Croissance exponentielle de produits markoviens de matrices aléatoires

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

G ILLES R OYER

Croissance exponentielle de produits markoviens de matrices aléatoires

Annales de l’I. H. P., section B, tome 16, n

^o

1 (1980), p. 49-62

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Croissance exponentielle ^de produits ^markoviens

de matrices aléatoires

Gilles ROYER

Équipe

d’analyse ^et de théorie du potentiel (n° ^{294 au C. N. R.} S.), Université Pierre et Marie Curie, ^Tour 46, 4, ^Place Jussieu, 75005 Paris Ann. Inst. Henri Poincaré,

Vol. XVI, n° 1, 1980, p. 49-62.

Section B : Calcul des Probabilités et Statistique.

RÉSUMÉ. - Nous montrons que le théorème de

Furstenberg

^concernant

la croissance

exponentielle

^de

produits

infinis de matrices aléatoires

indépendantes

^{s’étend à une vaste classe de} processus de Markov.

Ce résultat est obtenu en

généralisant

^une méthode donnée _par Gui- varc’h dans le cas de

l’indépendance.

SUMMARY. -

Furstenberg’s

^{theorem on}

exponential growth

^{of inde-}

pendent

random matrices

products

is extended ^to a broad class of Markov processes. This result is obtained

by generalizing

^{a method}

given by

^Gui-

varc’h in the

independent

^case.

INTRODUCTION

Notons SL le _groupe des matrices carrées de déterminant

1,

^{la dimen-} sion d étant fixée une fois _pour toute, ^r

l’espace (SL)~

des suites de matrices et

Mn

^{la nième}

application

coordonnée : r -~ SL. On _suppose donnée

une

probabilité Q

^{sur r} invariante et

ergodique

par

décalage

^à

gauche (shift)

^{et telle} que

log+

^soit

intégrable, ) [ . [ désignant

^{une norme}

sur

l’espace

vectoriel des matrices d ^x d. On sait alors

(d’après [3 ],

^théo-

rème

2)

que la suite de variables

aléatoires 1 log M n

^...

M o ~ ~ )

converge

n

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B-Vol. XVI, 0020-2347/1980/49 $ 5.00/

© Gauthier-Villars.

49

50 G. ROYER

presque sûrement ^{vers une constante} J

qui

^est

positive

^{ou nulle à cause de}

l’hypothèse

^{sur les}

déterminants ;

cette constante est le

plus grand exposant caractéristique

^de

Ljapunov

^{au sens} d’Oseledec

(voir [12 ])

^{et nous}

l’appel-

lerons indice de

Ljapunov.

Pour certaines études

( [4 ], [7], [10 ])

^{il est}

essentiel d’obtenir la stricte

positivité

^de

J ;

dans l’article

[2] (démonstra-

tion du théorème

8.6) Furstenberg

^{a donné un} critère de

positivité

^stricte

dans le cas où

Q

^{est une mesure}

produit,

^{autrement dit}

lorsque

les variables aléatoires

Mn

^sont

indépendantes :

^{si J est} nul il existe une mesure de Radon sur

l’espace projectif

^laissée presque sûrement invariante _par la matrice

Mo.

Le but du

présent

^{article est de montrer} que ^ce critère reste valable

lorsque

^le processus

(Q, Mn)

^{est un} processus de Markov suffisamment aléatoire

(voir

^en

particulier plus

loin le corollaire

2.12).

^{Pour le montrer}

nous suivrons _pas à _pas la méthode donnée _par Guivarc’h dans

[5 pour

le cas

indépendant,

^{en calculant non pas sur}

l’espace projectif

^{mais sur}

son

produit

^{avec le} groupe SL

(je

^{ne sais} pas

adapter

la méthode

employée

par

Furstenberg

^sans introduire

d’importantes hypothèses

^de

régularité).

Je remercie F.

Ledrappier,

^{B. Souillard et J.-P. Thouvenot} pour de fructueuses conversations sur ces

questions.

§

^l.

PRÉLIMINAIRES

On

désigne

par J1 la

probabilité Mo(Q)

^{sur SL et par oc la}

probabi-

lité

(Mo, M 1 )Q

^{sur SL x}

^{SL ;}

^{cx se}

projette

évidemment suivant _,u sur

chaque

^facteur.

