République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche
scientifique
UNIVERSITÉ MOHAMMED SEDDIK BEN YAHIA - JIJEL FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET INFORMATIQUE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
MEMOIRE
Présenté pour l’obtention du diplôme de
MASTER
Spécialité : Mathématiques.
Option : Probabilités et Statistique.
Thème
Matrices Aléatoires et Application
Présenté par :
- Boufekroune Amina -Boutaoua Ilham Devant le jury :
Président : M. Gherda M.A.A Université de Jijel
Encadreur : S. Stihi M.C.B. Université de Constantine 1 Examinateur : M. Madi M.A.A Université de Jijel
Promotion 2019/2020
ERemerciementF H G
Remerciement avant toute considération, nous remercions le Grand DIEU le tout puissant qui, nous a aidé à achever ce travail.
Nous tenons à remercier en premier lieu notre encadreur Mme STIHI SARA de nous avoir proposé ce thème et pour sa continuité à nous soutenir et à
nous encourager.
Nous aimerions aussi de remercier cher monsieur Mebrouk Gherda Nous aimerions aussi de remercier les membres des jurys pour avoir accepter
de discuter notre mémoire.
Nous remercions aussi toute personne ayant contribué de prêt de loin a la finalisation de ce travail.
♠ILHAM − AM IN A♠
E Dédicaces F H G
Je dédie ce travail :
A
La femme la plus affectueuse et la plus douce au monde, ma très chère Mère, pour tous ses sacrifices, soutiens, encouragement et sa
amours qui ont été la raison de mon réussite.
? ? ?
AMon Père, qui m’a été enlevé par la mort avant d’avoir assisté au moment de l’obtention du mon diplôme
? ? ?
AMes Soeurs : Halima, Wahiba, Fatiha et leur enfants Mes Frères : Nadir, Abase, Yassin, Bachir, M.Elhadi(Hamada) pour leur disponibilité à entendre mes frustrations et les sources de
mon stress.
Je les souhaite de bonheur et de réussite dans leur vie.
? ? ?
Amon Fiancé BILAL qui était soutenu réellement pour moi.
? ? ?
AMa collègue ILHAM
? ? ?
AMes très chères Amies : Ahlem, Rima, Madiha, Wafia, Meryem et mes cousines : Rabiaa, Bouchra.
et tous ceux qui j’aime et qu’ils m’aiment.
J’espère que notre amitié sera éternelle.
♥AM IN A♥
E Dédicaces F H G
Je dédie ce travail :
A
à mon Père ALI et ma Mère YAKOUTA décédés trop tôt qui m’ont toujours motivé et pousse dans mes études puisse Allah le tout
puissant les avoir dans sa saint miséricorde.
? ? ?
AMes Soeurs : Fahima(Nacer), Hayat(Fayssal), Souhiala(Atef) et Nawal(Nadir)
AMes Frères : Mabrouk(Linda), Tarek(Sarah), Hatem(Tomass) pour leur disponibilité à entendre mes frustrations et les sources de
mon stress.
Je leur souhaite de bonheur et de réussite dans leur vie.
? ? ?
ALes Enfants : Alaa, Riham, Hounaida, N.E.Houda, Meriem, Oumaima, Malek , Djad, Assil, Amir, Ali Omar, Ibrahim et Razan
? ? ?
Amon Fiancé HAMZA qui était soutenu réellement pour moi.
? ? ?
AMa collègue AMINA
? ? ?
AMes très chères Amies : Madiha, Rima, Halima, Wafia, Nacira, et ma cousine : Bouchra.
et tous ceux qui j’aime et qu’ils m’aiment.
J’espère que notre amitié sera éternelle.
♥ILHAM♥
Résumé
En concevant les mathématiques comme un graphe, où chaque sommet est un do- maine, la théorie des probabilités et l’algèbre linéaire figurent parmi les sommets les plus connectés parmi aux autres. Or leur réunion constitue le coeur de la théorie des matrices aléatoires. Cela explique peut-être la richesse exceptionnelle de cette théorie très actuelle.
Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à cette théorie, ses propriétés et ses appli- cations.
A cet effet, dans un premier temps, nous avons présenté quelques notations et définitions fondamentales concernant les ensembles gaussiens.
Dans un deuxième temps, nous avons parlé sur un autre ensemble des matrices aléatoires.
aussi les processus matriciels.
