exponentielle complexe

UPMC Séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre 2M261 printemps 2017

Amphi B, feuille d’exercices n^o1 : exponentielle complexe, produit de Cauchy, normes et topologie sur Kⁿ, exponentielles de matrices

Exercice 1 (Exponentielle complexe). Pour tout réel ton notecosptq etsinptq les parties réelle et imaginaire deexppitq. D’après le cours, on a|exppitq| “1,

cosptq “1´t² 2 `t⁴

4!` ÿ

ně3

p´1qⁿ t²ⁿ

p2nq! (:)

sinptq “t´t³ 6 ` ÿ

ně2

p´1qⁿ t^2n`1

p2n`1q! (;)

etcosetsinsont dérivables sur R, de dérivéescos¹ptq “ ´sinptqet sin¹ptq “cosptq. 1. Montrer que pour toutnPN^˚ ettP s0,2son a tⁿ

n! ą t<sup>n`2</sup> pn`2q!.

2. En utilisant que les sériesp:q etp;qsont à termes de signes alternés, en déduire que pour tout tP s0,2s on a

sinptq ět´t³

6 ą0 et cosptq ď1´t² 2 `t⁴

4!.

Par conséquent, la fonctioncosdécroît strictement surr0,2s. Donc pour touttP r0,2sla fonction cosest une bijection décroissante der0, tssurrcosptq,1s, et donc l’image parsÞÑexppisqder0, ts est l’arc de cercle situé dans le demi-plan y ě0 au-dessus du segment rcosptq,1s, cf. la figure ci-dessous :

p0,0q cosptq sinptq

i

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un unique α P r0,2s tel que e^iα “ i, puis que tÞÑexppitq est périodique de période 4α.

3. En utilisant ce qui précède, montrer que cosp2q ă ´1

3 ă 0. En déduire qu’il existe un uniqueα P r0,2stel que cospαq “0, et qu’alors on a :

(a) sinpαq “1 et donc exppiαq “i.

(b) L’image partÞÑexppitqder0, αsest le quart de cercleCjoignant les nombres complexes 1 eti.

4. Montrer quee^4iα “1, puis que exppipt`4αqq “exppitq pour tout tPR.

1

Réciproquement, soit β PR_` tel que exppiβq “ 1. Remplaçant β par β´4kα, où k est le plus grand entierě0tel que4kαďβ, on peut supposer que0ďβ ă4α. Posons alorsz“exppiβ{4q. 5. Montrer, d’une part, quez P t˘1,˘iu et, d’autre part, que cospβ{4q ą0. En déduire que

z“1, puis que β“0.

Ce qui précède montre que la période de i ÞÑ exppitq est exactement 4α. On définit π par 2π“4α, d’oùα“π{2.

6. Montrer que l’application z ÞÑ iz, c.-à-d. x`iy ÞÑ ´y`ix est une bijection de C sur le quart de cercleC¹ joignantià ´1. En particulier, on aexppiπq “ ´1.

On noteDle demi-cercle supérieur et D¹ le demi-cercle inférieur.

7. En utilisant queD¹ “ t´z|zPDu, montrer que l’applicationtÞÑexppitqest un morphisme de groupessurjectifdeRsur le cercle unitéS¹, et que son noyau est le sous-groupe2πZ. 8. Montrer que tout zPC^ˆ s’écrit sous la forme z“ρexppiθq, avec ρPR^˚_` unique etθPR

unique modulo2πZ.

9. En utilisant que exppa`ibq “exppaqexppibq pour touta, bPR, montrer que l’application zÞÑ exppzq est un morphisme de groupes surjectif de C sur C^ˆ et que son noyau est le sous-groupe 2iπZ. (Commencer par observer que si exppzq “ 1 alors |exppzq| “ 1, puis utiliser la question (7).)

Exercice 2 (Produit de Cauchy). Soit A la sérieř

ně1

p´?1qⁿ n .

1. Montrez queA est convergente, mais pas absolument convergente.

2. Pour tout ně2, on pose c_n “ p´1qⁿřn´1 k“1

? 1 k?

n´k. Montrer que |c_n| ě 1 pour tout ně2. Que peut-on en déduire ?

Exercice 3 (Normes sur Rⁿ et Cⁿ). On utilise la lettre Kpour désigner R ou C et pour tout λP K on note |λ|sa valeur absolue. Soit E un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N :E ÑR_` vérifiant les trois propriétés suivantes :

(i) @uPE, Npuq “0ôu“0.

(ii) @uPE, λPK, Npλuq “ |λ|Npuq.

(iii) (Inégalité triangulaire) @u, vPE, Npu`vq ďNpuq `Npvq.

1. Montrer que l’application N₈ : Kⁿ Ñ R_`, x “ px1, . . . , x_nq ÞÑ max_i“1,...,n|x_i| est une norme sur Kⁿ. On l’appelle « norme du sup » ou « norme 8».