1.1. Pour commencer on va fixer une fois _pour toutes une

désintégra-

tion

N(g, dg’)

^{de cx} par rapport ^{à la}

première projection

^{de SL x SL sur SL.}

Nous voulons dire _par là _que

N(g, dg’)

^{est une} famille de

probabilités

sur SL telle _que

N(g, x)

^{soit une} fonction borélienne

de g

pour ^toute fonc-

tion x

borélienne bornée ^sur SL et telle _que

dg’)

⁼

N(g,

c’est-à-dire _que

pour ^toute

fonction t/J 03B1-intégrable.

^{De même on fixera une}

désintégra-

tion

N*(g’, dg)

^{de ex par} rapport ^{à la seconde}

projection.

Le noyau marko- vien N laisse _,u

invariante ;

^{il en}

résulte, d’après l’inégalité

^de

Jensen,

que

ce noyau définit une contraction de

l’espace L2(,u),

que l’on notera encore

N ;

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B

CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES 51 1

de même N* définit une contraction de

L2{,u) qui

^est

l’adjointe

^{de la}

précé-

dente. On

rappelle

^{le résultat}

suivant,

^{dont une} démonstration ^se trouve dans

[9 ],

page 158 :

1. 2. PROPOSITION. - Les deux

propriétés

^{suivantes sont}

équivalentes :

1 ° Le

décalage agit ergodiquement

^sur

l’espace

^r muni de la mesure

Q.

2° L’unité est valeur _propre

simple

pour l’action de N dans

L2(~u).

1.3. Dans les conditions de la

proposition précédente

^{on dira} que

l’opérateur

^{N est}

ergodique.

^{On note} que ^cet

opérateur

^{N est}

indépendant

du choix

qu’on

vient de faire de la

désintégration N(g, dg’)

^{mais faire}

un choix est commode _pour l’intuition et les calculs. On

pourrait adopter

le

point

^{de vue}

légèrement

différent de se donner a

priori

^un noyau marko- vien N admettant une

probabilité invariante ,u

^et construire

Q

^à

partir

de ces

données ;

^on sait alors _que

Q

^est

ergodique

^{si et} seulement si _{,u est}

un

point

extrémal du convexe des

probabilités

invariantes _par

N ;

^ce

point

^{de vue}

transparaît

^un peu dans les théorèmes 2.11 et 3 . 3 ci-dessous.

1.4. Introduisons maintenant comme dans

[2] ]

^les

objets

^{suivants :}

1 °

l’espace projectif

que l’on notera

simplement P ;

^le groupe SL

a une action naturelle sur P notée

(g, ç)

^-

g~ ;

2° la mesure de

probabilité

^{naturelle (D sur}

P,

c’est-à-dire la seule

qui

soit invariante _par l’action du sous-groupe de SL formé _par les

rotations ;

3° la fonction

a(g, ç)

^{sur SL x P}

qui

^{est obtenue} par passage ^au

quotient

à

partir

de la fonction sur SL x

0),

^en

désignant par ( ( Il (

la norme euclidienne de

~d.

On

emploiera

la notation _pour

désigner

^{la mesure translatée}

de _par

(g)-1.

