Calculs asymptotiques

Calculs asymptotiques

A. Comparaison locale des fonctions.

1. Qu’est-ce qu’une propriété locale ? 2. Relations faibles : domination, similitude.

3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence.

4. Exemples.

B. Développements limités.

1. L’échelle des monômes.

2. L’algèbre des développements limités.

3. Théorème de Taylor-Young.

C. Développements asymptotiques.

1. Echelles de comparaison.

2. Parties principales, développements asymptotiques.

3. Premiers exemples.

4. Bijections réciproques.

5. Sommation et intégration des relations de comparaison.

6. Méthode de Laplace.

7. Fonctions fluctuantes.

8. Calcul numérique et calcul asymptotique.

Pierre-Jean Hormière

____________

« Et tu sais sans doute ce que tu veux faire plus tard ? » me demanda-t-il.

J’éclatai d’orgueil : «Je veux faire des mathématiques », lui répondis-je. Il sourit sans bonté : « Commence par le calcul », me dit-il. Mon destin était scellé. » Raymond Abellio

« Les mathématiciens purs auraient tort d’ailleurs de mépriser ce côté « terre à terre » du Calcul infinitésimal ; pour acquérir le « sens de l’Analyse » indispen- sable jusque dans les spéculations les plus abstraites, il faut avoir appris à distinguer ce qui est « grand » de ce qui est « petit », ce qui est « prépondérant » et ce qui est « négligeable ». »

Jean Dieudonné

Par « calculs asymptotiques », on entend l’ensemble des techniques algébriques permettant de calculer des limites, de « lever » les indéterminations, d’étudier localement les fonctions et les courbes (branches infinies, points litigieux), de comparer les suites au voisinage de l’infini, et les fonctions au voisinage d’un point, etc.

Ces techniques permettent d’étudier la nature des séries, et donnent des équivalents de sommes partielles de séries divergentes, ou de restes de séries convergentes. Idem pour les intégrales impropres.

Après avoir fait l’objet de polémiques passionnées aux XVIIème et XVIIIème siècles, les infiniment grands et infiniment petits ont été élucidés systématiquement par P. Du Bois-Reymond, dans une série d’articles de 1870-1871, où il mit en évidence la notion d’échelle de comparaison, et étudia l’intégration et la dérivation des relations de comparaison. Un peu plus tard, H. Poincaré dégagea la notion de série asymptotique (nos actuels développements asymptotiques). Ces recherches trouvèrent une forme rigoureuse et définitive chez G. H.

Hardy. Sous leur forme actuelle, les calculs asymptotiques apparaissent comme une sorte d’analyse algébrique.

Ils jouent un rôle fondamental en mathématiques, du théorème central limite du calcul des probabilités à la théorie des nombres la plusabstraite. Mais ils jouent aussi un grand rôle en physique : le fameux E = mc² de la relativité restreinte n’est que le premier terme du développement limité de l’énergie E = mc²

²

² 1 ²

c m + p ^.

A. Comparaison locale des fonctions.

1. Qu’est-ce qu’une propriété locale ?

Définition : Soit E un ensemble. On appelle filtre sur E un ensemble FFFF de parties de E qui possède les propriétés suivantes :

(F I) Toute partie de E contenant un ensemble de FFFF appartient à FFFF _; (F II) Toute intersection finie d’ensembles de FFFF appartient à FFFF _; (F III) La partie vide de E n’appartient pas à FFFF_.

Le couple (E, FFFF) est appelé ensemble filtré. ¹

Exemples : 1) Soit (E, d) un espace métrique. L’ensemble VVVV_x des voisinages de x est un filtre sur E.

2) Plus généralement, soit (E, d) un espace métrique, A une partie de E, x₀ un point adhérent de E à A. Les traces sur A des voisinages de x₀ forment un filtre sur A.

Par exemple, si E = R, A = R, x₀ = +∞, les traces sur R des voisinages de +∞ dans R forment un filtre sur R : ce sont les parties de R contenant une demi-droite ]a, +∞[.

De même, si E = R, A = N, x₀ = +∞, les traces sur N des voisinages de +∞ dans R forment un filtre sur N : ce sont les parties de N contenant une demi-droite ]a, +∞[, ou encore les complémen- taires des parties finies de N (filtre de Fréchet).

Les filtres considérés dans ce chapitre sont tous de ce type.

Soit (E, FFFF) un ensemble filtré. Une fonction f à valeurs réelles², définie sur une partie de E, a un domaine de définition noté D(f). Nous nous limitons aux fonctions f telles que D(f) ∈FF.FF _Soit HHHH₍FFFF_{, R)} leur ensemble.

On dit que les fonctions f et g ∈ HHHH₍FFFF, R) ont même germe suivant le filtre FFFF s’il existe un ensemble A ∈ FFFF tel que A ⊂ D(f) ∩ D(g) et f|A = g|_A.

C’est une relation d’équivalence dans l’ensemble HHHH₍FFFF_{, R).}La classe de f s’appelle germe de f et se note ~f

.

Si deux fonctions f et g appartiennent à HHHH₍FFFF, R), leur somme n’est définie que sur D(f) ∩ D(g).

Cette somme est élément de HHHH₍FFFF, R). De plus si f’ a même germe que f, et g’ même germe que f suivant le filtre FFFF, f’ + g’ aura même germe que f + g. Le germe de f + g ne dépend que des germes de f et de g : on l’appelle somme des germes, et on le note ~f

+ g~. On définit de même λ ~f et

~f

.g~. Il est clair que les germes de fonctions forment une algèbre, notée HHHH_∞(FFFF_{, R).}

Une propriété locale de f suivant le filtre FFFF est une propriété qui ne dépend que du germe de f suivant FFFF_.

Exemples : 1) Si (E, d) un espace métrique, et si FFFF est le filtre VVVV_x des voisinages de x, deux fonc- tions f et g ayant même germe ont même valeur en x ; cette valeur s’appelle valeur de f~

en x. La réciproque est fausse en général : si E = R, les fonctions f(x) = x et g(x) = −x ont même valeur en 0, mais ne coïncident pas dans un voisinage de 0. De plus, si f est continue en x, g sera aussi continue : la continuité en un point x est une propriété locale en ce point. Il en est de même de la dérivabilité, si E est un intervalle de R, ou un ouvert de Rⁿ.

1 Les filtres ont été inventés par Henri Cartan en 1937, lors du congrès Bourbaki de Chançay.

2 Dans cet exposé, on se limite aux fonctions à valeurs réelles. L’extension aux fonctions à valeurs complexes ou vectorielles ne pose aucun problème.

2) Deux suites (u_n) et (v_n) ont même germe suivant le filtre de Fréchet si elles coïncident à partir d’un certain rang. Si l’une est bornée (resp. convergente, resp. convergente en moyenne de Cesàro) l’autre aussi. De plus, (u_n) et (v_n) ont mêmes valeurs d’adhérence, et notamment mêmes limites inférieure et supérieure. Toutes ces notions sont dites asymptotiques.

3) Soit f une fonction réelle telle que D(f) ∈ FF. FF On dit que f converge vers y selon le filtre FFFF _{, et on} note limFFFF f = y si ∀V ∈ VVVV_{y ∃Α ∈} FFFF A ⊂ D(f) et f(A) ⊂ V.

Cette propriété ne dépend que du germe de f selon le filtre FFFF_.

Si f a une limite selon le filtre FFFF, il importe de connaître la « manière » dont elle tend vers cette limite. Et si elle est sans limite, il importe de savoir de quelle manière elle diverge. Bref, nous allons chercher à classifier les éléments de HHHH₍FFFF, R) selon leur comportement.

2. Relations faibles : domination, similitude.

2.1. Domination.

Définition 1 : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH₍FFFF, R). On dit que f est dominée par g suivant FFFF, s’il existe X ∈ FFFF et un réel β > 0 tels que :

X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ β | g(x) |.

Relation notée f ∈ O(g), f = O(g) (notations de Bachmann-Landau ³), ou f p g (notations de Hardy).

La notation f = O(g) est un abus de langage : si f = O(g) et h = O(g), f et h ne sont pas égales ! Exemples :

1) f = O(1) signifie que f est bornée dans un ensemble de FFFF. Par exemple sin x

1 = O(1) au V(0).

2) Lorsque x tend vers +∞, sin² x = O(sin x).

3) La suite S_n =

∑

= n

k

k

1

² vérifie S_n =

6 ) 1 2 )(

1 (n+ n+

n =

3 n3

+ 2 n2

+ 6 n_.

Il en résulte que S_n = O(n³), et S_n = 3 n3

+ O(n²).

4) La suite harmonique H_n =

∑

= n

k ₁k

1 vérifie H_n = ln n + γ + O(

n 1_).

5) Lorsque (x, y) tend vers (0, 0), x.y = O(x² + y²). Cela découle de | x.y | ≤ 2

1_{( x}² _{+ y}² _).

Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH₍FFFF, R). Pour que f soit dominée par g, il faut et il suffit qu’il existe une fonction b appartenant à HHHH₍FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF_{, telle} que l’on ait : (∀x ∈ B) f(x) = g(x).b(x) .

Preuve : i) Supposons f = O(g). Il existe X ∈FFFF _{et β} > 0 tels que : X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ β.| g(x) |.

Alors (∀x ∈ X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0. Définissons la fonction b : X → R par b(x) = ) (

) (

x g

x

f si g(x) ≠ 0, b(x) = 0 si g(x) = 0. On a (∀x ∈ X) | b(x) | ≤β et (∀x ∈ X) f(x) = g(x).b(x) .

ii) Supposons qu’existe une fonction b appartenant à HHHH₍FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF_, telle que l’on ait (∀x ∈ B) f(x) = g(x).b(x). Alors si (∀x ∈ B) |b(x)| ≤β, (∀x∈ B) | f(x) | ≤β.| g(x) |.

3 La notation O a été introduite par P. Bachmann dans son livre Analytische Zahlentheorie, en 1892, et reprise par E. Landau.

Propriétés de la domination :

a) La domination est une propriété locale.

b) La relation f = O(g) est réflexive et transitive (préordre). On a λ.f = O(f) pour tout λ. c) Linéarité : f₁ = O(g) et f₂ = O(g) ⇒ f₁ + f₂ = O(g) et λ.f₁ = O(g).

d) f₁ = O(g₁) et f₂ = O(g₂) ⇒ f₁.f₂ = O(g₁.g₂).

2.2. Similitude.

Définition 2 : Deux fonctions f et g appartenant à HHHH₍FFFF, R) sont dites semblables suivant F_{, si f =} O(g) et g = O(f) , i.e. s’il existe X ∈FFFF et deux réels α et β > 0 tels que :

X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) α.| g(x) | ≤ |f(x)| ≤ β.| g(x) |.

Cette relation se note (ici) f ÷ g.

Exemples :

1) Les fonctions x et ax (a ≠ 0) sont semblables au V(0) et au V(±∞).

2) Un polynôme P(x) = a₀ + a₁.x + … + a_n.xⁿ de degré n est semblable à xⁿ au V(±∞).

Propriétés de la similitude.

a) La similitude est une propriété locale.

b) La similitude est une relation d’équivalence.

c) La similitude est compatible avec la multiplication : f₁÷ g₁ et f₂÷ g₂ ⇒ f₁.f₂ ÷ g₁.g₂. Remarque : La similitude n’est pas compatible avec l’addition :

f₁÷ g₁ et f₂÷ g₂ n’impliquent pas f₁ + f₂ ÷ g₁ + g₂ . En effet au V(0), −x ÷₋x et x ÷ 2x , mais 0 n’est pas semblable à x.

2.3. Application des relations faibles à la complexité algorithmique.

La complexité est un concept moderne et important, qui traverse toutes les sciences ⁴. Evaluer la complexité d’un algorithme, c’est trouver un équivalent ou une suite semblable au nombre d’opérations qu’il nécessite. Encore faudrait-il distinguer la complexité maximale de la complexité moyenne, qui est de nature probabiliste.

1) Décomposition d’un entier n en base b : algorithme nécessitant [ log_b n ] opérations.

2) Algorithme d’Euclide.

Exercice : Si a et b sont deux naturels, soit L(a, b) la longueur de l’algorithme d’Euclide de calcul de leur pgcd.

1) Montrer que la fonction L(a, b) satisfait aux lois récursives :

∀a ∈ N L(a, 0) = 0 ∀(a, b) ∈ N×N* L(a, b) = L(b, r) + 1, où r = rem(a, b) 2) Si (f_n) est la suite de Fibonacci, montrer que L(f_k+1, f_k) = k − 1.

3) Pour tout p ≥ 2, soit k(p) l’unique entier k tel que f_k≤ p < f_k+1. Montrer que si a < b, L(a, b) ≤ min(k(b) – 1 , k(a)).

3) Multiplication de deux polynômes.

Soit A(x) un polynôme de degré n, B(x) un polynôme de degré n. Par la méthode habituelle, le calcul de A(x).B(x) nécessite (n+1)(p+1) additions et (n+1)(p+1) multiplications, soit O(N²) opérations, où N = max(n, p). Par la transformation de Fourier rapide, il nécessite O(N.ln N) opérations.

4 Cf. Pour la science lui a consacré un dossier en décembre 2003.

4) Méthode du pivot. Soit A ∈ M_K(n, p) une matrice à coefficients dans un corps commutatif K.

L’algorithme du pivot, qui détermine deux matrices inversibles P et Q et un entier r (le rang de A) tels que Q.A.P = 

 O O

O Jr

, nécessite un nombre d’opérations O(N³), où N = max(n, p).

On ne peut que majorer ce nombre, car cet algorithme est plus ou moins long selon la matrice.

De plus, lorsque K = Z/2Z, cet algorithme est plus court, car on ne fait que des additions.

3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence.

3.1. Prépondérance et négligeabilité.

Définition 1 : Soient f et g deux fonctions numériques appartenant à HHHH₍FFFF, R). On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante sur f suivant FFFF, si, pour tout ε > 0, il existe X ∈ FFFF tel que : X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ ε.| g(x) |.

Cette relation se note f ∈ o(g), f = o(g) (notations de Landau) ou f pp g (notations de Hardy).

La notation f = o(g) est un abus de langage : si f = o(g) et h = o(g), f et h ne sont pas égales.

Exemples : 1) f = o(1) signifie que f tend vers 0 suivant le filtre F_.

2) Logarithmes, puissances, exponentielles. Soit ϕ_γ,α,β(x) = e^γx.x^α.( ln x )^β , (γ, α, β) ∈ R³. On a ϕ_γ,α,β = o(ϕ_{γ’,α’,β’}) au V(+∞) ⇔ (γ < γ’) ou (γ = γ’ et α < α’) ou (γ < γ’ et α = α’ et β < β’).

Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH₍FFFF, R). Pour que f soit négligeable devant g, il faut et il suffit qu’il existe une fonction ε appartenant à HHHH₍FFFF, R), tendant vers 0 selon le filtre FFFF_, telle que l’on ait : (∀x ∈ D) f(x) = g(x).ε(x) .

Preuve : i) Supposons f = o(g). Prenant d’abord ε = 1, il existe X ∈FFFF tel que :

X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ | g(x) |. Alors (∀x ∈ X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0.

Définissons la fonction ε : X → R par ε(x) = ) (

) (

x g

x

f si g(x) ≠ 0 , ε(x) = 0 si g(x) = 0.

On a (∀x ∈ X) f(x) = g(x).ε(x).

De plus, ∀ε > 0 ∃X(ε) ∈ FFFF X(ε) ⊂ D(f) ∩ D(g) et ∀x ∈ X(ε) | f(x) | ≤ ε.| g(x) |.

Alors (∀x ∈ X ∩ X(ε)) | ε(x) | ≤ ε , donc la fonction ε tend vers 0 selon le filtre FFFF_. La réciproque, facile, est laissée au lecteur.

Propriétés de la négligeabilité : a) C’est une propriété locale.

b) La relation f = g ou f = o(g) est réflexive et transitive (préordre).

c) Linéarité : f₁ = o(g) et f₂ = o(g) ⇒ f₁ + f₂ = o(g) et λ.f1 = o(g).

d) f₁ = O(g₁) et f₂ = o(g₂) ⇒ f₁.f₂ = o(g₁.g₂). A fortiori f₁ = o(g₁) et f₂ = o(g₂) ⇒ f₁.f₂ = o(g₁.g₂).

3.2. Equivalence.

Théorème et définition 2 : Soient f et g deux éléments de H₍F, R). Les propriétés équivalentes suivantes :

(EI) f − g = o(g) .

(EII) Pour tout ε > 0, il existe X ∈F tel que X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) |f(x) − g(x)| ≤ε.|g(x)| . (EIII) Il existe un ensemble Y ∈F et une fonction η : Y → R tels que :

Y ⊂ D(f) ∩ D(g) , (∀x ∈ Y) f(x) = g(x).( 1 + η(x) ) et limFη(x) = 0 . (EIV) Il existe un ensemble Y ∈F et une fonction υ : Y → R tels que :

Y ⊂ D(f) ∩ D(g) , (∀x ∈ Y) f(x) = g(x).υ(x) et limFυ(x) = 1 . Si la fonction g ne s’annule pas dans un ensemble Y ∈F, cela équivaut encore à : (EIV) limF

) (

) (

x g

x f = 1 .

