PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2002
Calculer : ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
cos et sin
n n
k k
n n n n
k k
a θ C k θ b θ C k θ
= =
= ∑ = ∑ .
Analyse
L’idée consiste ici à ne mener qu’un calcul après avoir fait apparaître une somme classique de complexes.
Résolution
On considère : cn
( )
θ =an( )
θ +ibn( )
θ . On a :( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ( ) )
0 0
0
0
0
cos sin
cos sin
n n n
n n
k k
n n
k k
n k n k
n k ik n k
n k i k
n k
c a ib
C k i C k
C k i k
C e
C e
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
= =
=
=
=
= +
= +
= +
=
=
∑ ∑
∑
∑
∑
En fait, on a utilisé ci-dessus la formule de MOIVRE :
(
cosθ+isinθ)
k =cos( )
kθ +isin( )
kθ .En utilisant la formule du binôme, il vient alors :
∑
kn=0(
Cnk( )
eiθ k)
= +(
1 eiθ)
n.On a donc : cn
( )
θ = +(
1 eiθ)
n.Comme : an
( )
θ = ℜe c(
n( )
θ)
et bn( )
θ = ℑm c(
n( )
θ)
, il nous reste donc désormais à déterminer les parties réelle et imaginaire de(
1+eiθ)
n.PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2002
On a :
2
2
1 1 cos sin
2 cos 2 sin cos
2 2 2
2 cos cos sin
2 2 2
2 cos 2
i
i
e i
i
i
e
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ
+ = + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
D’où :
( )
22
1 2 cos
2 2 cos
2
2 cos cos sin
2 2 2
n i i n
in
n n
n n
e e
e
n n
i
θ θ
θ
θ θ
θ θ θ
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
+ = ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠
On en tire finalement :
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
2 cos cos
2 2
2 cos sin
2 2
n n
n n
n n
n n
a e c n
b m c n
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ℜ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ℑ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
Résultat final
( )
0
cos 2 cos cos
2 2
n
k n n
n k
C kθ θ nθ
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
∑
et
( )
0
sin 2 cos sin
2 2
n
k n n
n k
C kθ θ nθ
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠
