A 555 Antoine Verroken Q1.
223*p + 224*q = a^2
224*p - 223*q = b^2 a >= b
1. éliminer p : 224*a^2 / 99905 – 223*b^2 / 99905 = q (1)
2. 224 = 7 * 2^5 223 nombre premier
99905 = 5 * 13 * 29 * 53 pgcd = 1
224*a^2 / 99905 et 223*b^2 / 99905 sont des entiers positifs
a^2 et b^2 : multiples de 99905 b =< a b^2 minimum 99905^2 a^2 minimum 99905^2 * m^2 3. m = 1 correspond à (1) :
a = 99905 b = 99905 p = 44657535 q = 99905
Q2.
62*n + 1 = a^2 n = ( a^2 – 1 ) / 62 63*n + 1 = b^2 n = ( b^2 – 1 ) / 63
63 * a^2 – 62 * b^2 = 1 a = b = 1 est une solution (1) 1.Euler donne toutes les solutions de (1) partant de a0 = b0 = 1 :
at = a0 * pt + b0 * (-62) * qt
bt = b0 * pt + a0 * 63 * qt (2)
où p et q sont les solutions de p^2 – D * q^2 = 1 (Pell) (3) si D = - ( -62)*(63) >= 0
2.solutions de (3) : p^2 – 3906 * q^2 = 1
- une solution est donnée par :
m = plus grand carré < 3906 m = 62 r = 3906 – 62^2 = 62
p = 2 * m^2 / r + 1 q = 2*m / r p1 = 125 q1 = 2
- selon Dirichlet ( p1 + q1 * sqrt(3906) )^t = pt + qt * sqrt(3906) donne toutes les solutions de (3) , partant de p1 et q1
t p q
1 125 2
2 31249 500
3 7812125 124998
3.la formule (2) donne :
t a b
0 1 1
1 249 251
2 62249 62749
3 15562001 15686999
4. n0 0
n1 1000 n2 62499000 n3 3906062502000
comme tout n est un multiple de 1000 : le Pgcd de n est 1000 5. pour n , n1 n20 le nombre 770 * n + 13 n’est pas un nombre premier.