Si ces propriétés sont satisfaites, on dit que f et g sont équivalentes suivant F, et on note f ∼ g.

Propriétés de l’équivalence.

a) L’équivalence est une propriété locale.

b) L’équivalence est une relation d’équivalence.

c) La similitude est compatible avec la multiplication : f₁∼^g1 et f₂∼ ^g2 ⇒ f₁.f₂∼ ^g1.g₂. d) L’équivalence implique la similitude : f ∼ g ⇒ f ÷ g .

La réciproque est fausse : x est semblable à 2x au V(0), mais pas équivalente.

e) « Deux équivalents sont de même signe ».

En effet, il découle de (EIII) ou (EIV) que l’on a 2

) (x

g ≤ f(x) ≤ 2

) (

3 xg _{dans Y∈}F_.

f(x) et g(x) ont même signe dans l’ensemble Y. Ceci sert à étudier la position d’une courbe par rapport à son asymptote au V(± ∞), etc. Par exemple si f(x) = 3x – 2 +

x 5 _{+ o(}

x

1) au V(± ∞), f a pour asymptote la droite y = 3x – 2, et est localement au-dessus au V(+∞), au-dessous au V(− ∞).

Attention ! La notion d’équivalent possède peu de propriétés.

a) f ∼ g n’implique pas limF (f – g) = 0.

Par exemple, x² + x ∼ x² au V(+∞), mais la différence tend vers l’infini.

b) Limites et équivalents.

f ∼ a (a ≠ 0) équivaut à limF f = a ; limF f = 0 n’équivaut pas à f ∼ 0.

f ∼ 0 signifie que f est nulle identiquement dans un ensemble A ∈F _. En revanche limF f = a équivaut à f(x) = a + o(1).

c) On n’additionne pas des équivalents : f₁∼ g₁ et f₂∼ g₂ n’impliquent pas f₁ + f₂ ∼ g₁ + g₂. Au V(0), on a 1 ∼ 1 + x et −1 ∼ −1… mais 0 n’est pas équivalent à x.

Au V(0), on a f₁ = x³∼ g₁ = x³ , f₂ = x

−x

1 ^{∼ g2} = x et f₃ =

² 1 x

−x

− _{∼ g}

3 = −x Mais f₁ + f₂ + f₃ = x³ +

² 1

² x

−x ^{∼ x2} n’est pas équivalent à g₁ + g₂ + g₃ = x³ .

Au V(+∞), on a x ∼ x + x et −x − x∼ −x… mais x n’est pas équivalent à x.

Remarque : On n’a pas le droit d’additionner des équivalents… mais on passe son temps à le faire ! Il faut le justifier avec soin, c’est tout.

Par exemple, si f₁∼ αg , f2∼ βg et α + β ≠ 0, alors f1 + f₂∼ (α + β)g . En effet f₁ + f₂ = (α + β).g + o(g) , d’où le résultat.

Les théorèmes de sommation de relations de comparaison, que nous verrons plus tard, autorisent, sous certaines hypothèses, à additionner les équivalents en nombre infini

d) On ne compose pas des équivalents : f ∼ g n’implique pas ϕ^o f ∼ϕ^o g.

Par exemple x² + x , x² + c et x²− x au V(+∞), mais exp(x² + x), exp(x² + c) et exp(x²− x) ne sont pas équivalents au V(+∞).

Autre exemple : ( 1 +

1 )x ^x∼ e en +∞, mais ( 1 +

1 )x ^x² et e^x ne sont pas équivalents

Cependant, on a le très-utile résultat :

Proposition : Des infiniment grands équivalents ont des logarithmes équivalents.

Preuve : Soient f(x) = (1 + ε(x)).g(x) des infiniment grands équivalents. Passons au log ; il vient : ln f(x) = ln g(x) + ln(1 + ε(x)) = ln g(x) + ε(x) = ln g(x).( 1 +

) ( ln

) (

x g

ε

)

Exemple : au V(+∞), par applications répétées de cette règle, on a les équivalents : ln(x + 1)∼ ln x , ln ln(x + 1) ∼ ln ln x , ln ln ln(x + 1) ∼ ln ln ln x , etc.

d) On ne dérive pas des équivalents.

Au V(0), on a 1 ∼ 1 + x mais les dérivées ne sont pas équivalentes.

e) Si deux bijections sont équivalentes, les bijections réciproques ne le sont pas toujours.

Ainsi, au V(+∞), on a ln x ∼ ln x + 1, mais exp(y) n’est pas équivalente à exp(y − 1).

4. Exemples.

Voici quelques premières méthodes permettant d’obtenir un équivalent.

4.1. Mise en facteur du terme prépondérant.

1) Polynômes. Soit P(x) = a₀ + a₁.x¹ + … + a_n.xⁿ un polynôme de degré n (a_n ≠ 0).

Au V(±∞), P(x) = a_n.xⁿ.(1 +

n n

a

a −1 .x⁻¹ +

n n

a

a −2 .x⁻² + … + an

a0 .x⁻ⁿ) = a_n.xⁿ.(1 + ε(x)) ∼ a_n.xⁿ. Au V(0), si k est la valuation de P :

P(x) = a_k.x^k ( 1 +

k k

a a₊₁

.x +

k k

a a ₊₂

.x² + … +

k n

a a _.xⁿ−k

) = a_k.x^k.(1 + ε(x)) ∼ a_k.x^k . Au V(x₀), considérer P(x₀ + h), et se ramener au cas précédent.

