PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2002
Calculer : 1 3 1
n
i i
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ −
Appliquer avec n = 15 .
Analyse
L’élévation à une puissance non spécifiée d’un complexe donné s’écrit immédiatement si l’on connaît son module et son argument. Ici, il convient de les déterminer dans un premier temps.
Résolution
Soit donc : 1 3 1 z i
i
= +
− .
Le module de z s’obtient rapidement :
1 3
1 3 1 3 2
1 1 1 1 2 2
i i
z i i
+ + +
= = = = =
− − +
Nous pouvons maintenant récrire z pour en faire apparaître la partie réelle et la partie imaginaire :
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
1 3 1 1 3 1 3
1 3
1 1 1 2
i i i
z i
i i i
+ + − + +
= + = =
− − +
Nous mettons alors z en facteur pour obtenir z sous la forme : z= z
(
cosθ+isinθ)
:(
1 3) (
1 3)
1 3 1 32 2 2 2 2 2
1 1 3 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
i
z i
i
− + + ⎛ − + ⎞
= = ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠
⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎜⎝⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎟⎟⎠
Or, on a :
1 cos sin
4 4
2
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎜ ⎟⎝ ⎠, 1
2 cos 3
⎛ ⎞π
= ⎜ ⎟⎝ ⎠ et 3
2 sin 3
⎛ ⎞π
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2002
D’où :
1 1 3 1 7
cos cos sin sin cos cos
2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 12
π π π π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎜⎝ + ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠
et :
1 1 3 1 7
cos sin sin cos sin sin
2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 12
π π π π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎜⎝ + ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠
Il vient alors :
7
7 7 12
2 cos sin 2
12 12
z i ei
π π π
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠=
On en tire, finalement :
1 7 7
2 12 2 12
2 2
n n n
i i
zn e e
π π
⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
Pour n=15, il vient alors :
( )
( )
96 9 3
15 105 15 15 8
15 2 12 2 12 2 4
15 3 2 4 7
2 2 2
3 3
2 2 2 cos sin
4 4
1 1
128 2
2 2
128 1
i i i
i
z e e e
e i
i i
π π
π π
π π π
⎛ ⎞
+ ⎜⎝ + ⎟⎠
= = =
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
= = ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝− + ⎟⎠
= − +
Résultat final
7 2 12
1 3
1 2
n n n
i i
i e
⎛ + ⎞ = π
⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
et, en particulier :
( )
15
1 3
128 1 1
i i
i
⎛ + ⎞ = − +
⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