On termine notre travail par une application, on a utilisé la technique de perturbation pour trouver les équations différentielles stochastiques des valeurs propres et vecteurs propres pour le système de Wishart.
Mots-clés : Matrice aléatoire ; matrice de Wigner ; les ensembles gaussien (E.G.O, E.G.U.) ; matrice de Wishart ; les processus matriciels ; les processus de Wishart ; les valeurs propres ; les vecteurs propres ; E.D.S. matricielle.
Abstract
By conceiving mathematics like a graph, where each top is a field, the theory of probability and the linear algebra appear among the tops most connected to the others.
However their meeting constitutes the heart of the theory of random matrix. Perhaps that explains the exceptional richness of this very current theory. In this work, we were interested in this theory its properties and its applications.
For this purpose, initially, we presented some fundamental notations and definitions con- cerning the Gaussian ensembl
In the second time, we have speking on another ensemble of random matrix. that’s Wisart ensemble, and also matrix processes.
we completes our work by an application, we used the Perturbation technique to find the stochastic differential equations of eigenvalues and eigenvectors for Wishart system.
Key words: Random matrices ; Wigner Matrix ; Gaussien ensembles (O.G.E, U.G.E) ; Wishart matrix ; Matrix processes ; Wishart processes ; eigenvalues ; eigenvcters ; Matrix S.D.E..
TABLE DES MATIÈRES
Introduction 3
1 Introduction à la théorié des matrices aléatoires 5
1.1 Ensemble de Wigner . . . . 5
1.1.1 Loi spectral et convergence des valeurs propres . . . . 6
1.1.2 Théorème de Wigner . . . . 10
1.2 Principaux ensembles des matrices aléatoires . . . . 12
1.2.1 Loi des matrices aléatoire . . . . 12
1.2.2 Ensemble gaussien orthogonal (GOE) . . . . 18
1.2.3 Ensemble gaussien unitaire (GUE) . . . . 18
1.2.4 Mesure de Haar : distribution uniforme . . . . 19
1.2.5 Densité des valeurs propres et fonctions de corrélation . . . . 21
2 L’ensemble de Wishart et processus matriciels 24 2.1 L’ensemble de Wishart . . . . 24
2.1.1 Analyse en composantes principales (ACP). . . . . 24
2.1.2 Matrice de Wishart . . . . 27
2.1.3 La loi de Wishart et distribution des valeurs propres . . . . 28
2.2 Processus matriciels . . . . 29
2.2.1 Processus stochastique d-dimensionnel . . . . 29
TABLE DES MATIÈRES
2.2.2 Processus matriciels . . . . 32
2.3 Processus de Wishart . . . . 35
2.3.1 Le carré de Bessel . . . . 35
2.3.2 Les processus de Wishart . . . . 37
3 Application 39 3.1 EDS des valeurs propres et vecteurs propres . . . . 39
3.2 Temps de collision . . . . 46
Conclusion 49
Bibliography 50
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Les sources historiques de la théorie des matrices aléatoires sont multiples. Parmi les plus connues, on trouve les travaux du statisticien Wishart dans les années 1920-1930 lors de la naissance de la statistique mathématique, les travaux de Goldstine et Von Neumann dans les années 1940-1950 lors de la naissance de l’informatique et de l’analyse numé- rique, les travaux de Wigner, Mehta, et Dyson dans les années 1950-1960 en physique nucléaire, à la jonction entre mécanique quantique et mécanique statistique. Il y a ensuite les travaux de Marchenko Pastur, Girko, Bai, et Silverstein. dans les années 1960-1980, puis une multitude de travaux plus modernes, balayant un spectre étonnamment vaste incluant opérateurs de Schrödinger, physique statistique, systèmes intégrables, systèmes de particules en interaction, algèbre d’opérateurs et théorie des probabilités libres de Voi- culescu, topologie et combinatoire, combinatoire additive et graphes aléatoires, polynômes orthogonaux, équations différentielles de Painlevé, problèmes de Riemann-Hilbert, ana- lyse harmonique, théorie des nombres et hypothèse de Riemann, analyse géométrique de grande dimension, analyse numérique, classification statistique, théorie du signal et ana- lyse d’images, etc.
La motivation originelle de Wishart était d’étudier la matrice de covariance empirique des échantillons gaussiens multivariés. Cette matrice de covariance empirique est une matrice hermitienne aléatoire semi-définie positive, appelée aujourd’hui matrice de Wishart.