2) Fractions rationnelles. Une fraction rationnelle non nulle F(x) = ) (

) (

x Q

x

P est équivalente en ±∞

au quotient de ses termes de plus haut degré.

3) Sommes d’exponentielles.

Exercice 1 : Soient a₁, … , a_n des réels > 0. Trouver lim_p→+∞ ^p p n ^p

a a) ... ( ) ( 1 + + . 4.2. Développements limités et asymptotiques.

Si une fonction admet un développement limité ou asymptotique non nul en x₀, elle est équivalente en ce point au premier terme non nul de ce développement. Nous reviendrons sur ceci en B) et C) Exemples :

1) en 0, cos x ∼ ^{1 , ex}∼ ^{1 , ch x} ∼ 1. Plus généralement si f(x) → f(x₀) ≠ 0 alors f(x) ∼ ^f(x0).

2) en 0, sin x ∼ x , e^x− 1 ∼ x , ln(1 + x) ∼ ^{x , sh x} ∼ x , Arctan x ∼ x , tan x ∼ ^{x , th x} ∼ ^x.

Plus généralement si f est dérivable en x₀ et si f’(x₀) ≠ 0, alors f(x) − f(x0) ∼ f’(x₀).(x – x₀).

3) en 0, tan x ∼∼∼∼ ^{x , th x} ∼ x , cotan x ∼∼∼∼

x

1 _{, coth x ∼∼∼∼ x.}

4) en 0 toujours, e^x − 1 − x ∼ 2 x2

, sin x − x ∼ − 6 x3

, etc.

4.3. Encadrement intégral.

L’encadrement intégral est une importante méthode de calcul de limites et d’équivalents.

• Si f : [1, n] → R est décroissante,

∫

^∑

= n

k

k f

1

)

( _≤

∫

• Si f : [1, n] → R est croissante, on a

∫

^∑

= n

k

k f

1

)

( _≤

∫

Historiquement, ces encadrements ont permis de calculer des intégrales via les sommes de Riemann et les procédés sommatoires. Depuis Newton-Leibniz, ils fonctionnent plutôt dans l’autre sens, donnant des limites et équivalents de sommes finies ou de restes à l’aide d’intégrales.

Exercice 2 : Equivalents des suites S_n =

∑

= n

k

k

1

et T_n =

∑

= n

k

k E

1

) ( . Exercice 3 : Equivalents des suites S_n =

∑

= n

k

k

1

α et T_n =

∑

= n

k

k E

1

)

( ^α (α > 0).

Proposition ( formule de Stirling, 1730 ) : n! ~ n e

n⁾n^{. 2}

π

( .

Preuve : Nous montrerons cette formule une première fois dans le chapitre sur les séries et une seconde fois dans celui sur la méthode de Laplace. Indiquons ici le point de départ de la preuve.

Etudions S_n = ln n! =

∑

= n

k

k

1

ln , au moyen d’encadrements intégraux.

> with(plots):

> p:=plot(ln(x),x=0..8,0..2.5):q:=plot(ln(floor(x)),x=1..8,color=blue):

r:=plot(ln(ceil(x)),x=1..7,color=green):display({p,q,r},thickness=2);

La croissance de t → ln t fournit aussitôt l’encadrement ln k ≤

∫

∫

∫

∫

∫

Comme

∫

n.ln n − n + 1 ≤ Sn ≤ n.ln n − n + ln n + 1 (3)

qui donne : (

e

n₎ⁿ _{e ≤ n ! ≤ (} e

n₎ⁿ _{e n (4)}

et aussi : S_n = n.ln n − n + O(ln n) (5)

Nous ne sommes pas loin du but...

Exercice 4 : On rappelle l’équivalent de Stirling : n! ~ n e

n⁾n^{. 2}

π

( .

On pose a_k(m) = 2m.C2^mm^+k

2

1 pour −m ≤ k ≤ m. Equivalents des suites (a0(m))_m et (a_k(m))_m (k fixé) ? Soient a et b des entiers tels que a > 1. Equivalents des suites (Canⁿ )_n et (C_anⁿ_+b)_n .

4.4. Sommation et intégration d’équivalents.

Les exercices suivants montrent que, s’il est interdit en général de sommer ou d’intégrer des équivalents, en revanche on peut le faire… à condition de le justifier ! Nous verrons plus tard des théorèmes autorisant ce genre de choses.

Exercice 5 : 1) Equivalent, lorsque n → +∞, de la suite S_n =

∑

+

= + +

n

n

k k k

2

1

4 1² 1_. 2) Equivalent, lorsque x → +∞, de la fonction F(x) =

∫

Exercice 6 : 1) Equivalent, lorsque n → +∞, de la suite S_n =

∑

+

= n

n

k k

2

1

sin1. 2) Soit f dérivable en 0, telle que f(0) = 0 et f’(0) ≠ 0, de la suite S_n =

∑

+

= n

n

k f k

2

1

1) ( . Exercice 7 : Soit f : ]0, +∞[ → R telle que lim_x→0+ f(x) = 0 et lim_x→0+

x ax f x

f( )− ( ) = 1 pour un a ∈ ]0, 1[. Trouver un équivalent simple de f en 0+.

Exercice 8 : On se propose d’étudier la suite Z(n) = 1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ. 1) Vérifier que _n

n n Z )(

= 1ⁿ + ( 1 − 1) n

n + ( 1 − 2) n

n … + ( 1 − ) n n ⁿ _. Deviner un équivalent de _n

n n Z )(

, puis de Z(n).

2) [Pour les plus forts]. Justifier l’équivalent trouvé ci-dessus.

3) [Pour les autres]. Montrer l’encadrement ∀x ∈ [0, 1[ − x −

) 1 ( 2

² x

x− ≤ ln(1 − x) ≤ − x.

