1 Exponentielle de matrices

Équations différentielles linéaires autonomes

1 Exponentielle de matrices

Définition

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

On appelleexponentielle de matricel’application :

exp :

Mn(K) −→ Mn(K) x 7−→ expx=e^x=

X∞

k=0

x^k k!

Propriété

Ê PourA∈ Mn(K), l’application t7−→e^tAest dérivable et : de^tA

dt =Ae^tA=e^tAA.

Ë Pour toutA∈ Mn(K), exp(A)estinversibleet exp(A)⁻¹=exp(−A). Ì SiAetBcommutent, alors :

e^A+B=e^Ae^B Í SiP∈G L_n(K), alors :

Pe^AP⁻¹=e^PAP−1

Î Si∆est diagonale d’élémentsλialors e^∆ estdiagonaled’éléments e^λi.

Théorème :

Soientt₀∈Retx₀∈Kⁿ. L’unique solution du système : x⁰(t) =Ax(t)

x(t₀) =x₀ est l’application définie par :

∀t∈R, x:t7−→e^(t−t0)Ax₀

2 Calcul d’exponentielle de matrices

2.1 Matrice à cœfficients dans C

2.2 Sous-espacesn propres–Sous-espaces caractéristiques

Définition

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

À chaque valeur propre deAsont associés deux sous-espaces vectoriels deCⁿ. Ê Lesous-espace propre:

Πλi=ker_C(A−λiI)

C’estl’ensembledes vecteurs propres associés àλi. On définit alorse_i=dimΠλi comme lamulti- plicité géométriquede la valeur propreλi.

Ë Lesous-espace caractéristique:

Γ_λi=ker_C(A−λiI)^pi

Théorème : décomposition des noyaux

On a :

Cⁿ= Γ1⊕ · · · ⊕Γr

Propriété

On a :

Ê dimΓi=p_i

Ë Chacun des espacesΓiest invariant parA:x∈Γi⇒Ax∈Γi

Ì La restriction A|_Γi s’écrit :

A|_Γi=λiI_Γi+N_i

oùI_Γi désigne l’identité deΓietN_iest un endomorphisme deΓi nilpotentd’ordreplus petitque p_i.

Rappel :

A est diagonalisable si et seulement si pour toue valeur propre, les ordres de multiplicité algébrique et géométrique coïncident, c’est-à-dire, pour tout i∈J1,rK,dimΠi=p_i.

2.2.1 Reduction de JORDAN

Considérons la baseBformée par la réunion des bases desΓiet notonsPla matrice de passage de cette base à la base canonique. D’après le théorème de décomposition des noyaux, l’application linéaire associée àAa pour matricedans la baseB:

P⁻¹AP= ∆ +N

où∆est la matrice diagonale formée dep₁-foisλ1,. . .,p_r-foisλretN est la matrice nilpotente qui s’écrit par blocs :

N=







 N₁

...

N_r









Théorème : de Jordan dans C

Pour toute matriceA∈ Mn(C), il existeP∈G L_n(C)telle queP⁻¹APs’écrit sous une forme de matrice diagonale par bloc :

P⁻¹AP=







 J₁

...

J_r









où chaqueJ_iest une matrice(p_i×p_i)de la forme :

J_i=







 J_i,1

...

J_i,e

i









avec J_i,k=













 λi 1

... ...

... 1 λi















2.2.2 Dans R On a alors :

P_A(λ) =

s

Y

i=1

(λ−λi)^pi

q

Y

i=s+1

€(λ−λi)(λ−λi)Š^pi

Définition

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

On définit lessous-espace caractéristiques réelsdeA: Ê

∀i∈J1,sK, E_i= Γi∩Rⁿ Ë

∀i∈Js+1,qK, E_i=

Γλi+ Γ_λi

∩Rⁿ DansRla décomposition des noyaux devient :

Rⁿ=E₁⊕ · · · ⊕E_q

Théorème : de Jordan dans R

Pour toute matriceA∈ Mn(R), il existeQ∈G L_n(R)telle queQ⁻¹AQs’écrit sous la forme de matrice diagonale par blocJ⁰, d’éléments diagonaux J₁, . . . , J_s, J_s⁰₊₁, . . . , J_q⁰, où pouri ∈J1,sKles J_i sont celles données par le théorème précedent, et pouri∈Js+1,qK, chaque élémentsJ_i⁰ est une matrice 52p_i×2p_i) de la forme :

J_i⁰=







 J_i,1⁰

...