1.5. LEMME. ^- La mesure ce est

quasi-invariante

par l’action du groupe SL ^et admet a comme module de

quasi-invariance,

^{autrement dit :}

bg

^{E SL}

~~~(a~l~)

^-==

a(g~

Démonstration. Pour toute

partie

^{A de}

P, cv(A)

^{n’est rien}

d’autre,

^à

une constante de normalisation

près

que l’on ^va omettre, que la ^mesure de

Lebesgue

^de l’ensemble

À

des

points x

^{de la} boule unité B de ~d tels que la direction de Ox

appartienne

^{à A. Par toute} matrice unimodu- laire _g,

À

est transformée en l’ensemble

g qui

^{a la même mesure de}

Lebesgue ;

^{comme d’autre} part

w(gA)

^est

égal

^{à la mesure de}

Lebesgue

Vol.

52 A. ROYER

de

gÂ

ⁿ

B,

^il suffit de calculer en coordonnées

polaires

pour établir la formule annoncée.

1.6. A

partir

de maintenant on utilisera

uniquement

^{la norme suivante}

sur

l’espace

des matrices :

les

inégalités

suivantes dans

lesquelles g désigne

^{une matrice} unimodulaire

quelconque

^{seront utiles :}

2°

Il g Il (

^{~ 1 et} il existe un nombre c

indépendant de g

^tel que

gl

1.7.

Rappelons

^{enfin les}

hypothèses

^{de base de ce travail :}

(Ho)

^le processus

Mn

^{est un} processus de Markov

stationnaire ; l’opé-

rateur N est

ergodique ;

^enfin

(on

^note que

log ( Il g !! )

^est

positif grâce

^au choix de la

norme).

§

^2.

POSITIVITÉ

STRICTE DE L’INDICE DE LJAPUNOV 2.1.

D’après l’équation

^de

quasi-invariance

^vérifiée par w, pour tout g fixé dans

SL, l’opérateur qui

^à la fonction

cp(ç) appartenant

^{à fait}

correspondre al/2(g, ç)cp(gç)

^{est unitaire. Les} méthodes de Guivarc’h vont

pouvoir

^{s’étendre en} introduisant un

opérateur

^«

produit

^{croisé »}

de cet

opérateur

^{unitaire avec} N. Pour ~’ borélienne sur SL ^x P

(bornée

pour

commencer)

définissons la fonction _{par :}

l’inégalité

^{de Jensen nous donne :}

Annales do l’Institut Henri Poincaré-Section B

CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES 53

Ainsi, après

identification de deux fonctions

égales

^presque

partout ri

devient une contraction de

l’espace

de Hilbert @

ce).

2.2. LEMME. - Si r est le _rayon

spectral

^de

l’opérateur F,

l’indice de

Ljapunov majore - (2/d) log (r).

Démonstration. On

part

^de

l’inégalité log (r) lim(1 n _{lo g (n1,} 1~));

par ^un calcul immédiat utilisant la

propriété

^de

cocycle

du module de

quasi-invariance a,

c’est-à-dire

~)

⁼

a(gl,

^{on prouve}

que

la mesure

n’étant rien d’autre _que la

probabilité marginale ^(Mi, ... , Mn)Q

^du

processus de Markov

Mm

^{on obtient :}

puis

^{en utilisant}

^1.6,

et

enfin, d’après l’inégalité

^de

Jensen,

pour terminer il suffit de remarquer que la dernière

intégrale

converge

vers J

puisque (lIn) log ( ~ ~ M~

^{... tend} presque sûrement ^vers J

(le

théorème de

Lebesgue

^est

applicable

^{à cause de}

l’hypothèse Ho).

2.3. Il est temps d’introduire

l’hypothèse

essentielle de ce travail :

(Hi)

^{l’unité est un}

point

^{isolé du} spectre ^de

l’opérateur

^{N et le}

projec-

teur

spectral correspondant

^{est la}

projection

^{sur le} sous-espace de formé des fonctions constantes.

Vol. XVI, ^{n° 1-1980.}

54 G. ROYER

2 . 4 . THÉORÈME. - Les

hypothèses Ho

^et

H 1

^étant

vérifiées,

supposons que l’indice de

Ljapunov

^{J soit}

nul ;

il existe alors une famille

rable

03C0(g), g E SL,

^de

probabilités

^{sur P telle} que

03C0(g) = ( g’) -

pour ex-presque ^tout

couple (g, g’).

Démonstration. Comme

d’après

le lemme 2.2 le _rayon

spectral

^de

vaut

1,

il existe un

point À

^du spectre de fi dont le module soit 1. On sait que l’alternative suivante est une

conséquence

facile de la définition du spectre : ^ou bien il existe une suite _{~pn de} vecteurs de norme 1 appartenant à

L2(,u

^{@ tels}

que Il

converge ^vers

0,

