D2906. Le pentagone cyclophile
On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches AHBKCLDMEN. On trace les cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile.
Démontrer que les cinq points d'intersection de ces cercles autres que les sommets du pentagone sont cocycliques.
Solution proposée par Gaston Parrour
Sur la figure ci-dessus :
– un pentagone quelconque ABCDE et le pentagone étoilé associé AHBKCLDMEN , – les 5 cercles circonscrits aux 5 branches de l'étoile c1 c2 c3 c4 c5 (de centres C i) – en pointillés rouges est matérialisé un cercle [C] précisé ci-dessous
Le cercle [C] (en pointillés rouges)
En considérant par exemple le quadrilatère complet AHBKCM : les cercles circonscrits aux triangles HAB (cercle c1) , HMC , KCB (cercle c2) , KMA ont un point commun : le point de Miquel → ici B' Ce point B' et les 4 centres des cercles circonscrits aux 4 triangles (nommés ci-dessus ) sont cocycliques A partir de cela le cercle [C] est le cercle passant en particulier par C1 B' C2
Sur [C] on dispose cinq points C1 C2 C3 C4 C5 centres de cercles c1 c2 c3 c4 c5 tels que : c1 coupe [C] en A' et B' , c2 coupe [C] en B' et C' , … , c5 coupe [C] en E' et A'
Les 5 autres intersections de ces 5 cercles, A, B, C, D, E , constituent un pentagone quelconque.
→ On établit la proposition suivante :
Le pentagone étoilé associé AHBKCLDMEN a ses sommets H K L M N respectivement sur c1 c2 c3 c4 c5 Pour cela deux étapes :
Etape 1 → Les points C1 (centre de c1) , B (non sur [C]) et C' (sur [C]) , sont alignés
(''droite'' (d) sur la figure)
A B
D C E
C1
C2
C4 C3 C5
A' B'
C'
D' E'
K N
H
M L [C]
(d) c2 c1
c3 (d') c4
c5
Dans [C] ang C1 C' B' = ang C1 C2 B' Et , puisque (C1C2) droite des centres de c1 et c2 :
dans c2 ang C1 C2 B' = ang B C' B' , donc
==> ang C1 C' B' = ang B C' B' et les points C1, B, C' sont alignés
Remarque : alors par transposition d'écriture il en est de même pour C2 C D' , C3 D E' etc … Etape 2
On note H l'intersection de la droite (BC) avec c1 , et L l'intersection de (BC) avec c3 → Les points H, C1, D' sont alignés (''droite'' (d') sur la figure)
Données utilisées ici :
- centre C3 sur [C] milieu de l'arc C' D' (définition des centres Ci) - alignements de points :
(1) H B C par construction
(2) C1 B C' résultat précédent (3) C2 C D' '' ''
En utilisant les angles de droites :
→ compte tenu des alignements (1) et (2) ; (BC1),(BH) = (BC'),(BC) → sur le cercle c2 de centre C2
(BC'),(BC) = (1 / 2) (C2C'),(C2C) → avec alignement (3)
(C2C'),(C2C) = (C2C'),(C2D') → sur le cercle [C]
(C2C'),(C2D') = (C1C'),(C1D') = (C1B),(C1D') DONC
2 (C1B),(BH) = (C1B),(C1D') (1) Et dans le cercle c1, avec le triangle isocèle B C1 H de sommet C1, on a 2 (C1B),(BH) = pi – (HC1),(C1B)
Cela avec (1) conduit à
(HC1),(C1B) + (C1B),(C1D') = pi
==> (HC1),(C1D') = pi les points H, C1, D' sont alignés Autrement dit :
==> le point H intersection de (BC) et de (C1D') appartient au cercle c1 → En considérant tout autre cercle que c1, ce résultat se transpose
Par exemple : en passant du cercle c1 (centre C1) au cercle c3 (centre C3) H sur c1 est remplacé par L sur c3 et D' par A' donc ==> les points L, C3, A' sont alignés
D'autre part on peut faire la même démonstration directe que ci-dessus et dans cet exemple : B est remplacé par D
C est remplacé par E et la droite (BC) remplacée par la droite (DE) En appelant L1 (non indiqué sur la figure) l'intersection de (DE) avec le cercle c3 on obtient : (par démonstration directe comme ci-dessus) ==> les points L1, C3, A' sont alignés
Donc L et L1 confondus sur c3
==> le point L (sur c3 ) est l'intersection de (BC) et de (ED)
En conclusion
Considérons sur un cercle [C] un ensemble de 5 cercles c1 c2 c3 c4 c5 , centrés sur [C] et tels qu'ils se recoupent en 5 points A' B' C' D' E' sur ce cercle [C] , leurs seconds points d'intersection A, B, C, D, E constituent alors un pentagone convexe quelconque.
Avec ce qui précède :
les côtés prolongés de ce pentagone déterminent 5 points H, K, L, M, N qui se situent respectivement sur les cercles c1 c2 c3 c4 et c5
==> Autrement dit : c1 c2 c3 c4 c5 sont les 5 cercles circonscrits aux triangles définis dans l'énoncé.
Notons aussi :
Par choix des rayons des 5 cercles, on peut produire n'importe quelle forme de pentagone convexe donné.
Cela établit la proposition de l'énoncé :
==> Les points d'intersection des 5 cercles c1 c2 c3 c4 c5 (non sommets du pentagone), sont cocycliques.
N.B. On observe ici que ce cercle [C] contient aussi les centres C1 C2 C3 C4 C5 des 5 cercles.