En déduire que, si N < n, exp

) ( 2

² N n

N−

− _.

∑

= N − k

e k 0

≤ _n n

n

Z )( _≤

∑

=

− 0 k

e k . Par un choix convenable de N, trouver l’équivalent de _n

n n Z )(

. 4) Résoudre dans N l’équation en n : ( n + 3 )ⁿ =

∑

= 2

3 n

k

kn . (Concours général 1999) _________

Une preuve asymptotique du théorème de Pythagore

Soit ABC un triangle rectangle en A, de côtés b = AC, c = AB, a = BC. Supposons b ≥ c, et traçons un pavage du plan par des carrés de côté b (les carrés bleus sur la figure ci-contre), déduits les uns des autres par des translations obliques de façon à laisser comme interstices des carrés de côté c. Considérons, une surface T de n² carrés penchés (contour rouge). Elle a pour aire n²a². Si l’on encadre cette aire au moyen de carrés blancs et bleus, il vient (n − 1)².b² + n(n − 1).c²≤ n².a²≤ n(n + 1).(b² + c²) Divisons par n² et faisons tendre n vers l’infini, on obtient a² = b² + c².

(d’après Pour la science, oct. 2003, p. 80)

B. Développements limités.

Clivages pédagogiques... Il y a deux sortes de professeurs de mathématiques : ceux qui trouvent ce chapitre ennuyeux et facile, et ceux qui le trouvent fondamental et difficile. Les premiers trouvent les calculs de développements limités sans intérêt. Lorsque tel collègue disait d’un élève : « Il sait faire un développement limité ! », c’était une façon de dire : « Cet élève est un con, il est tout juste bon à… ». D’ailleurs, à quoi bon apprendre aux élèves à calculer un développement limité puisqu’un ordinateur « sait » le calculer ?

Je me range résolument dans le camp opposé. Pour moi les développements limités, et a fortiori les développements asymptotiques, sont des objets abstraits et étranges, faisant un pont entre l’algèbre et l’analyse, une algèbre d’ailleurs pas tout à fait commutative, puisque les calculs doivent être disposés et présentés dans un certain ordre. Ainsi la fonction f(x) = 1/(1 + x) s’écrit

f(x) = 1 − x + x²− x³ + O(x⁴) au V(0) et f(x) = 1/x − 1/x² + 1/x³− 1/x⁴ + O(1/x⁵) au V(±∞).

Aussi, lorsque je disais d’un élève : « Il sait calculer un développement limité », c’était un compliment. Quant à l’argument de l’ordinateur, il ne vaut pas tripette. D’abord parce que la plupart des calculs mathématiques, même les plus abstraits, peuvent maintenant être conduits par ordinateur : est-ce une raison pour les éluder ? Autant renoncer à enseigner les mathématiques, ou toute autre matière d’ailleurs, puisque « l’ordinateur les connaît ». Et puis, les logiciels de calcul formel ne savent pas si bien que ça calculer les développements limités, car ils nécessitent beaucoup de matière grise.

1. Développements limités.

Définition : Soit f une fonction réelle de variable définie au voisinage de x₀.

− On dit que f admet un développement limité faible à l’ordre n en x0 s’il existe une fonction poly- nomiale A(h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ de degré ≤ n telle que :

f(x) = A(x − x0) + o((x − x0)ⁿ) au V(x₀) ,

autrement dit telle que f(x₀ + h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ + o(hⁿ) au V(0).

− On dit que f admet un développement limité fort à l’ordre n en x₀ s’il existe une fonction poly- nomiale A(h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ de degré ≤ n telle que :

f(x) = A(x − x₀) + O((x − x₀)ⁿ⁺¹) au V(x₀) ,

autrement dit telle que f(x₀ + h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ + O(hⁿ⁺¹) au V(0).

Remarque : Ces définitions s’étendent sans peine à des fonctions vectorielles de variable réelle. Les coefficients a_k du polynôme A sont des vecteurs, voilà tout.

Propriétés :

1) Unicité : Si f admet un DL(n) faible ou fort en x₀ ; il est unique.

2) Troncature : Si f admet un DL(n) faible en x₀, il admet un DL(p) faible en x₀ pour tout p ≤ n, obtenu par troncature. Idem pour les DL forts.

3) Enlacement : f a un DL(n) fort en x₀⇒ f a un DL(n) faible en x₀⇒ f a un DL(n−1) fort en x₀. 4) Lien avec les équivalents : Si f admet un DL(n) faible et non nul en x₀ ,

f(x₀ + h) = a₀ + a_k.h^k + … + a_n.hⁿ + o(hⁿ) au V(0) , (a_k≠ 0) ,

on a les équivalents : f(x₀ + h) − a₀∼ ^ak.h^k au V(0), i.e. f(x) − a₀∼ ^ak.((x − x₀)^k) au V(x₀).

Remarque : Si le DL(n) est nul, on ne peut en déduire que f est équivalente à 0, même si le DL est nul à tous ordres : penser à la fonction exp(−1/x²).

Exemples :

1) Dire que f a un DL(0) faible en x₀ f(x₀ + h) = a₀ + o(1) signifie que f a une limite quand x → x₀. Cette limite est f(x₀) = x₀, donc f est continue en x₀.

2) Dire que f a un DL(1) faible en x₀ : f(x₀ + h) = a₀ + a₁.h + o(h) signifie que f est continue et dérivable en x₀, de dérivée a₁.

2. L’algèbre des développements limités.

Dans les propositions 1 et 2, f et g sont définies dans un intervalle I non trivial contenant x₀. Proposition 1 : Linéarité, produit.

