Dans Γ1 la corde CM est parallèle à la tangente en A. Le rayon ω1A est donc sa médiatrice et la per- pendiculaire en M à CM coupe la droite AC en un point qui est le symétrique de M par rapport à la droite AB. Il en va de même avec MD dans le cercle Γ2, si bien que la perpendiculaire en M à MD coupe aussi la droite BD au symétrique de M par rapport à AB. Ce point n'est autre que E.
P2 : AB est droite des milieux dans CDE…
La droite MN est l'axe radical de Γ1 et Γ2, elle coupe donc la tangente commune AB en son milieu. Par homothétie de centre N il en résulte que M est le mi- lieu de PQ.
P1 : ME est la médiatrice de PQ…
La cubique C1 formée par le cercle Γ1 et la droite BD, et la cubique C2 formée par le cercle Γ2 et la droite AC se coupent en neuf points : B, D, A, C, E, M, N et les deux "points cycliques". La cubique C3 formée par la droite CD et le cercle circonscrit à ABE passe par huit de ces points : B, D, A, C, E, M et les deux "points cycliques" ; d'après le théorème du neuvième point, elle passe aussi par N :
P4 : N est donc sur le cercle ABE…
Dans le cercle Γ1 les angles inscrits (CA, CN) et (AB, AN) sont égaux, et dans Γ : (AB, AN) = (EB, EN).
Donc (CE, CN) = (ED, EN) et on montre de même, en considérant Γ2 et Γ, que (CE, EN) = (ED, DN) : P5 : Les triangles NCE et NED sont directement semblables,
P3 : (CN, NE) = (NE, ND), la droite EN est donc la bissectrice de (CN, ND).
Dans le cercle Γ1 les angles (AN, NM) et (CA, CM) sont égaux, et dans le cercle Γ : (NE, NB) = (AE, AB).
Mais, par hypothèse, AB et CD sont parallèles. Donc (AN, NM) et (NE, NB) sont égaux. La droite NE est donc symétrique de la médiane NM dans le triangle NPQ : NE est la symédiane issue de N dans NPQ. Donc c'est aussi (par homothétie) la symédiane issue de N dans le triangle NAB. De ce fait elle passe par le point d'intersection des tangentes à Γ aux sommets A et B. Mais alors elle n'est autre que la symédiane issue de E dans le triangle AEB, et (par homothétie) :
P6 : NE est la symédiane issue de E dans le triangle CED.