^{ou bien}

l’opéra-

teur

(~ - ~,I)

^{a une}

image

^non

^{dense ;}

^{mais on} peut ^{ici se} désintéresser de la deuxième éventualité : en effet si il existe un vecteur ~p de norme 1

orthogonal

^{à cette}

image

^on

a ( ~p ~ _ ~, ~ ~p, ~p ~ _ ~,,

^{donc doit}

être colinéaire à _~p

puisque ~, j =

¹

et [

^~

1,

^{d’où =}

Dire

[

converge ^vers 0 revient à

dire, puisque ~

^est

une

contraction, que (

converge

vers À ;

posant

=

^ceci

implique

immédiatement

que ( ~n ~

converge ^vers

1,

c’est-à-dire que

l’intégrale

converge ^vers 1.

B~J /

en supposant que l’on a choisi un

représentant de fn qui

^{ne s’annule} pas, la formule

définit une fonction normalisée de Introduisons aussi

en

appliquant l’inégalité

^de

Schwarz,

compte ^{tenu de la}

quasi-invariance

de on obtient

Jn(g, g’)

1 pour

p-presque

^{tout g,} p-presque ^tout

g’,

1 dans

l’espace

^D’autre part,

toujours d’après l’inégalité

^de

Schwarz, O fn Il ~ 1,

^{cette fois dans}

L1(ex);

^la convergence de

In

⁼

g’)a(dg, dg’)

^{vers 1}

implique

^{donc la} convergence de la norme de

fn

(8)

fn

^{dans vers 1. Cette norme est} d’ailleurs

égale

au

produit scalaire ( Nfn,

^{et on va obtenir une} convergence bien

plus

forte :

2.5. LEMME. - La suite de

fonctions £

^{tend vers 1 dans}

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B

55

CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES

Démonstration. Il nous suffit d’établir

que ( f ’n, 1 ~

converge ^vers

1 ;

en supposant ^le

contraire,

^on peut ^{extraire une} sous-suite

fn

^telle que

cn = ~ fn, 1 &#x3E;

converge ^{vers un} nombre c

1 ;

^{on voit} alors que la ^norme

Il ln -

cn

Il I

^{tend vers}

(1

^-

c2) 1 ~2

^{et si l’on} pose

que ( Nun,

^{tend vers 1 et} que Un est

orthogonal

à la fonction 1. D’autre part, ^comme

L2(,u)

^{est somme} directe de ses

sous-espaces Cl

^{et 11}

qui

^sont

tous deux stables _par

N,

^le

spectre

^{de N} contient le

spectre

6’ de la restric- tion N’ de N à

11;

^{en outre} 6’ contient 1

puisque

^la convergence

de un

vers 1

implique

^celle

de ) Nun - un I I

^vers

^{0 ;}

^{enfin 1} étant isolé dans

o-’,

définit un

projecteur spectral

^{non nul}

(voir [1 ],

p.

573),

^ce

qui

^contredit

l’hypothèse H 1 puisque

⁼

+ ( ., 1 &#x3E;

^1.

2.6. Suite de la démonstration du théorème 2.4.

On déduit du lemme _que

fn

⁰

fn

converge ^vers 1 dans

L 1 (ex),

^ce

qui entraîne,

^en reportant ^dans

l’expression

^de

In

que

g’)a(dg, dg’)

^tend

vers

1 ;

^on peut donc par extraction de sous-suites se ramener au cas où

Jn

^et

ln

^ont presque partout pour limite

1,

par rapport aux mesures ex et ,u

respectivement.

Introduisons des mesures de

probabilité

^sur P par la formule

Pn(g, d~)

⁼

Yn(g,

^si

Il . Il I désigne

^{la norme} de la variation totale des mesures on a :

ou encore, ^en posant pour

simplifier vn(g’, ç)

⁼

a 1 ~2(g’, ~) yn(g’,

ainsi on voit _que

pn(g) - (g’)-1 pn(g’)

converge ^vers 0 sauf sur un ensemble

03B1-négligeable.

^{La fin} de la démonstration est fournie _par le lemme suivant : 2 . 7 . LEMME. - Soit une suite de fonctions

p-mesurables

^{à valeurs}

dans l’ensemble des

probabilités

^{sur le} compact ^{P. On} peut alors construire

une autre suite

nn(g)

^telle que :

1° pour ^{tout n,} la fonction _1[n est combinaison convexe d’un nombre fini de fonctions p p d’indices p &#x3E; n,

56 ^{G. ROYER}

2° pour p-presque ^tout g, la suite de

probabilités nn(g)

converge vague- ment vers une

probabilité

n(

g).

Démonstration. - Fixons une suite _qi de fonctions continues sur P

qui

soit dense dans

l’espace

^{de Banach} pour

chaque

ⁱ fixé considérons la suite de fonctions n - zi,n définie ^{par :}

cette suite étant bornée dans

L2(,u)

^{contient une} sous-suite

qui

