A613 : L’ouvrage du colloque

A613 : L’ouvrage du colloque

A l'issue du colloque sur les Problèmes du millénaire (voir rubrique H133),cinq

mathématiciens de nationalités différentes s'apprêtent à acheter l'ouvrage qui reprend les minutes des principales communications. Ils utilisent la monnaie de leur pays d'origine dont les unités de compte avec les pièces et coupures en circulation sont respectivement :

- le ducat (1, 2, 5, 10), - le liard (1, 2, 5, 10, 20, 50), - la pistole (1, 5, 10, 25),

- le sequin (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) - le sesterce (1, 3, 9, 27, 81).

Le prix du livre s'exprime dans les cinq monnaies sous la forme de cinq entiers tous >

1. Par ailleurs, il est bien connu qu'un ducat vaut plus cher qu'un liard mais vaut moins cher qu'un sequin.

Au moment du passage en caisse, on entend les cinq déclarations suivantes :

- « Mon prix, affirme le premier, est le plus petit entier à partir duquel il existe au moins 2008 façons de le régler »

- « Dans mon cas, confesse le second, c'est facile à retenir, mon prix est le quart du nombre de façons de le régler»

- « Pour moi, dit le troisième, ce n'est guère plus compliqué, c'est le cinquième » - « Et pour nous disent en chœur les deux derniers, le prix à payer de l'un est égal au nombre de façons de régler le prix de l'autre »

Quels sont les cinq prix de l'ouvrage exprimés selon les cinq monnaies ?

Si nous notons P(n,p) le nombre de façons de payer la somme n avec p types de pièce (1=a

<a

<…<a

), on a P(n,1)=1 (une seule façon de payer avec un seul type de pièce) et la relation de récurrence P(n,p)=∑P(n-ka

,p-1), k de 0 à [n/a

] (partie entière).

Cela permet, à l’aide d’un tableur, d’établir pour tout n, les valeurs de P pour chacune des monnaies, ainsi que le rapport P/n. On atteint P> 2008 pour 98 ducats, 80 liards, 225 pistoles, 66 sequins ou 174 sesterces. La valeur P/n=4 est atteinte pour 35 ducats ou 142 pistoles et la valeur 5 l’est pour 41 ducats ou 28 sequins : second et troisième parlent donc de ducats et sequins, de pistoles et ducats ou de pistoles et sequins.

Pour le quatrième ou le cinquième, P/n<1 : pour un nombre de ducats et de liards compris entre 3 et 9, et pour 3, 5 et 7 sequins, P=n-1, mais pour aucune autre monnaie P=n+1 pour une valeur de n comprise entre 2 et 8 . Pour les sesterces, on a P≤n pour n≤35, avec pour valeurs possibles de P : 2, 3, 5, 7, 9 ,12, 15, 18, 23, 28, 33 ; on

constate que pour n=15, on a, pour ducats et liards P=22, réciproque de la valeur P=15

pour n=22 sesterces. Enfin, pour les pistoles, P/n<1 pour n≤54, P prenant les valeurs 1,

2, 4, 6, 9, 13, 18, 24, 31, 39, 49 ; on constate que pour n=18, on a pour ducats et liards

P=31, réciproque de P=18 pour 31 pistoles, et que pour 39 sesterces, on a P=47

réciproque de P=39 pour 47 pistoles. Les quatrième et cinquième parlent donc de

sesterces et ducats, de sesterces et liards, pistoles et ducats, pistoles et liards, ou

pistoles et sesterces.

En croisant les possibilités pour les deuxième et troisième d’une part, les quatrième et cinquième d’autre part, on obtient 6 cas possibles (dans l’ordre des cinq locuteurs) :

• 225 pistoles, 35 ducats, 28 sequins, 22 sesterces et 15 liards

• 174 sesterces, 35 ducats, 28 sequins, 31 pistoles et 18 liards

• 80 liards, 35 ducats, 28 sequins, 47 pistoles et 39 sesterces

• 66 sequins, 142 pistoles, 41 ducats, 22 sesterces et 15 liards

• 80 liards, 142 pistoles, 28 sequins, 22 sesterces et 15 ducats

• 98 ducats, 142 pistoles, 28 sequins, 22 sesterces et 15 liards

Le nombre de ducats n’est supérieur au nombre de sequins et inférieur au nombre de liards que dans le troisième cas, donc le livre vaut :

80 liards, 35 ducats, 28 sequins, 47 pistoles ou 39 sesterces.

