TMATHS1 jeudi 19 novembre 2020
Devoir surveillé n ◦ 1
Durée : 2 heures
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Tout document est interdit.
Toute les réponses doivent être justifiées avec soin.
Exercice 1 (8 points).
Partie A. On considère la fonctiong définie sur R par g(x) =x3 −x2 +x−3.
1. Déterminer les limites de g en−∞ et +∞.
2. Étudier les variations de g surR.
3. Démontrer que l’équationg(x) = 0 possède une unique solution α sur Ret justifier que 1,57< α <1,58.
4. Déduire des questions précédentes, pour tout réel x, le signe deg(x) en fonction de x.
Partie B. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x3
x2+ 1e−x.
On note C la courbe représentative de f dans un repère O ;~i ,~j. 1. Déterminer la limite de f en −∞.
2. Déterminer lim
x→+∞
x3
ex et en déduire la limite de f en +∞.
Donner une interprétation graphique de cette limite.
3. On admet quef est dérivable surR. Démontrer que, pour tout réel x,
f0(x) = −x2e−xg(x) (x2+ 1)2 oùg est la fonction définie dans la Partie A.
4. Déterminer les variations de f surR.
5. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse : « la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 passe par l’origine du repère » ?
Exercice 2 (4 points). On considère deux suites (an) et (bn) définies par
a0 = 3
∀n ∈N, an+1 = an+bn 2
b0 = 4
∀n ∈N, bn+1 = an+1+bn 2 1. Calculer a1 et b1.
2. On considère la suite (cn) définie par : pour toutn ∈N,cn=bn−an. a. Démontrer que (cn) est une suite géométrique de raison 1
4. b. En déduire, pour toutn ∈N, l’expression decn en fonction de n.
3. On considère la suite (dn) définie par : pour tout n∈N, dn =an+ 2bn. Démontrer que (dn) est une suite constante.
4. Déduire des questions précédentes que, pour toutn ∈N, an = 11
3 − 2 3 ×
1 4
n
et bn= 11 3 +1
3 ×
1 4
n
.
Exercice 3 (5 points). On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 1−x2e1−x2.
1. Justifier brièvement que f est dérivable sur [0 ; +∞[ et démontrer que, pour tout réel x>0,
f0(x) = 2x(x−1)(x+ 1)e1−x2. 2. En déduire les variations def sur [0 ; +∞[.
3. a. Justifier que, pour tout réel x>0,f(x) = 1−e× x2 ex2. b. En déduire la limite de f en +∞.
4. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
5. Montrer que, pour tout entier naturel n> 2, l’équation f(x) = 1
n possède exactement deux solutions que l’on notera un et vn (avecun< vn).
On définit ainsi deux suites (un)n>2 et (vn)n>2. 6. Déterminer les variations de (un) et (vn).
7. Montrer que (un) et (vn) sont bornées.
Exercice 4 (3 points). On considère quatre points distincts A, B, C et D dans l’espace. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. On considère un point G de l’espace tel que
−−→GA +−−→
GB +−−→
GC +−−→
GD =−→ 0 .
1. a. Démontrer que −−→
AG = 1 4
−−→
AB +−−→
AC +−−→
AD
.
b. En déduire que −−→
AG = 1 4
−−→AB + 1 2
−−→ AJ .
c. Que peut-on en déduire concernant les points A, B, J et G ? 2. Montrer que G est le milieu de [IJ].
