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TD 8
Moments, variance et covariance
Exercice 1. Loi exponentielle.
Soit X ∼ E (λ). Calculer l’espérance, la variance et la médiane de X.
Exercice 2. Moments de la Gaussienne.
Soit X ∼ N (0, 1). Calculer m
n:= E [X
n] pour tout n ∈ N
∗. Exercice 3.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, où Var (X) = 1 et Var (Y ) = 2.
Calculer Var (Z ), où Z = 2X − Y − 5.
Exercice 4.
Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire continu, de densité
f (x, y) = kx 1
[0,1]2(x, y),
où k est une constante. Calculer Cov (X, Y ).
Exercice 5.
Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire continu, de densité f(x, y) = k
√ xy 1
D(x, y ),
où D = {(x, y) ∈ R
2, 0 < x ≤ y ≤ 1} et k une constante positive à déterminer.
1. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 2. Déterminer les densités de X et Y .
3. Calculer E [X] et E [Y ].
4. Calculer Cov (X, Y ).
Exercice 6.
Donner un exemple de deux variables aléatoires X et Y telles que Cov (X, Y ) = 0 mais X et Y ne soient pas indépendantes.
Exercice 7.
Soit X une variable aléatoire réelle de carré intégrable. Montrer que Var (X) = inf
a∈R
E
(X − a)
2.
1
Exercice 8. Moments et fonction de survie.
Soit X une variable aléatoire réelle positive. Montrer que pour tout p ≥ 1,
E [X
p] = Z
∞0
p t
p−1P [X > t] dt.
Indication : commencer par montrer que
E[Xp] = Z
R+
Z
R+
p tp−11t<xdtdP(x).
Exercice 9. Loi faible des grands nombres.
Soit (X
n)
n∈N∗une suite de variables aléatoires i.i.d (indépendantes et identiquement distribuées) de carré intégrable.
1. Calculer E h
Pni=1Xi
n
i
et Var
Pn i=1Xin
.
2. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en déduire que pour tout ε > 0,
P
P
n i=1X
in − E [X
1]
≥ ε
n→∞
−→ 0.
Remarque : on dit que la suite de variable aléatoires (
Pn i=1Xi
n