Si f et g admettent des DL(n) faibles ou forts au V(x₀), λ.f + g et f.g aussi, qui s’obtiennent par linéarité ou par produit. Plus précisément, si :

f(x₀ + h) = A(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) , où A(h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ

g(x₀ + h) = B(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) , où B(h) = b₀ + b₁.h + … + b_n.hⁿ , alors : (λ.f + g)(x₀ + h) = λA(h) + B(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹)

( f.g )(x₀ + h) = P_n(A.B)(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) , où P_n(A.B) est le projecteur canonique de R[X] sur R_n[X].

Remarque : Ceci s’étend sans peine à des fonctions à valeurs vectorielles, le « produit » étant alors remplacé par une fonction bilinéaire continue quelconque entre espaces normés. Par exemple, si les fonctions à valeurs dans un espace euclidien orienté de dimension 3 x → OM (x) et x → OP(x) ont un DL(n), leur produit vectoriel x → OM (x) ∧OP(x) aussi.

Corollaire : Si I est un intervalle de centre 0 et si f a un DL(n) faible ou fort en 0, f(h) = A(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹), alors f paire ⇒ A pair , f impair ⇒ A impair.

Proposition 2 : Division des développements limités.

Si f et g admettent des DL(n) faibles ou forts au V(x₀), et si g(x₀) ≠ 0, alors f/g est définie au V(x0) et admet au V(x₀) un DL(n) faible ou fort, qui s’obtient par division selon les puissances croissantes.

Preuve : On a f(x₀ + h) = A(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) , où A(h) = a₀ + a₁.h + … + a_n.hⁿ g(x₀ + h) = B(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) , où B(h) = b₀ + b₁.h + … + b_n.hⁿ .

Par division selon les puissances croissantes, ∃Q ∈ R_n[X] ∃S ∈ R[X] A(h) = B(h).Q(h) + hⁿ⁺¹.S(h).

f(x₀ + h) = A(h) + o(hⁿ) = B(h).Q(h) + hⁿ⁺¹.S(h) + o(hⁿ) = B(h).Q(h) + o(hⁿ) = [ g(x₀ + h) − o(hⁿ) ].Q(h) + o(hⁿ) = g(x₀ + h).Q(h) + o(hⁿ).

D’où

) (

) (

0 0

h x g

h x f

++ = Q(h) + o(hⁿ), car 1/g converge, donc est localement bornée en x₀. Idem avec les O.

Proposition 3 : Composition des développements limités.

Soient I et J des intervalles non réduits à un point, f : I → J, et g : J → R, x0 ∈ I.

Si f admet un DL(n) faible ou fort en x₀ et si g admet un DL(n) faible ou fort en y₀ = f(x₀), g o f admet en x₀ un DL(n) faible ou fort qui s’obtient en prenant la partie de degré ≤ n du polynôme composé : ( g o f )(x₀ + h) = P_n(B o A)(h) + o(hⁿ) ou O(hⁿ⁺¹) .

Proposition 4 : Réversion des développements limités.

Soient I un intervalle contenant 0, f une fonction strictement monotone sur I, ayant un DL(n) faible ou fort (n > 0) du type y = f(x) = a₁.x + … + a_n.xⁿ + o(xⁿ) ou O(xⁿ⁺¹) , a₁≠ 0.

Alors la bijection réciproque g = f⁻¹ admet en 0 un DL(n) faible ou fort

x = g(y) = b₁.y + … + b_n.yⁿ + o(yⁿ) ou O(yⁿ⁺¹) ,

dont les coefficients s’obtiennent en écrivant que (g o f)(x) = x et en identifiant les DL(n) des deux membres.

Preuve : D’abord f(x) ∼ a₁.x. Posant y = f(x), il vient y ∼ a₁.g(y), i.e. g(y) ∼ b₁.g(y), où b₁ = 1/a₁. Cherchons des coefficients b₁, …, b_n tels que :

g(y) − b₁.y − … − b_n.yⁿ = o(yⁿ) ou O(yⁿ⁺¹).

Posant y = f(x), cela revient à dire :

x − b1.f(x) − … − bn.f(x)ⁿ = o(xⁿ) ou O(xⁿ⁺¹) , car x et y sont semblables.

x − b1.(a₁x + … + a_nxⁿ) − b2.(a₁x + … + a_nxⁿ)² − … − bn.(a₁x + … + a_nxⁿ)ⁿ = o(xⁿ) ou O(xⁿ⁺¹).

En identifiant, on tombe sur un système de la forme :

 a₁.b₁ = 1

 a₂.b₁ + (a₁)².b₂ = 0

 a₃.b₁ + 2a₁a₂.b₂ + (a₁)³.b₃ = 0

 etc.

Ce système n’est pas linéaire en les a_i, mais il est linéaire en les inconnues b_i ; il est trigonal inférieur cramérien, et se résout par descente. Il reste à poser y = f(x).

Exercices : DL(4) en 0 des fonctions réciproques de :

f(x) = x – x² + x⁵ , f(x) = x + x² + x³ , f(x) = x + ln³(1 + x) , f(x) = e^x.sin x.

Structure algébrique

Soient E l’algèbre des (germes de) fonctions réelles de variable réelle, définies au voisinage de 0, E⁽ⁿ⁾ l’ensemble des (germes de) fonctions ayant un développement limité faible à l’ordre n en 0.

E⁽ⁿ⁾ est un sous-espace vectoriel de E, somme directe de R_n[X] et de o(xⁿ).

E⁽ⁿ⁾ est une sous-algèbre de E, et o(xⁿ) est un idéal de cette algèbre.

L’algèbre quotient E⁽ⁿ⁾/o(xⁿ) est isomorphe à R_n[X].

3. Théorème de Taylor-Young.

3.1. Primitivation, intégration des développements limités.

Proposition 1 : Primitivation des développements limités.

