n
k nk 0C
1 . Au moyen d’encadrements de plus en plus fins, montrer que (Sn) est bornée, puis convergente ; limite, développement asymptotique ?
Exercice 3 : Limite, équivalent, développement asymptotique de la suite un = sin(n!.e.π).
Exercice 4 : Soit Sn =
∑
=
− − n
k k
k n
1
1.[ ] ) 1
( . Trouver un équivalent de (Sn).
Exercice 5 : Soit (un) une suite définie par u1 ∈ R et ∀n ≥ 1 un+1 = n
un) exp(−
. Limite, équivalent, développement asymptotique à trois termes de cette suite.
Natures des séries
∑
un et∑
(−1)n.un ?Exercice 6 : On considère la suite un = n+ n−1+ ...+ 1 ( n radicaux superposés ).
1) Trouver une relation de récurrence liant un et un−1 pour n ≥ 2. Limite et monotonie de (un) ? 2) Montrer ∃ a, b > 0 ∀n a n ≤ un ≤ b n .
3) Montrer que un∼ n; déterminer limn→+∞ un − n= a0 .
4) Mq (un) a un développement asymptotique de la forme un = n+ a0 + n
a1 + o( 1 )
n ; trouver a1. 5) Montrer plus généralement que (un) a un d.a. un = n + a0 +
n
a1 + … + kk/2 n
a + o( 1/2 nk ) à
tous ordres, et indiquer une méthode permettant de le calculer (raisonner par récurrence sur k).
4. Bijections réciproques.
Soit y = f(x) une bijection continue « usuelle ». Lorsque x tend vers x0 dans R, y tend vers y0, et l’on peut obtenir en général un développement asymptotique de y. La bijection réciproque x = g(y) est très souvent implicite, en ce sens que x ne se calcule pas comme fonction élémentaire de y. On peut néanmoins obtenir un développement asymptotique de cette bijection quand y tend vers y0. La méthode consiste à obtenir d’abord une évaluation très grossière de l’ordre de grandeur de x en fonction de y, puis à porter ce résultat dans y = f(x) pour en déduire une seconde évaluation plus préciser, puis à porter ce second résultat dans y = f(x) pour en déduire une troisième évaluation plus précise, et ainsi de suite. Les calculs sont explicites en x, et l’on revient à y en fin d’évaluation. On obtient ainsi le développement de x = g(y) par « approximations successives ». Il existe, certes, des théorèmes généraux (on en trouvera un en fin de §), mais mieux vaut se livrer dans un premier temps à des calculs pratiques.
Exercice 1 : Développements asymptotiques à trois termes des bijections réciproques des fonctions : f(x) = x − x2/3 au V(+∞) et au V(0) f(x) = x3/2 + x5/2 au V(+∞) et au V(0+)
f(x) = x + x5 au V(+∞) et au V(0) f(x) = x − x3/2 au V(+∞) et au V(0+) f(x) = x2/3 + x3/2 au V(+∞) et au V(0+).
Exercice 2 : Développements asymptotiques à 4 termes des bijections réciproques de :
f(x) = x − ln x au V(+∞) et au V(0+) f(x) = x
1 + ln x au V(+∞) et au V(0+).
f(x) = x
1 + ln ln x au V(+∞) et au V(1+).
Exercice 3 : Donner des développements asymptotiques des diverses « branches » y(x) de fonctions définies par l’équation x.[ y(x) ]5 = y(x) + 1 = 0 au voisinage de x = 0, de x = +∞ et de x = −∞. Exercice 4 : Soit P un polynôme unitaire de degré p : P(x) = xp + a1.xp−1 + … + ap.
1) Montrer que, pour n entier assez grand, l’équation P(x) = n a une unique racine xn > 0.
2) Equivalent, développement asymptotique à trois termes de la suite (xn).
Exercice 5 : 1) Montrer que, pour n ≥ 2, l’équation xn = x + 1 a une unique racine xn dans ]0, +∞ [.
2) Montrer que (xn) tend vers une limite a à déterminer.
3) Montrer que (xn) a un développement asymptotique à tous ordres ; donner les 3 premiers termes.
Exercice 6 : Soit P ∈ R[X] tel que P(1) > 1. On pose Pn(X) = Xn − P(X).
1) Montrer que, pour n suffisamment grand, Pn possède une seule racine xn dans ]1, +∞ [.
2) Montrer que (xn) tend vers une limite a à déterminer.
3) Donner un développement asymptotique à deux termes de (xn).
Exercice 7 : Montrer que pour tout entier n l’équation x5 + n.x − 1 = 0 a une unique solution un. Développement asymptotique à 3 termes de la suite (un).
Exercice 8 : Montrer que pour tout entier n ≥ 3, l’équation ex = xn a deux solutions > 0.
Développement asymptotique à 3 termes de la plus petite solution, de la plus grande solution.
Exercice 9 : Soit a > 0. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, l’équation xn = a.(1 − x) a une unique solution un ∈ ]0, 1[. Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 3 termes.
Exercice 10 : Soit Pn(x) = xn− n x + 1.
1) Montrer l’existence d’une plus grande racine réelle un. Développement à 3 termes de la suite (un).