0









avec J_i,k⁰ =











 C_i I₂

... ...

... I













Théorème : dans C

SoitA∈ Mn(C). Toute solution de x⁰(t) =Ax(t)dansCⁿs’écrit sous la forme :

x(t) =

r

X

i=1

e^tλi

m_i−1

X

k=0

t^kv_i,k

!

oùv_i,k∈Γietm_i=max_1¶k¶e₁dimJ_i,k.

Théorème : dans R

SoitA∈ Mn(R). Toute solution dex⁰(t) =Ax(t)dansRⁿs’écrit sous la forme :

x(t) =

q

X

i=1

e^tαi

m_i−1

X

k=0

t^k€

cos(βit)a_i,k+sin(βit)b_i,kŠ

!

où(a_i,k,b_i,k)∈E_i²,αi=ℜ(λi),βi=ℑ(λi)etm_i=max_1¶k¶e1dimJ_i,k.

3.1 Comportement asymptotique

Définition

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Dans R :

Ê l’espace stable :

E^s=





 M

ℜ(λi)<0

Γi





∩Rⁿ= M

ℜ(λi)<0

E_i

Ë l’espace instable :

E^u=





 M

ℜ(λi)>0

Γi





∩Rⁿ= M

ℜ(λi)>0

E_i

Ì l’espace indifférent :

E^c=





 M

ℜ(λi)=0

Γi





∩Rⁿ= M

ℜ(λi)=0

E_i

Dans C :

Ê l’espace complexe stable : Γ^s= M

ℜ(λi)<0

Γi

Ë l’espace complexe instable : Γ^u= M

ℜ(λi)>0

Γi

Ì l’espace complexe indifférent : Γ^c= M

ℜ(λi)=0

Γi

Théorème :

SoitAune matrice (n×n)réelle[resp. complexe]. Notons x(.)les solutions dansRⁿ[resp.Cⁿ]de l’équation différentiellex⁰(t) =Ax(t). Alors :

– E^s[resp.Γ^s]est l’ensemble desx(0)∈Rⁿ[resp.Cⁿ]pour lesquels

t→+∞lim kx(t)k=0;

– E^u[resp.Γ^s]est l’ensemble desx(0)∈Rⁿ[resp.Cⁿ]pour lesquels

t→−∞lim kx(t)k=0;

– E^c [resp.Γ^c]est l’ensemble desx(0)∈Rⁿ[resp.Cⁿ]pour lesquels il existe un entier M ¾0 est une constanteC>0 tels que, pour|t|suffisamment grand,

C⁻¹kx(0)k¶kx(t)k¶C|t|^Mkx(0)k

Propriété

Toutes les solutions dex⁰(t) =Ax(t)tendent vers 0 quandt→+∞si et seulement sitoutesles valaurs propes deAont unepartie réelle strictement négatives(c’est-à-direE^s=RⁿouΓ^s=Cⁿ).

On parle alorsd’équilibre asymptotiquement stable

3.2 Cas d’une matrice diagonalisable

Propriété

SoitA∈ Mn(C)une matrice dansC. Toute solution de x⁰(t) =Ax(t)dansRⁿs’écrit sous la forme :

x(t) =

q

X

j=1

e^tαj€

cos(βjt)a_j+sin(βjt)b_jŠ

oùαj=ℜ(λj),βj=ℑ(λj)et les vecteur(a_j,b_j)∈Rⁿsont tels quea_j+ib_jest une vecteur propre deA associé àλj.

Attention : Les sous-espaces stables, instables et indifférents s’écrivent alors en fonctions des sous- espaces propres puisque ceux-ci sont égaux aux sous-espaces caractéristiques).

Propriété

Soit A∈ Mn(R)une matrice diagonalisable dans C. Notons x(.)les solution dans R de l’équation différentiellex⁰(t) =Ax(t).

Alors :

Ê E^s est l’ensemble des conditions initiales x(0) ∈ Rⁿ correspondant à des solutions x(t) qui tendent exponentiellement vers 0quandttend vers+∞

Ë E^u est l’ensemble des conditions initiales x(0) ∈ Rⁿ correspondant à des solutions x(t) qui