Plus récemment Girko utilisé la technique des perturbations pour donner les équations
Introduction
différentielles stochastiques des valeurs propres et des vecteurs propres pour un processus matriciel.
L’objet de ce travail est d’utiliser le calcul stochastique matriciel et plus particulièrement, le calcul d’Itô, matrice qui permet de trouver les équations différentielles stochastiques satisfaite par un processus matriciel.
Notre mémoire est composée des trois chapitres, On commence le premier chapitre qui contient l’ensemble de Wigner et les deux ensembles gaussiens (GOE)(GUE).
Dans le second chapitre a été consacré à une autre l’ensemble des matrices aléatoires, ensemble de Wishart et l’étude du calcul stochastique matriciel ainsi que les processus matriciel.
Dans le dernier chapitre on applique la technique de perturbation pour trouve les équations différentielles stochastiques des valeurs propres et des vecteurs propres d’un processus de Wishart.
CHAPITRE 1
INTRODUCTION À LA THÉORIÉ DES MATRICES ALÉATOIRES
Dans certaines études probabilistes en physique, en informatique, ou dans d’autres branches des mathématiques, il arrive que l’on étudie simultanément plus d’une variable aléatoire.
Par exemple, dans le cadre du théorème central limite, on est amené à étudier une suite de variables aléatoires. Dans le cadre de l’étude de loi jointe, on peut être amené à étudier simultanément un nombre fini de variables aléatoires, mais il arrive également, par exemple dans le cas d’étude de spectre d’atomes lourds en physique, que l’on soit amené à étudier un ensemble fini de valeurs propres, que l’on étudie non pas comme un vecteur de variables aléatoires, mais qu’on représente sous la forme d’une matrice : on étudie donc une matrice aléatoire.
1.1 Ensemble de Wigner
La théorie des matrices aléatoires a connu un nouvel essor dans les années 50 par les travaux de Wigner en physique nucléaire. Dans la théorie quantique, les niveaux d’énergie d’un système atomique sont les valeurs propres d’un opérateur hermitien sur un espace de Hilbert : l’Hamiltonien du système. Lorsque le système atomique est complexe, ces
1.1. Ensemble de Wigner
niveaux d’énergie ne peuvent pas être étudiés explicitement. Wigner a alors eu l’idée de modéliser l’Hamiltonien d’un tel système par une matrice Hermitienne aléatoire de grande taille.
Soit :
M =
M1,1 · · · M1,N ... . .. ... MN,1 · · · MN,N
une matrice aléatoire de taille N ×N où M11, ..., MN N sont variables aléatoires
soit (λ1,...,λN) les valeurs propres associées de la matrice M (sont ordonnées de sorte) Définition 1.1.1. (Matrice de Wigner) : Une matrice hermitienne aléatoireMN de taille N est une matrice de Wigner si :
• Les parties réelles et parties imaginaires des (MN)ij sont (iid), ont une moyenne nulle et une variance égale à 12 (pour i < j).
• Ses coefficients diagonaux sont (iid), ont une moyenne nulle et une variance 1.
Ils sont indépendants des coefficients non diagonaux.
1.1.1 Loi spectral et convergence des valeurs propres
L’idée de Wigner était d’étudier le comportement des valeurs propres de la matrice lorsque la dimension N de cette matrices tend vers l’infini, pour ce on s’intéres à la loi uniforme sur le spectre.
Définition 1.1.2. Le spectre d’une matrice M est l’ensemble de ces valeurs propres et se note Sp(M)
Définition 1.1.3. : On appelle loi spectrale d’une matrice aléatoire MN la mesure : LN = 1
N
N
X
i=1
δλi
√N où : δλi représente la mesure de Dirac
1.1. Ensemble de Wigner Théorème 1.1. Soient (Wij,1 ≤ i ≤ j) des variables aléatoires réelles indépendantes telles que(Wij,1≤i < j)ont même loi symétrique et de variance 1, admettant un moment d’ordre4 +αpour un certain α >0. et lesWii ont même loi satisfaisantE{(W11+)2}<∞.
Soit WN une matrice N ×N telle que (WN)ij =Wij,1≤i≤j ≤N.
Alors la plus grande valeur propre de WN converge presque surement vers 2 quand N →+∞.
