A613 L’ouvrage du colloque [***** à la main et avec ordinateur]
Solution
Soient k entiers naturels p < q < r <….< v. On cherche le nombre de façons A(n) d’écrire un entier n comme somme de ces k entiers.
Euler a trouvé les fonctions génératrices de la forme f(x) = 1/(1-x )(1-p x )……(1-q x ) et a v démontré que le coefficient de x dans le développement de MacLaurin de f(x) est égal à n A(n).
C’est ainsi que :
- avec les ducats, la fonction génératrice est de la forme 1/(1-x)(1- x )(1- 2 x )(1- 5 x ). 10 La séquence correspondante est accessible sur l’encyclopédie des séquences des nombres entiers à l’adresse : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000008 et le nombre de façons a(n) de régler une somme n obéit à la formule de récurrence : a(n) = a(n-2) + a(n-5) - a(n-7) + a(n-10) - a(n-12) - a(n-15) + a(n-17) + 1.
- avec les liards, la fonction génératrice est de la forme 1/(1-x)(1- x )(1-2 x )(1-5 x )(1- 10 x )(1- 20 x ). 50
Voir : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001313
Le nombre de façons b(n) de régler une somme n obéit à une formule de récurrence
disponible à l’adresse: http://algo.inria.fr/bin/encyclopedia?Search=ECSnb&argsearch=182 b(n+81) = (n + 4255 n + 722454 n + 61388753 n + 26089475n + 4433982840 - 2
80 k
0 k
) k n ( b ) k (
x )/600
avec les x(k) donnés pour k= 0 à 80 dans le tableau ci-après (ex : x(42) = 240 000) :
Les coefficients b(k) pour k = 0 à 80 s’établissent comme suit :
- avec les pistoles, la fonction génératrice est de la forme 1/(1-x)(1-x )(1-5 x )(1- 10 x ) 25 Voir : http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001299
Le nombre de façons c(n) de régler une somme n obéit à la formule de récurrence trouvée par Patrick Ostello et Michaël Osborne :
c(n)= c(n-1) + c(n-5) - c(n-6) + c(n-10) - c(n-11) - c(n-15) + c(n-16) + c(n-25) - c(n-26) - c(n-30) + c(n-31) - c(n-35) + c(n-36) + c(n-40) - c(n-41)
c(5k) = c(5k+1) = c(5k+2) = c(5k+3) = c(5k+4).
Les coefficients c(k) pour k=0 à 40 s’établissent comme suit :
- avec les sequins, la fonction génératrice est de la forme 1/(1-x)(1- x )(1- 2 x )(1- 4 x )(1- 8 x )(1- 16 x )(1- 32 x ). 64
On peut aussi dire que le nombre de façons d(n) de régler un somme n est le nombre de partitions d’un entier n selon les puissances de 2 avec les deux formules très simples de récurrence :
d(2n) = d(2n-1) + d(n) et d(2n+1) = d(2n).
Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A018819
- avec les sesterces, la fonction génératrice est de la forme 1/(1-x)(1- x )(1- 3 x )(1- 9 x )(1- 27 x ) 81
Comme précédemment, on peut aussi dire que le nombre de façons e(n) de régler un somme n est le nombre de partitions d’un entier n selon les puissances de 3 avec les deux formules très simples de récurrence :
e(3n) = e(3n-1) + e(n) et e(3n+2) = e(3n+1) = e(3n).
Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A062051 D’où le tableau des a(n), b(n), c(n), d(n) et e(n) pour n = 0 à 100
A partir des déclarations des cinq mathématiciens, on déduit la table de décision suivante :
D’où les 6 combinaisons possibles C1 à C6 qui donnent les prix de l’ouvrage selon les 5 monnaies.
Comme un ducat vaut plus cher qu’un liard mais est moins cher qu’un sequin, seule la première combinaison (sur fond bleu) est à retenir.
L’ouvrage vaut donc 35 ducats, 80 liards, 47 pistoles, 28 sequins et 39 sesterces.