converge faiblement dans cet espace ; par ^un

procédé diagonal

^on peut ^{donc se}

ramener au cas où _pour tout i la suite

(en n)

zi,n converge faiblement dans

L2(~c).

Ceci revient à dire

qu’on

^{considère une suite} zn dans

l’espace

^localement

convexe Z ⁼

(L2(,~))~

convergeant faiblement dans cet espace ^{vers un} certain élément u de coordonnées _ui. Par le théorème de Hahn-Banach

on peut ^{trouver une suite} xn convergeant ^{fortement vers u telle} que xn soit

une combinaison convexe d’un nombre fini de zp d’indices ^p

majorant n (car l’enveloppe

^convexe de l’ensemble des zp, p &#x3E; ^{n, admet la même} fermeture au sens faible

qu’au

^sens

fort).

Il existe manifestement des

proba-

bilités

n(g)

^{sur P telles} que, pour ^tout i,

n(g, qi)

⁼

u;(g)

pour presque tout g, ^et de même des

probabilités nn(g)

^vérifiant

qi)

^{= Par}

des extractions successives de

sous-suites,

^on

_peut

^s’assurer que pour tout

i,

la suite de fonctions _converge vers ui presque

partout

^{et non}

plus

seulement dans

L2(,u),

^ce

qui implique

que

nn(g)

converge pour la

topologie

vague ^vers

n(g),

pour presque tout g.

2. 8. Introduisons une nouvelle

hypothèse :

(H2)

les seules fonctions de

L2(,u) qui

soient invariantes _par

l’opéra-

teur N*N sont les constantes.

Comme N est une

contraction, H~

^{est vraie si et} seulement si

l’égalité Il implique que §

^{est une} constante. La forme

adoptée plus

haut pour ^cette

hypothèse

permet ^{de la vérifier}

plus

^aisément

(voir plus

bas

2 . I l),

^{suivant une}

suggestion

de Mokobodzki.

2.9. LEMME. ^-

L’hypothèse H~

^{est vérifiée si et} seulement si aucune

égalité ~p(g) _

^ne peut être vraie en dehors d’un ensemble

négligeable

pour ^{ce sans} que 03C6

et 03C8

^{soient des} constantes

(essentiellement

par rapport à

,u).

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B

57

CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES

Démonstration. - Partons de

H~

^{et soient} ~p

et §

^{deux éléments norma-}

lisés de

L2(,u)

^tels que

(~p(g) - dg’)

⁼

0 ;

^{on a alors}

on en tire

1/1) Il &#x3E; 1,

^donc

que 1/1

est constante. Pour la réci- proque, ^on part

de [[ § [[ N~ ~ ~ ,

^on pose ~p ⁼

N~

^{et on}

procède

^en

sens inverse

(on

peut

toujours supposer § réel).

De ce lemme et du théorème 2.4 découle immédiatement le critère de

Furstenberg :

^.’

2.10. THÉORÈME. ^-

Supposons

que les

hypothèses Ho, Hi, H2

^sont

vérifiées et

qu’il

^{n’existe aucune}

probabilité

^{sur P}

qui

soit invariante _par toute transformation

appartenant

^au support ^{de ,u. Alors J est} strictement

positif.

Remarques.

^{- 1 ° On} peut ^en

particulier appliquer

^ce critère dans le

cas

simple

^{où le} groupe fermé

engendré

par le

support

^de ,u est

égal

^{à SL.}

De

plus Furstenberg

^{a montré} que, pour ^toute

probabilité n

^sur

^SL,

^le

groupe des matrices unimodulaires conservant n est

compact

^ou

possède

un sous-groupe d’index fini

réductible,

c’est-à-dire laissant invariant un

sous-espace propre de ce

qui

^{fournit un critère}

plus approfondi (dont

une

application

^est donnée dans

[8 ]).

2° Le théorème 2.4 peut

permettre

^{de conclure} que J ^{est non} nul sans

que

l’hypothèse H2

^soit

vérifiée ;

par

exemple,

supposons que le support ^S de _{~c est} un ensemble fini et

qu’une partie

^{1 de S}

possède

^la

propriété

^sui-

vante : d’un élément

quelconque

^de

(I

^x

I)

ⁿ

(supp (ce))

^on

peut

passer à tout autre par des

changements

successifs de l’une ou l’autre

coordonnée,

les

points

intermédiaires restant dans le support ^{de ex}

(toujours

^{dans le}

cas où S est fini

H2 équivaut

^{en fait à cette}

propriété exprimée

pour 1 ⁼

S) ;

alors la nullité de J

implique, d’après

le théorème