n Ducat Liard Pistole Sequin Sesterce

1 1 1,00 1 1,00 1 1,00 1 1,00 1 1,00

2 2 1,00 2 1,00 1 0,50 2 1,00 1 0,50

3 2 0,67 2 0,67 1 0,33 2 0,67 2 0,67

4 3 0,75 3 0,75 1 0,25 4 1,00 2 0,50

5 4 0,80 4 0,80 2 0,40 4 0,80 2 0,40

6 5 0,83 5 0,83 2 0,33 6 1,00 3 0,50

7 6 0,86 6 0,86 2 0,29 6 0,86 3 0,43

8 7 0,88 7 0,88 2 0,25 10 1,25 3 0,38

9 8 0,89 8 0,89 2 0,22 10 1,11 5 0,56

10 11 1,10 11 1,10 4 0,40 14 1,40 5 0,50

11 12 1,09 12 1,09 4 0,36 14 1,27 5 0,45

12 15 1,25 15 1,25 4 0,33 20 1,67 7 0,58

13 16 1,23 16 1,23 4 0,31 20 1,54 7 0,54

14 19 1,36 19 1,36 4 0,29 26 1,86 7 0,50

15 22 1,47 22 1,47 6 0,40 26 1,73 9 0,60

16 25 1,56 25 1,56 6 0,38 36 2,25 9 0,56

17 28 1,65 28 1,65 6 0,35 36 2,12 9 0,53

18 31 1,72 31 1,72 6 0,33 46 2,56 12 0,67

19 34 1,79 34 1,79 6 0,32 46 2,42 12 0,63

20 40 2,00 41 2,05 9 0,45 60 3,00 12 0,60

21 43 2,05 44 2,10 9 0,43 60 2,86 15 0,71

22 49 2,23 51 2,32 9 0,41 74 3,36 15 0,68

23 52 2,26 54 2,35 9 0,39 74 3,22 15 0,65

24 58 2,42 61 2,54 9 0,38 94 3,92 18 0,75

25 64 2,56 68 2,72 13 0,52 94 3,76 18 0,72

26 70 2,69 75 2,88 13 0,50 114 4,38 18 0,69

27 76 2,81 82 3,04 13 0,48 114 4,22 23 0,85

28 82 2,93 89 3,18 13 0,46 140 5,00 23 0,82

29 88 3,03 96 3,31 13 0,45 140 4,83 23 0,79

30 98 3,27 109 3,63 18 0,60 166 5,53 28 0,93

31 104 3,35 116 3,74 18 0,58 166 5,35 28 0,90

32 114 3,56 129 4,03 18 0,56 202 6,31 28 0,88

33 120 3,64 136 4,12 18 0,55 202 6,12 33 1,00

34 130 3,82 149 4,38 18 0,53 238 7,00 33 0,97

35 140 4,00 162 4,63 24 0,69 238 6,80 33 0,94

36 150 4,17 175 4,86 24 0,67 284 40 1,11

37 160 4,32 188 5,08 24 0,65 284 40 1,08

38 170 4,47 201 5,29 24 0,63 330 40 1,05

39 180 4,62 214 5,49 24 0,62 330 47 1,21

40 195 4,88 236 5,90 31 0,78 390 47 1,18

41 205 5,00 249 6,07 31 0,76 390 47 1,15

42 220 5,24 271 6,45 31 0,74 450 54 1,29

43 230 5,35 284 6,60 31 0,72 450 54 1,26

44 245 5,57 306 6,95 31 0,70 524 54 1,23

45 260 5,78 328 39 0,87 524 63 1,40

46 275 5,98 350 39 0,85 598 63 1,37

47 290 6,17 372 39 0,83 598 63 1,34

48 305 6,35 394 39 0,81 692 72 1,50

49 320 6,53 416 39 0,80 692 72 1,47

50 341 6,82 451 49 0,98 786 72 1,44

51 356 6,98 473 49 0,96 786 81 1,59

52 377 7,25 508 49 0,94 900 81 1,56

53 392 530 49 0,92 900 81 1,53

54 413 565 49 0,91 1014 93 1,72

55 434 600 60 1,09 1014 93 1,69

56 455 635 60 1,07 1154 93 1,66

57 476 670 60 1,05 1154 105 1,84

58 497 705 60 1,03 1294 105 1,81

59 518 740 60 1,02 1294 105 1,78

60 546 793 73 1,22 1460 117 1,95

61 567 828 73 1,20 1460 117 1,92

62 595 881 73 1,18 1626 117 1,89

63 616 916 73 1,16 1626 132 2,10

64 644 969 73 1,14 1828 132 2,06

65 672 1022 87 1,34 1828 132 2,03

66 700 1075 87 1,32 2030 147 2,23

67 728 1128 87 1,30 2030 147 2,19

68 756 1181 87 1,28 2268 147 2,16

69 784 1234 87 1,26 2268 162 2,35

70 820 1311 103 1,47 2506 162 2,31

71 848 1364 103 1,45 2506 162 2,28

