D1996 - La saga de l’angle de 60° (14ème épisode) [**** à la main]
Soient G et H le centre de gravité et l'orthocentre d'un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC. La droite AG coupe le cercle circonscrit au triangle ABC aux points A et M. Soit N le symétrique de M par rapport à la droite BC. Démontrer que l'angle BAC est égal à 60° si et seulement si GH = GN.
Solution proposée par Bernard Vignes On désigne par :
- O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et I le milieu du côté BC.
- H',G' et O' les points symétriques de H,G et O par rapport à la droite BC. On a GH = G'H', GN = G'M et le quadrilatère HOO'H' est un trapèze isocèle.
- P le milieu de GH. Les points O,G,H sont alignés sur la droite d'Euler du triangle ABC de sorte que OH = 3OG. D'où HP = PG = GO et HG = PO.
1) L'angle BAC est égal à 60° ==> GH= GN Démonstration:
BOC = BO'C = 120°. Le quadrilatère BOCO' est un losange et I est le milieu de OO'. Le quadrilatère AHO'O est aussi un losange et O'O = O'H= AH.
D'où les relations d'angles:
H'OM = 2H'AM
H'AM = OIG car les droites AH' et OO' perpendiculaires à la droite BC sont parallèles entre elles,
OIG = OO'P car G étant milieu de PO,GI est parallèle à PO',
OO'P = HO'G car OO'H est un triangle isocèle de sommet O' et HG = PO.
HO'G = H'OG' car les triangles H'OG' et HO'G,symétriques l'un de l'autre par rapport à BC, sont isométriques.
D'où H'OG' =H'OM/2. Le point G' est sur la bissectrice de l'angle H'OM.
Comme OH' = OM, il en résulte que G'H = G'M,soit GH = GN
2) GH = GN ==> l'angle BAC est égal à 60°
Démonstration:
On a H'G' = G'M. D'où H'OG' = H'OM / 2 = H'AM = GIO
Par ailleurs H'OG' = PO'O car les triangles H'OG' et HO'G,symétriques l'un de l'autre par rapport à BC, sont isométriques de même que les triangles HO'G et PO'O sont isométriques avec GH = PO, HO' = H'O = OO' et GHO' = POO'.
Il en résulte que PO'O = GIO. La droite GI est parallèle à la droite PO'. Le point I est milieu de OO', le quadrilatère BOCO' est un losange.
D'oùBOC = 2BAC = BO'C = 180° ‒ BAC et BAC= 60°.