2 . 4, qu’il

existe n invariante par tout g appartenant ^à

I,

^ce

qui

peut ^être contradictoire.

Pour la vérification

pratique

des diverses

hypothèses,

^nous

disposons

du résultat suivant :

2.11. PROPOSITION. ^- 1° Soit K le noyau markovien

58 G. ROYER

et soit aussi

si,

pour p-presque tout g, ^{la mesure}

Jl(dy)

^est absolument continue _par rapport ^à

K(g" dy), (respectivement :

par rapport ^à

K(g, dy)), l’opérateur

^N

agit ergodiquement

^dans

(respectivement : l’hypothèse H2

^est

vérifiée).

2°

Supposons qu’il

^{existe un entier} p, ^un réel b &#x3E;

0,

^une fonction h appartenant ^à 0

,u)

^{et un} noyau

positif R(g, dg’)

^tels que

et que

l’hypothèse Hi

1

équivaut

^{alors à}

l’ergodicité.

Démonstration. Si une fonction

f

^de

L2(~c)

^est invariante _par

N,

^elle

est aussi invariante _{par N*}

(d’après

les relations

donc _{par K.} On note que, si

f

^est invariante _par

K,

^{il en est de même}

de

f +,

^ce

qui

permet ^de se ramener au cas où

f

^est

positive (a priori

K f + f +,

^mais

l’égalité

découle de la relation

Soit C le convexe faiblement compact formé des fonctions de

L2(~c) qui

sont

positives, d’intégrale

^{1 et} invariantes _par

K ;

pour établir la

première partie

^{de la}

proposition,

il suffit de montrer que ^tout

point

^extrémal

f

de C est

égal

^à

1 ;

supposons le contraire. La fonction

f ’

^{= inf}

( f, 1)

^est

une fonction invariante et on est sûr alors _que

l’intégrale

^{ex de}

f ’

^{est stricte-}

ment

comprise

^{entre 0 et}

1 ;

^{comme on} peut ^écrire

l’hypothèse

d’extrémalité

impose f ’

⁼

ce£

^ce

qui

^n’est

possible

que

si j’

ne

prend

^que les valeurs 0 et

(1/ce). ^Or, d’après

^{la formule}

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B

59 CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES

et

l’hypothèse

^sur

^K,

la fonction

f

doit être strictement

positive

presque partout. ^On aboutit donc à une contradiction.

Pour démontrer l’assertion du

2°,

^{on va établir} que ^{sous ses}

hypothèses,

1

n’appartient

pas ^au spectre de la restriction de N à

11,

^ce

qui impli-

quera

H 1.

^{Si l’on} suppose le

contraire,

^{il existe une suite}

t/1n

de fonctions normalisées et

orthogonales

^{à 1 telle}

que ! ! I ~n - I

converge ^vers 0

(en

utilisant le même argument

qu’au

début de la démonstration du théo- rème

2 . 4).

^{Il est clair}

que ! ! I ~n - I

converge aussi vers

0,

^{et donc}

que Il

^{tend vers 1. D’autre} part, ^en extrayant ^une

sous-suite,

^on peut ^se ramener au cas où la suite admet une limite

faible 03C8

^dans

L2(,u) ;

on a alors ⁼

t/1,

et, ^comme la valeur _{propre 1} est

simple, 03C8

^{est une}

constante

qui

^ne peut être que

0, puisque 03C8

^est

orthogonale

^{à 1. Par}

hypo- thèse, l’opérateur

^{H défini} par le _noyau fonction h est un

opérateur

^de

Hilbert-Schmidt,

^{donc un}

opérateur

compact

(voir [ll ],

p.

210) ;

par

conséquent

^{la suite}

Ht/1n

^tend

fortement

^{vers 0. On aboutit a une contra-}

diction

puisque NPt/1n

⁼

Ht/1n

⁺

Rt/1n

^et que de

plus Il

^{1 - b}

(le

concept utilisé ici est celui

d’opérateur quasi-compact, qu’on

^trouve

dans

[6 ],

p.

200).

2.12. COROLLAIRE. ^- Le critère de

Furstenberg

^est

applicable

^{si la}

mesure a est

égale

^au

produit

^de ~c

Q ,u

par ^une fonction strictement

posi-

tive et bornée.

Remarque.

^{Pastur a donné une méthode} pour démontrer la stricte

positivité

^de J pour des chaînes de Markov de matrices de la forme

(x

-1)

1 0 ^;

mais ses calculs semblent nécessiter des

hypothèses plus

^fortes

que celles

proposées

^ici

(voir [10]).

§

^3.

COMPLÉMENT

SUR L’INDICE DE LJAPUNOV 3.1. Dans son article

[2 ], Furstenberg

^a

également

^{étudié le} comporte-