Démonstration. On a le lemme suivant :
lemme 1.1. (1) Soit X une variable aléatoire telle que E(|X|2)<∞ alors
∞
X
m=1
2mP(|X| ≥2m2)<∞
(2) lim
N→+∞max
i
Wii+
√N = 0 presque surement, où Wii sont des variables aléatoires diago- nales positives.
(3) Soit X une variable aléatoire telle que E(|X|4+α) < +∞, pour un certain α > 0.
Soit (δN)N≥1 la suite définie par
δN(N1)2(4+α)α 22(4+α)α Alors
X
m≥1
22mP(|X|> δ2m+12m2 )<+∞
(4) Soit
ak(N) = E
1
NT r(MN2k)
Alors pour tout >0, pour N suffisamment grand et tout k ≤δ−
1 3
N
ou δN = (N1)2(4+α)α 22(4+α)α
ak+1(N)≤(1 +)
k
X
l=0
al(N)ak−l(N) Démonstration. Voir [4]
Soit 0< <1. soit f une fonction positive continue bornée à support dans [2−; 2]
strictement positive sur [2−34; 2− 4]. sur un ensemble de probabilité 1,
∀ >0,N1
N
X
i=1
f(λi(WN
√N)) converge vers R f(x)µsc(dx)>0.
et donc, pourN suffisamment grand, λmax(W√N
N)≥2−. On peut donc en déduire
lim inf
N→+∞λmax(WN
√N)≥2.
1.1. Ensemble de Wigner
Nous allons maintenant démontrer que presque surement, lim sup
N→+∞
λmax(WN
√N)≤2.
Nous allons tout d’abord démontrer que nous pouvons remplacer les éléments diagonaux de la matrice WN par des zeros.
On défini ˜WN par :
( ˜WN)ij = (WN)ijsi i6=j ( ˜WN)ii= 0 sinon On a :
λmax(W√N
N) = sup
x,||x||=1
hWN
√Nx, xi
= sup
x,||x||=1
{X
i6=j
(WN)ij
√N xjxi+X
i
(WN)ii
√N x2i}
≤ sup
x,||x||=1
{X
i,j
( ˜WN)ij
√N xjxi}+ max
i
Wii+
√N
≤ λmax(W√˜N
N) + max
i
Wii+
√N On a donc presque surement
N→+∞lim supλmax( WN
sqrtN)≤ lim
N→+∞supλmax( W˜N
√N).
Il suffit donc de démontrer que presque surement lim
N→+∞supλmax(W˜N
√N)≤2
Nous allons maintenant démontrer que nous pouvons tronquer les éléments hors diagonale de la matrice ˜WN. Définissons ˆWN en posant pouri6=j,( ˆWN)ij = ( ˜WN)ij1|(W
N)ij|≤δN
√ N
où
δN = (N1)2+(4+α)α 22+(4+α) et ( ˆWN)ij = 0.
D’après Lemme(3),
X
m≥1
P(|W12|> δ2m+12m2)<+∞
Soit
Ak={∃N ≥2k,∃(i, j)∈ {1, ..., N}2, i < j,|(WN)ij|> δN√ N} On aAk+1 ⊂Ak donc P(∩Ak) = lim
k→∞P(Ak).
De plus
P(Ak)≤P( ˜WN =WN; pour N grand)
1.1. Ensemble de Wigner
Or
P(Ak) =P( [
N >2k
[
1≤i<j≤N
{|Wij|> δN√ N})
=P( [
m>k
[
2m<N≤2m+1
[
1≤i<j≤N
{|Wij|> δN√ N})
≤
∞
X
m=k
P( [
2m<N≤2m+1
[
1≤i<j≤N
{|Wij|> δN√ N})
≤
∞
X
m=k
P( [
2m<N≤2m+1
[
1≤i<j≤N
{|Wij|> δ2m+12m2 })
≤
∞
X
m=k
P( [
1≤i<j≤2m+1
{|Wij|> δ2m+12m2})
≤
∞
X
m=k
22(m+1)P(|W12|> δ2m+12m2) On en déduit donc que lim
k→∞P(Ak) = 0 puis P(Ak)≤P( ˜WN = ˆWN, pour N grand) = 1.
La suite de la preuve va donc consister a démontrer que presque surement,
Nlim→∞supλmax(MN)≤2 (1.1)
oùMN = W√ˆN
N.