2) Montrer pour n ≥ 3, l’existence d’une unique racine vn ∈ ]0, 1[. Limite, équivalent, dévelop-pement à 2 termes de vn.
Exercice 11 : Soit Pn(x) = xn + xn−1 + … + x − 1 (n ≥ 2). Montrer qu’existe une unique racine > 0, un. Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes de cette suite.
Exercice 12 : On considère la suite (fn) de fonctions définies par fn(x) = x − n.ln( 1 + +1 n
x ).
1) Montrer qu’il existe un unique réel un non nul tel que fn(un) = 0.
2) En considérant fn(−2)/n, montrer que un ∈ [−2, −1].
3) Montrer que la suite (un) converge.
4) Développement asymptotique de la suite (un) ?
Exercice 13 : Soit (Pn) la suite de polynômes réels définie par :
P0(x) = 1 et Pn(x) = 1 + x + x2 + … + x2n−1 + x2n ( n ≥ 1 ).
1) Quelles sont les racines réelles de Pn ?
2) Etudier les variations de Pn, ainsi que les positions mutuelles de f(x) =
−x 1
1 , P
n(x) et Pn+1(x) pour x < 1. Préciser les valeurs de Pn(1), Pn(−1), P’n(1), P’n(−1). Représentations sur un même graphique, f étant tracée en pointillé.
3) Quel est l’ensemble E des réels x pour lesquels la suite (Pn(x)) est convergente ? Domaines de E sur lesquels la convergence est uniforme ?
4) Pour tout n ≥ 0, soit bn = infR Pn(x). Montrer que bn > 0 et (∀n > 0) ∃!an ∈ R bn = P(an).
On posera a0 = 0.
5) a) Montrer que la suite (an) ainsi définie a une limite α que l’on déterminera.
b) Equivalent simple de an − α quand n → +∞. Développement asymptotique ? c) La suite (an) est-elle monotone ?
d) Résoudre pour la suite (bn) des questions analogues à a, b) et c).
Exercice 14 : Soit Pn(x) = x2n+1− xn+1− 1. Montrer l’existence d’une unique racine un. Convergence et limite de la suite (un). Etudier les suites (unn) et (n.(un− 1)) ; d. a. à 2 termes de (un).
Exercice 15 : Soit Pn(x) = xn + x − 1. Montrer que Pn a une unique racine un≥ 0. Limite de la suite (un). Développement asymptotique à 3 termes.
Exercice 16 : Nombres de Pisot. Montrer que pour n ≥ 2, Pn(x) = xn+2 − xn+1 − xn + 1 a une unique racine un > 1. Convergence, limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes.
Exercice 17 : Montrer que pour n ≥ 2, l’équation Pn(x) = xn− x − n a une unique racine un > 0.
Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes.
Exercice 18 : On considère l’équation tan x = x.
1) Montrer qu’elle a une unique racine xn dans chaque intervalle
]
nπ−π
2, nπ +π
2[
, n ∈ Z.2) Etablir que xn = nπ +
π
2 −εn , où εn→ 0 quand n → +∞. Equivalent de (εn) ? 3) a) Montrer que xn est caractérisé par f(xn) = nπ , où f(x) = x − Arctan x.b) Etudier les variations de f. On note g la bijection réciproque : y = f(x) ⇔ x = y + Arctan g(y).
c) On introduit la suite de fonctions g0(y) = y , gk+1(y) = y + Arctan gk(y).
Montrer que gk(y) − g(y) = O( k y2
1 ) au voisinage de +∞, par récurrence sur k.
d) En déduire que g a un d. a. à tous ordres au V(+∞). Indiquer une méthode pour l’obtenir.
Conclusion pour la suite (xn) ?
4) Etudier les variations de la fonction x
x
sin . Graphe.
Exercice 19 : On considère l’équation tan x = th x.
1) Montrer qu’elle a une unique racine xn dans chaque intervalle
]
nπ−π
2, nπ +π
2[
, n ∈ Z.2) Etablir que xn = nπ +
π
4 −εn , où εn→ 0 quand n → +∞. 3) Equivalent de (εn), développement asymptotique de (xn) ? Exercice 20 : 1) Montrer que l’équation sin x =x
1 a une unique racine xn dans chaque intervalle
]
n.π−π
2 , n.π+π
2[
, n ∈ Z.2) Etablir que xn = nπ + εn , où εn→ 0 quand n → +∞.
3) Equivalent de (εn), développement asymptotique à trois termes de (xn) ? Exercice 21 : Mêmes questions pour les solutions de l’équation sin x =
x ln
1 .
Exercice 22 : Etudier les solutions de l’équation cos x.ch x = 1. Développement asymptotique de la suite des solutions. 6
Exercice 23 : Equation de Kepler.
Soit a un réel fixé. Montrer que pour tout 0 < y < 1, l’équation x = a + y.sin x a une unique solution x = g(y). Limite de x quand y → 0 ? Trouver le développement asymptotique à trois termes de x en fonction de y, et vérifier qu’il s’écrit :
x = a +
NB : La formule générale, que l’on devine, fut trouvée par Laplace et généralisée par Lagrange.
Exercice 24 : 1) Soit α un réel > 0. Montrer que l’équation :
Compléments : fonction W de Lambert, développement asymptotique de bijections réciproques.