ment de la norme du vecteur aléatoire

Mn

^...

Mox lorsqu’on

^{a fixé un}

vecteur x dans

~d ;

^{ses résultats et méthodes se}

généralisent

facilement au cas markovien et même trouvent là leur cadre naturel comme nous allons

l’indiquer ci-dessous ;

^nous

rappellerons simplement

^les

grandes lignes

^de

sa démonstration en

signalant

les détails

qu’il

faut modifier. Introduisons

une autre

hypothèse :

(H3)

^la mesure ,u ^est

irréductible ;

^autrement

dit,

^aucun sous-espace

Vol. 1-1980.

60 G. ROYER

non trivial de R4 n’est laissé invariant _par le _groupe fermé

qu’engendre

^le

support ^de jM.

Les deux résultats

qui

^{suivent ne}

dépendent

pas de

l’hypothèse Hi.

3 . 2. THÉORÈME. - Sous les

hypothèses Ho, H2, H3,

pour tout vecteur x

non nul de la variable aléatoire

(1/n) log Mn

^... converge presque sûrement vers J

lorsque n

^{tend vers l’infini.}

La démonstration de ce théorème

(voir plus bas) suggère

^d’énoncer

des résultats d’un

type

^un peu

différent;

supposons donné un noyau

N(g, dg’)

^{sur une}

partie

compacte ^{K de SL}

(qu’on pourrait

^évidemment

prolonger

^{en un} noyau ^sur SL tout entier si l’on voulait avoir une nota- tion

parfaitement

^{cohérente avec le reste de}

l’article) ;

supposons aussi que N transforme toute fonction continue sur K en une fonction continue

sur

K,

que N

possède

^une

probabilité

invariante

unique ,u

^{et enfin} que ^sont vérifiées les

hypothèses H~

^et

H3.

3 . 3 . THÉORÈME. - Sous les conditions

précédentes,

^soit

Zn

^un processus de Markov

(qu’on

^ne suppose pas

stationnaire)

^à valeurs dans K et admet- tant N pour noyau de

transition ;

^alors

(1/n) log ( Il Zn

^... converge presque sûrement ^vers J pour x ^non nul.

3.4. PRINCIPE DE DÉMONSTRATION. ^- On commence par supposer que le

point

^de

départ x

^est lui-même aléatoire _ou,

plus précisément,

^est

une variable aléatoire

Xo

^{à valeurs}

0, globalement indépendante

des

Mn pour n &#x3E;

¹

(on

^exclut

Mo) ;

^autrement

^dit,

^{on munit r x}

(~d - 0)

d’une

probabilité

^en formant le

produit

^{d’une mesure de}

probabilité

sur SL ^x

((~d - 0)

par la mesure

image canonique

^de

Q

^sur

SL~~’ - °~.

On pose

X"

⁼

Mn-l

^...

MoXo

^{et on} considère la

classe ~"

^de

Xn

^dans

l’espace projectif.

^On voit alors _que le

couple (Mn, çn)

^{est un} processus de Markov de _noyau de transition

où E

désigne

^{la mesure de Dirac au}

point g~.

Le noyau admet des

proba-

bilités

invariantes ;

pour le

voir,

^{on note} que l’ensemble des

probabilités

sur SL ^x P

qui

^se

projettent suivant ,u

^{est un convexe} compact ^invariant

par N lorsqu’on

le munit de la

topologie

^{de la} convergence

simple

pour la dualité avec les fonctions de

~(P)), topologie

que m’a

signalé Ledrappier.

Choisissons la loi de

(Mo, ço)

^{comme étant un}

point

^{extrémal TI}

du convexe des

probabilités

invariantes _par ~,~ et se

projetant

^suivant ~c ; le _processus

(Mn, çn)

^{est alors} stationnaire et

ergodique ;

^en

appliquant

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B

61

CROISSANCE EXPONENTIELLE DE PRODUITS DE MATRICES ALÉATOIRES

le théorème

ergodique,

^{on obtient la} convergence presque sûre de

(lin) log Il), qui

^est

égal

^à

vers la constante

où _p est la fonction provenant par passage ^au

quotient

^de la fonction

Il gx I I / ( I x I ~ (on

^note la relation a ⁼

p-d,

fondamentale _pour la démons- tration _par

Furstenberg

^{de son}

critère).

Pour

continuer,

l’essentiel est de prouver que

Jn

^ne

dépend

pas de

n ;

on remarque pour cela _que l’ensemble des éléments

(g, x)

^tels que

(1/n) log ( ~~ ~ Mn

^{... tende} presque sûrement ^vers

Jn

^{a une}

image

dans SL x P dont la mesure pour II ^vaut

1 ;

^ce

qui