Donc on utilise la Méthode des grandes traces : Nous avons pour toutk ≥1 et tout >0,
P
λmax(MN)>2(1+)
≤P
T r(MN2k)>22k(1+)2k
≤ 1
22k(1 +)2kE(T r(MN2k)) (1.2) En permettant ak de tendre vers l’infini avec N, un choix judicieux de kN nous donnera
X
N
1
22kN(1 +)2kNE(T r(MN2kN))<+∞
permettant de conclure par le lemme de Borel-Cantelli que presque surement
N→∞lim supλmax(MN)≤2(1 +). (1.1) en découlera alors aisément.
Il s’agit donc d’estimer E(T r(MN2kN)) pour un choix judicieux de puissance kN tendant vers l’infini avec N. Cette méthode est appelée Méthode des grandes traces.
On commencer la preuve de (1.1) : soit >0. soit S une variable aléatoire suivant la loi du demi-cercle de variance 1 :
µsc(dx) = 1 2π
√
4−x21[−2,2](dx)
Soit X =√
1 +S. X suit la loi du demi-cercle de variance 1 + µsc(dx) = 1
2π(1 +)
q
4(1 +)−x21[−2√1+,2√1+](dx)
1.1. Ensemble de Wigner En utilisant la relation de récurrence de nombre de catalan satisfaite par les moments pairs deS, on déduit aisément que la suite {a∗k}k≥0 des moments pairs de X
(i.e ak =E(X2k)) satisfait :
a∗0 = 1
a∗k+1 = (1 +)
k
X
l=0
a∗la∗k−l.
On a a∗0 = 1 =a0(N) et a1(N)≤1<(1 +) =a∗1. D’après Lemme (4), il existe N() tel que∀N ≥N(), pour tout k ≤δ−
1 3
N ,
ak+1(N)≤(1 +)
k
X
l=0
al(N)ak−l(N)
Soit 1≤k ≤δ−
1 3
N , supposons que ∀N ≥N() pour tout p≤k, ap(N)≤a∗p Alors
ak+1(N)≤(1 +)
k
X
l=0
a∗la∗k−l
On obtient donc par récurrence que ∀N ≥N(), pour tout k ≤δ−
1 3
N , ak(N)≤a∗k
Or a∗k =R µsc(dx) = 2π(1+)1 1[−2√1+,2√1+](x)x2kq4(1 +)−x2(dx)≤(2√
1 +)2k. Donc∀N ≥N(), pour tout k ≤δ−
1 3
N ,
ak(N)≤22k(1 +)k.
Nous obtenons donc d’après (1.2), ∀N ≥N(), pour tout k ≤δ−
1 3
N , P(λmax(MN)>2(1 +))≤ N
22k(1 +)2k(1 +)k ≤N(1 +)−k Choisissons kN tel que logkNN →+∞ et∀N ≥N(), kN ≤δ−
1 3
N , Alors pourN grand N(1 +)−k ≤exp(−CkN), et
X
N
P(λmax(MN)>2(1 +))<+∞.
1.1.2 Théorème de Wigner
Le théorème suivante a été dégagé par Eugene Wigner dans les années 1950.
1.1. Ensemble de Wigner Théorème 1.2. : Soit (Wij,1≤ i ≤j) des variables aléatoires indépendantes telles que E(Wij) = 0 pour tout 1≤i≤j et E(|Wij|2) = 1 pour tout 1≤i < j
On suppose de plus que
∀k, sup
i,j
E(|Wij|k) =Ck<+∞.
SoitWN une matriceN×N symétrique telle que (WN)ij =Wij pour tout 1≤i≤j ≤N.
alors presque surement, la mesure spectrale LN converge étroitement vers la loi du demi- cercle µsc définie par :
µsc(dx) = 1 2π
√
4−x21[−2,2](dx)
c’est-à-dire : presque surement, pour tout fonction f continue bornée,
Nlim→+∞
Z
f(x)LN(dx) =
Z
f(x)µsc(dx).
La loi du demi-cercle est aussi appelée loi semi-circulaire ou encore loi de Wigner.
Démonstration. Il existe plusieurs preuves du théorème de Wigner, vous pouvez consulter les référence [4], [14]
Figure 1.1 – Un histogramme de la répartition des valeurs propres d’une matrice symé- trique aléatoire 4000×4000, composée des variables aléatoires i.i.d. normales standards.