Soient I un intervalle de R, f une fonction dérivable de I dans R. Si f’ admet un DL(n) faible ou fort en x₀ ∈ I, f admet en ce point un DL(n+1) faible ou fort qui s’obtient en primitivant terme à terme celui de f’.

Si f’(x) = a₀ + a₁.(x − x₀) + … + a_n.(x − x₀)ⁿ + o((x − x₀)ⁿ) ou O((x − x₀)ⁿ⁺¹) au V(x₀) , alors : f(x) = f(x₀) + a₀.(x − x0) +

2 a1 _{.(x − x}

0)² + … + 1 +⁺1

n

an .(x − x0)ⁿ⁺¹ + o((x − x0)ⁿ⁺¹) ou O((x − x0)ⁿ⁺²) Preuve : Par soustraction et linéarité de la dérivation, tout revient à montrer que

f’(x) = o((x − x0)ⁿ) ou O((x − x0)ⁿ⁺¹) implique f(x) − f(x0) = o((x − x0)ⁿ⁺¹) ou O((x − x0)ⁿ⁺²).

Plaçons-nous dans la première hypothèse.

∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α] | f’(x) | ≤ ε.| x − x0 |ⁿ .

Soit x ∈ I ∩ [x₀ − α, x₀ + α]. En vertu du théorème des accroissements finis appliqué à f sur le segment [x₀, x] ou le segment [x, x₀], il vient | f(x) − f(x₀) | ≤ε.| x − x₀ |ⁿ⁺¹ . cqfd.

Idem pour le 2^ème cas.

Proposition 2 : Intégration des développements limités.

Soient I un intervalle de R, g une fonction réglée sur I, à valeurs réelles. Si g admet un DL(n) faible ou fort en x₀ ∈ I, la fonction f(x) =

∫

0

).

( admet en ce point un DL(n+1) faible ou fort qui s’obtient en intégrant terme à terme celui de g.

Si g(x) = a₀ + a₁.(x − x₀) + … + a_n.(x − x₀)ⁿ + o((x − x₀)ⁿ) ou O((x − x₀)ⁿ⁺¹) au V(x₀) , alors :

∫

0

).

( = a₀.(x − x0) + 2

a1 _{.(x − x}

0)² + … + 1 +⁺1

n

an .(x − x0)ⁿ⁺¹ + o((x − x0)ⁿ⁺¹) ou O((x − x0)ⁿ⁺²) Preuve : Par soustraction, tout revient à montrer que g(x) = o((x − x₀)ⁿ) ou O((x − x₀)ⁿ⁺¹) implique :

∫

0

).

( = o((x − x0)ⁿ⁺¹) ou O((x − x0)ⁿ⁺²). Il suffit de revenir à la définition et intégrer.

3.2. Théorème de Taylor-Young.

Rappelons qu’une fonction est n fois dérivable en x₀ si sa dérivée (n-1)-ème est dérivable. Cela signifie que le taux d’accroissement de la dérivée (n−1)-ème a une limite en x₀ ; en d’autres termes, f est (n−1) fois dérivable dans un voisinage de x0, autrement dit f, f’, f’’, …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sont définies dans un intervalle I contenant x₀, et de plus f⁽ⁿ⁻¹⁾ est dérivable en x₀.

Théorème : Soit f une fonction n fois dérivable en x₀. Alors f admet un DL(n) en x₀ qui est donné par son polynôme de Taylor :

f(x) = f(x₀) +

! 1

) '(x₀

f .(x − x0) +

! 2

) ''(x₀

f .(x − x0)² + … +

! ) ( 0 ) (

n x f ⁿ

.(x − x0)ⁿ + o((x − x0)ⁿ) f(x₀ + h) = f(x₀) +

! 1

) '(x0

f .h +

! 2

) ''(x0

f .h² + … +

! ) ( ₀

) (

n x f ⁿ

.hⁿ + o(hⁿ) Preuve : par récurrence sur n à partir de la prop. précédente.

Corollaire : Soit f une fonction indéfiniment dérivable en x₀. Alors f admet un DL à tous ordres en x₀ qui taylorien.

Remarque 1 : La plupart des fonctions usuelles ont un développement limité à tous ordres en 0 parce qu’elles sont indéfiniment dérivables. Et elles sont indéfiniment dérivables parce qu’elle sont développables en série entière au V(0). Cependant, il faut insister sur le fait que ce sont seulement des implications, des conditions suffisantes.

La fonction de Cauchy f(x) = exp

² 1 x

− a un DL(n) à tous ordres en 0, qui est f(x) = o(xⁿ). On montre à l’aide du théorème de la limite de la dérivée qu’elle est C^∞ sur R, toutes ses dérivées en 0 étant nulles, mais elle n’est pas développable en série entière au V(0).

Remarque 2 : Le fait d’être n fois dérivable en x₀ n’est qu’une condition suffisante d’existence d’un DL(n) au voisinage de ce point. Plus précisément, c’est une cns si n = 1, mais seulement une cs pour n > 1, comme le montrent les exemples ci-dessous :

Exemple 1 : Considérons la fonction f(x) = x + 2

²

x _{+ x}³_.sin x

1 _{pour x ≠ 0.}

f(x) tend vers 0 en 0. Ainsi prolongée par continuité, elle est une fois dérivable en 0, avec f’(0) = 1, mais elle n’est pas deux fois dérivable en 0.

Exemple 2 : Considérons la fonction f(x) = a₀ + a₁.x + … + a_n.xⁿ + xⁿ⁺¹.1_Q(x).

où 1_Q(x) est la fonction indicatrice de Q. f a un DL(n) fort, donc faible en 0.

Si n ≥ 1, f est continue et dérivable en 0 : f(0) = a₀ et f’(0) = a₁.

Mais f est discontinue en tout autre point de R, et a fortiori non dérivable.