^va permettre ^{de montrer} que

Jn majore

tout autre

Jn.,

compte ^{tenu de la}

propriété

suivante : soit ng

une

désintégration

^{de TI selon la}

première projection

^et

Vg

^le

^{plus petit}

sous-espace

projectif

portant ng, alors p-presque sûrement

Vg

⁼

^{P ;}

^cette

propriété

^{se démontre comme} suit : de l’invariance de la mesure II

par N

et du lemme

2.9,

^{on déduit}

que Vg

^ne

dépend

pas de _g, ce

qui

^{conduit à}

Vg

^{= P à cause} de l’irréductibilité de _,u.

Pour terminer on montre que si le théorème 3.2 était faux on

pourrait construire,

^en utilisant des _moyennes de Césaro convenables

(voir [2],

p. 409 et

suivantes),

^une

probabilité

^FI invariante et se

projetant suivant ,u

telle _que

Jn

s’écarte de la valeur commune mise en évidence auparavant

(qu’on

identifie à l’indice de

Ljapunov) ;

^cette construction utilise en

parti-

culier le fait _que

l’espace ~(P)), qui

s’identifie à un espace de fonctions

sur SL x

P,

^est laissé invariant _par

~V’ ,

^ce

qui

^permet de construire II

comme forme linéaire sur cet espace. Pour le théorème 3.3 la méthode

est la

même,

^mais pour finir on trouve II comme forme linéaire sur

n

(SL

^x

K),

^{en se servant du fait}

que (1/n) 03A3 f(Zk)

converge presque sûre-

k=0

ment vers

,u( f )

pour ^toute fonction continue

f

^{sur K.}

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^N. DUNFORD, J. T. SCHWARTZ, ^Linear operators, ^New York, ^John Wiley ^and Sons, ^2e édition, ^t. 1, 1964.

Vol.

62 ^{G. ROYER}

[2] ^H. FURSTENBERG, Noncommuting ^random products. Trans. ^{Amer. Math.} Soc.,

t. 108, 1963, p. 377-428.

[3] ^H. FURSTENBERG, H. KESTEN, Products of random matrices. Ann. Math. Statis.,

t. 31, 1960, p. 457-469.

[4] ^{I. YA.} GOL’DSHTEIN, S. A. MOLCHANOV, ^L. A. PASTUR, A pure point spectrum of the stochastic one-dimensional Schrödinger operator. ^{Funct. Anal.} Appl.,

t. 11-1, 1977, p. 1-10.

[5] ^Y. GUIVARC’H, Quelques propriétés asymptotiques ^des produits de matrices aléa- toires. École d’été de probabilités ^de Saint-Flour, ^{1978. Lectures notes in mathe-} matics, Berlin, Springer (à paraître).

[6] ^S. KAKUTANI, ^Y. YOSIDA, Operator-theoretical ^treatment of Markoff’s _process.

Ann. Math., ^t. 42-1, 1941, p. 188-228.

[7] ^H. KUNZ, B. SOUILLARD (travaux ^à paraître).

[8] ^K. ISHII, ^H. MATSUDA, Localisation of normal modes and _energy transport ^{in the} disordered harmonic chain. Progr. ^Theor. Phys. Suppl., ^t. 45, 1970, p. 56-86.

[9] ^J. NEVEU, ^Bases mathématiques du calcul des probabilités. Paris, Masson, ^1964.

[10] ^{L. A.} PASTUR, Spectre des matrices de Jacobi aléatoires et équations ^{de Schrô-} dinger aléatoires sur l’axe entier. Preprint, institut des basses températures,

Akad. Nauk. Ukr. S. S. R., 1974, ^non publié.

[11] ^M. REED, ^B. SIMON, ^Methods of modern mathematical physics, ^t. 1, New York, Academic Press, 1972.

[12] ^{D. RUELLE,} Ergodic theory of differentiable dynamical systems. Preprint ^{I. H. E.} S., 1978, Bures-sur-Yvette, France.

Note. ²⁰¹⁴ Les trois articles suivants me furent signalés après ^une première ^diffusion

du présent travail. Ils contiennent des études de l’indice de Ljapunov pour des produits

markoviens de matrices et le troisième de ces articles est très proche ^{du mien. Les}

méthodes de démonstration sont cependant ^assez différentes.

[13] ^{S. A.} MOL010CANOV, ^{The structure of} eigenfunctions of one-dimensional unordered structures. Math. U. S. S. R. Izvestija, ^vol. 12-1, 1978, p. 69-101.

[14] ^Y. GUIVARC’H, Marches aléatoires à pas markovien. C. R. Acad. Scien., Paris, 1979.

[15] ^{A. D.} VIRSTER, Sur les produits de matrices et les opérateurs aléatoires. Th. of

Proba. and Appl., ^t. 24-2, 1979, p. 361-370.

(Manuscrit reçu le 23 novembre 1979)

Annales de l’Institut Henri Poincaré-Section B