En rouge : la loi du demi-cercle.
Remarque 1.1.1. Les valeurs propres d’une matrice étant des fonctions continues des entrées de la matrice, pour toute fonction f continue, R f(x)LN(dx) = N1 PN
i=1
f(λi(W√N
N)) est bien mesurable.
Remarque 1.1.2. Si plus généralementE(|Wij|2) =σ2 (au lieu de 1), avec probabilité 1, pour toute fonction continue bornée,
1 N
N
X
i=1
f(λi(WN
√N)) = 1 N
N
X
i=1
f(σλi( WN
√σN))−→N→+∞
Z
f(σx)µsc(dx) =
Z
f(x)µ(σ)sc (dx) oùµ(σ)sc est la loi du demi cercle de moyenne nulle et de varianceσ2 et admet pour densité :
µ(σ)sc (dx) dx = 1
2πσ21[−2σ,2σ](x)√
4σ2−x2dx
1.2. Principaux ensembles des matrices aléatoires
1.2 Principaux ensembles des matrices aléatoires
1.2.1 Loi des matrices aléatoire
Il s’agit de donner la densité P(M) d’une matrice aléatoire M pour les ensembles gaussien
lemme 1.2.Tous les invariants d’une matriceM0 de tailleN×N sous les transformations de similarité unitaire A :
M −→M0 =AM A−1 (1.3)
peut être exprimée en termes des traces de N premières puissances de M.
En fait, la trace de la j-éme puissance deM est la somme des puissances j de ses valeurs propres λk, k= 1,2, ..., N, de M :
T r(Mj) =
N
X
k=1
λjk =Pj (1.4)
lemme 1.3. Si trois fonctions fk(x); k = 1,2,3 sont continues et dérivables et satisfont à l’équation
f1(xy) =f2(x) +f3(y) (1.5)
alors ils sont nécessairement de la forme aln(x) +bk, k= 1,2,3 avec b1 =b2+b3 Démonstration. En différenciant (1.5) par rapport àx, nous avons :
yf1(xy)0 =f2(x)0 Par intégration par rapport ày ceci donne :
1
xf1(xy) =f2(x)0ln(y) + 1
xg(x) (1.6)
oùg(x) est une fonction arbitraire.
En remplaçantf1(xy) de (1.5) en (1.6), on obtient :
f3(y) = xf2(x)0ln(y) +g(x)−f2(x) (1.7) Donc le coté gauche de (1.7) doit être indépendant de x. Ce qui est possible uniquement si :
xf2(x)0 =aetg(x)−f2(x) =b3 C’est uniquement si :
f2(x) =aln(x) +b2 =g(x)−b3
1.2. Principaux ensembles des matrices aléatoires oùa, b2 et b3 sont des constantes arbitraires.
Maintenant (1.7) donne :
f3(x) =aln(y) +b3 Enfin (1.5) donne
f1(xy) = aln(y) +b3+b2
Nous allons montrer le théorème suivant qui donne la forme de la densité P(M) Théorème 1.3. (Porter et Rosenzweig) Dans les ensembles de matrices aléatoires, la densité P(M) admet l’expression suivante :
P(M) = exp(−aT r(M2) +bT r(M) +c) (1.8) où a est un réel positif, b et c sont des réels quelconques.
Démonstration. Nous examinons d’abord les conséquences de l’indépendance des diffé- rentes composantes de M.
Considérons un exemple de transformation particulièreTU définie par :
M −→TU(M) = M0 =U M U−1 (1.9) oùU est une matrice dépendant d’un paramètreθ donné par :
U =
cosθ sinθ 0 · · · 0
−sinθ cosθ 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0
... ... . .. ...
0 0 0 ... 1
Dans ce cas la matriceU est orthogonale, symplectique et unitaire.
La différenciation de (1.9) avec M0 =U M U−1 =U M UT, par rapport à θ donne :
∂M0
∂θ = ∂U
∂θ M UT +U M∂UT
∂θ = ∂U
∂θUTM0+M0U∂UT
∂θ (1.10)
Nous déduisons :
∂M0
∂θ =ATM0+M0A=M0A−AM0 (1.11) ouA=U∂U∂θT etAT =−A
Nous obtenons :
A=U∂UT
∂θ =
0 −1 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0
... ... . .. ...
0 0 0 ... 0
