si n=6k+5, Bn = −
( )
1 ki2n.Résultat final
Finalement, pour z=ρeiθ, on a :
( ) ( )
2 cos
2 sin
n n n
n
n n n
n
A z z n
B z z i n
ρ θ
ρ θ
= + =
= − =
et, pour z= 3+i :
• Si n=6k, An = −
( )
1 2k n+1 et Bn =0 ;• Si n=6k+1, An = −
( )
1 k 3 2× n et Bn= −( )
1 ki2n ;• Si n=6k+2, An = −
( )
1 2k n et Bn = −( )
1ki 3 2× n ;• Si n=6k+3, 0An= et Bn = −
( )
1 ki2n+1 ;• Si n=6k+4, An = − −
( )
1 2k n et Bn = −( )
1 ki 3 2× n ;• Si n=6k+5, An= − −