2. On considère surRⁿ le produit scalaire standard, défini par px |yq “řn

i“1xiyi, et pour toutx“ px1, . . . , x_nq PRⁿ, on poseN2pxq “a

px|xq “a

x²1` ¨ ¨ ¨ `x²_n. On « rappelle » que le produit scalaire est symétrique, i.e. py |xq “ px |yq, linéaire en chaque variable, i.e.pλx`x<sup>1</sup> | yq “ λpx | yq ` px¹ | yq et de même pour la seconde variable, et vérifie

2

px|xq ą0pour tout x­“0. En utilisant ces propriétés, montrer que pour toutx, yPRⁿ avec y­“0, on a

0ďN2

ˆ

x´px|yq py|yqy

˙²

“ px|xq ´px|yq² py|yq avec égalité si et seulement si x“ px|yq

py|yqy. En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz : p˚q @x, yPRⁿ, |px|yq| ďN2pxqN2pyq,

avec égalité si et seulement si y“0 ou x“ px|yq

py |yqy. En utilisant p˚q, montrer que :

@x, yPRⁿ, N2px`yq ďN2pxq `N2pyq.

En déduire que N2 est une norme surRⁿ, appelée la norme euclidienne.

3. Soient x“ px1, . . . , x_nq ety“ py1, . . . , y_nqdansRⁿ. Montrer que ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

i“1

x_iy_i ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď

˜ _n ÿ

i“1

x²_i

¸¹{2˜ _n ÿ

i“1

y²_i

¸¹{2

.

Dans quels cas a-t-on égalité ?

4. Pour tout z “ pz1, . . . , z_nq P Cⁿ, on pose N2pzq “a

|z1|²` ¨ ¨ ¨ ` |z_n|². Montrer que N2

est une norme sur Cⁿ. Indication : pour l’inégalité triangulaire, observer qu’en écrivant z_k“a_k`ib_k aveca_k, b_kPR, on a

N2pzq “ b

a²1`b<sup>2</sup>1` ¨ ¨ ¨ `a<sup>2</sup><sub>n</sub>`b²_n

donc, si l’on identifieCⁿàR²ⁿviapz1, . . . , z_nq “ pa1, b1, . . . , a_n, b_nqalorsN2coïncide avec la norme euclidienne sur R²ⁿ.

5. Pour toutx“ px1, . . . , x_dq PR^d, montrer que N₈pxq ďN2pxq ď?

nN₈pxq.

6. Soitpu_kqkPNune suite d’éléments de R^d. Montrer que les conditions suivantes sont équi- valentes : (a) la série ř

kě0N2pu_kq converge ; (b) la série ř

kě0N₈pu_kq converge. Si ces conditions sont vérifiées, on dit que la série ř

kě0u_k est absolument convergente.

7. Montrer que si la sérieř

kě0u_kest absolument convergente, elle est convergente. (Utiliser que R^dest complet.)

Soient I un intervalle de R, f une application I Ñ R^d et f1, . . . , f_d ses composantes, i.e.fptq “ pf1ptq, . . . , f_dptqq pour touttPI. Soit t0PI.

8. On dit quef estcontinueent0si pour toutεą0il existeδą0tel queN₈pfptq´fpt0qq ă ε pour tout tPI tel que|t´t0| ăδ. Montrer quef est continue en t0 si et seulement si chaque f_i l’est.

3

9. On dit quef est dérivableen t0, de vecteur dérivéu“ pu1, . . . , u_dq PR^d si

tÑtlim0

t­“t0

1 t´t0

`fptq ´fpt0q˘

“u

c.-à-d. si pour tout εą0il existe δą0 tel que N₈´ 1

t´t0

`fptq ´fpt0q˘

´u¯ ăε

pour tout tPI tel que|t´t0| ă δ. Montrer que ceci est le cas si et seulement si chaque f_i est dérivable ent0, de dérivée u_i.

Exercice 4 (Boules ouvertes et ouverts). Soient E un R-espace vectoriel, N une norme sur E.

Pour toutu0PE etrPR^˚

`, on pose

B_Npu0, rq “ tuPE|Npu´u0q ăru

et on l’appelle la boule ouverte de centre u0 et de rayonr. On définit de même la boule fermée : B_Npu0, rq “ tuPE|Npu´u0q ďru.

1. DansR², dessiner les boules de centre u0 “ p0,0q et de rayons 1et ?

2, pour les normes N2 etN₈.

2. On dit qu’une partie U de E est un ouvertsi pour tout u PU il existe r PR^˚

` tel que la boule Bpu, rq soit contenue dans U. Montrer que toute boule ouverte est un ouvert.

(Utiliser l’inégalité triangulaire.)

Exercice 5 (Exponentielles de matrices). On utilise la lettre K pour désigner R ou C. Pour toute matriceA“ pa_ijq PM_dpKq on pose :

}A} “N₈pAq “ max

1ďi,jďd|a_ij|.

1. Pour tout A, B P M_dpKq, montrer que }AB} ď d}A} }B}. En déduire que, pour tout nPN^˚, on a}Aⁿ} ďd^n´1}A}ⁿďdⁿ}A}ⁿ.

2. Montrer que la série exppAq “ ř

ně0

Aⁿ

n! est absolument convergente, donc convergente (cf. exercice 3).

3. Pour tout R P R^˚_`, montrer que la série de fonctions f_n : t ÞÑ ptⁿ{n!qAⁿ converge nor- malement sur r´R, Rs. Puis montrer que l’application R Ñ M_dpKq, t ÞÑ expptAq est continue.

4. Montrer que, pour touts, tPR, on aexppps`tqAq “exppsAqexpptAq.

5. Montrer que l’applicationRÑM_dpKq,tÞÑexpptAqest dérivable en0, puis en touttPR.

4