72 884 1441 103 1,43 2790 180 2,50

73 912 1494 103 1,41 2790 180 2,47

74 948 1571 103 1,39 3074 180 2,43

75 984 1648 121 1,61 3074 198 2,64

76 1020 1725 121 1,59 3404 198 2,61

77 1056 1802 121 1,57 3404 198 2,57

78 1092 1879 121 1,55 3734 216 2,77

79 1128 1956 121 1,53 3734 216 2,73

80 1173 2064 141 1,76 216 2,70

81 1209 141 1,74 239 2,95

82 1254 141 1,72 239 2,91

83 1290 141 1,70 239 2,88

84 1335 141 1,68 262 3,12

85 1380 163 1,92 262 3,08

86 1425 163 1,90 262 3,05

87 1470 163 1,87 285 3,28

88 1515 163 1,85 285 3,24

89 1560 163 1,83 285 3,20

90 1615 187 2,08 313 3,48

91 1660 187 2,05 313 3,44

92 1715 187 2,03 313 3,40

93 1760 187 2,01 341 3,67

94 1815 187 1,99 341 3,63

95 1870 213 2,24 341 3,59

96 1925 213 2,22 369 3,84

97 1980 213 2,20 369 3,80

98 2035 213 2,17 369 3,77

99 2090 213 2,15 402 4,06

100 2156 242 2,42 402 4,02

101 242 2,40 402 3,98

102 242 2,37 435 4,26

103 242 2,35 435 4,22

104 242 2,33 435 4,18

105 273 2,60 468 4,46

106 273 2,58 468 4,42

107 273 2,55 468 4,37

108 273 2,53 508 4,70

109 273 2,50 508 4,66

110 307 2,79 508 4,62

111 307 2,77 548 4,94

112 307 2,74 548 4,89

113 307 2,72 548 4,85

114 307 2,69 588 5,16

115 343 2,98 588 5,11

116 343 2,96 588 5,07

117 343 2,93 635 5,43

118 343 2,91 635 5,38

119 343 2,88 635 5,34

120 382 3,18 682 5,68

121 382 3,16 682 5,64

122 382 3,13 682 5,59

123 382 3,11 729 5,93

124 382 3,08 729

125 424 3,39 729

126 424 3,37 783

127 424 3,34 783

128 424 3,31 783

129 424 3,29 837

130 469 3,61 837

131 469 3,58 837

132 469 3,55 891

133 469 3,53 891

134 469 3,50 891

135 517 3,83 954

136 517 3,80 954

137 517 3,77 954

138 517 3,75 1017

139 517 3,72 1017

140 568 4,06 1017

141 568 4,03 1080

142 568 4,00 1080

143 568 3,97 1080

144 568 3,94 1152

145 622 4,29 1152

146 622 4,26 1152

147 622 4,23 1224

148 622 4,20 1224

149 622 4,17 1224

150 680 4,53 1296

151 680 4,50 1296

152 680 4,47 1296

153 680 4,44 1377

154 680 4,42 1377

155 741 4,78 1377

156 741 4,75 1458

157 741 4,72 1458

158 741 4,69 1458

159 741 4,66 1539

160 806 5,04 1539

161 806 5,01 1539

162 806 4,98 1632

163 806 4,94 1632

164 806 4,91 1632

165 874 5,30 1725

166 874 5,27 1725

167 874 5,23 1725

168 874 5,20 1818

169 874 5,17 1818

170 946 5,56 1818

171 946 5,53 1923

172 946 5,50 1923

173 946 5,47 1923

174 946 5,44 2028

175 1022 5,84

176 1022

177 1022

178 1022

179 1022

180 1102

181 1102

182 1102

183 1102

184 1102

185 1186

186 1186

187 1186

188 1186

189 1186

190 1274

191 1274

192 1274

193 1274

194 1274

195 1366

196 1366

197 1366

198 1366

199 1366

200 1463

201 1463

202 1463

203 1463

204 1463

205 1564

206 1564

207 1564

208 1564

209 1564

210 1670

211 1670

212 1670

213 1670

214 1670

215 1780

216 1780

217 1780

218 1780

219 1780

220 1895

221 1895

222 1895

223 1895

224 1895

225 2015